新高考数学【热点·重点·难点】专练热点4-2 基本关系式、诱导公式与三角恒等变换6大题型

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点4-2 基本关系式、诱导公式与三角恒等变换6大题型
基本关系式、诱导公式与三角恒等变换是三角函数化简求值的基础，是高考中的一个必考内容。一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等或偏下；但在三角函数的解答题中有时也会涉及到合并化简。
一、给值求值、给值求角问题
1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用;
②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如：
等.
3、“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是：
（1）求值：求出所求角的某种三角函数值.
（2）界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围.
（3）求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小.
二、辅助角公式
对于形如的式子，可变形如下：
=
由于上式中和的平方和为1，
故令，
则==
其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，
或由和共同确定．
三、三角函数化简“三看”原则

【题型1 正、余弦齐次式的计算】
【例1】（2022秋·四川成都·高三玉林中学校考阶段练习）已知，则______．
【答案】0
【解析】由题意可得.
【变式1-1】（2022秋·四川成都·高三玉林中学校考阶段练习）已知，则的值为（）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】．
故选：B．
【变式1-2】（2022秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知锐角满足，则______.
【答案】
【解析】∵，∴，
即，
又∵为锐角，∴，
∴，即，∴，
故有：.
【变式1-3】（2022·四川乐山·统考一模）已知，，则（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，解得，
，故选：A.
【变式1-4】（2022·陕西西安·第三十八中学校考一模）若，则（）
A．3 B． C．2 D．4
【答案】A
【解析】因为，
所以．
故选：A.
【题型2 sina±csa与sinacsa关系】
【例2】（2022秋·山东青岛·高三校考阶段练习）（多选）已知，，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】因为，
所以，则，
因为，所以，，所以，故A正确；
所以，所以，故D正确；
联立，可得，，故B正确；
所以，故C错误.故选：ABD.
【变式2-1】（2022秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知，.则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，所以①，
，则，，
②，故A错，B正确；
联立①②得，，所以，故C错；
，故D错.故选：B.
【变式2-2】（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，解得，
因为，所以，所以，
又因为，所以，
由解得，所以，
所以.故选:C.
【变式2-3】（2022·上海宝山·统考一模）设，且，则（）
A．－1 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】，故，得，得到，
，
所以，，得，，，，
则，故选：C
【题型3 诱导公式的综合应用】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）如果，那么的值是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，故，
则.故选：A
【变式3-1】（2022秋·江西九江·高三校联考阶段练习）已知，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
则，故选：D
【变式3-2】（2022秋·浙江金华·高三校考阶段练习）已知为第三象限角，=_______.
【答案】
【解析】.
【变式3-3】（2022秋·湖南邵阳·高三邵阳市第二中学校考阶段练习）若，则___________.
【答案】
【解析】因为，
所以，
所以，又，所以.
【题型4 三角恒等变换之给值求值】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知，则__________.
【答案】
【解析】因为
，
，
，
因为，所以，所以，
故
【变式4-1】（2022秋·江苏镇江·高三校考期末）已知，则的值为__.
【答案】1
【解析】由，得，
再由，得，可得，
．
【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）已知，则_______.
【答案】
【解析】由可得，
即，则，
即，
解得或（舍去），故答案为：
【变式4-3】（2022秋·安徽·高三校联考阶段练习）（多选）已知，其中为锐角，则（）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】为锐角，即，，，
由于，所以，
所以，
由于，所以，A选项正确.
，所以B选项正确.
①，
②，
①+②并化简得，所以C选项错误，
①-②并化简得，
所以，所以D选项错误. 故选：AB
【题型5 三角恒等变换之给值求角】
【例5】（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知，，且，，则的值是___________.
【答案】
【解析】因为，，且，，
所以，，且，
则，所以.
【变式5-1】（2022秋·上海嘉定·高三校考期中）若为锐角，，则角__________.
【答案】
【解析】由于为锐角，所以，
所以，
所以，
所以.
【变式5-2】（2023·湖南湘潭·统考二模）已知，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知可将，，
则，
，
，即或．
又，所以，
所以，所以选项A，B错误，
即，则，所以．则C错，D对，故选：D
【变式5-3】（2022秋·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知，，，，则（）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，故，故；
，，，，
故，；
，，故.故选：C
【变式5-4】（2022秋·福建·高三校联考阶段练习）（多选）已知满足，且，则（）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】因为，且，所以，，
则，所以，故A错误；
由，得，，
所以，则，故B正确；
由，，得，，
，所以，故C正确；
因为，
所以，
故，故D正确.故选：BCD.
【题型6 三角函数化简求值综合】
【例6】（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）若，则_______．
【答案】
【解析】，
，，
原式.
故答案为：.
【变式6-1】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即．记，则______．
【答案】
【解析】，
.
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）化简：___________．
【答案】2
【解析】．
【变式6-3】（2022·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）求值_________．
【答案】
【解析】，故答案为：.
【变式6-4】（2022秋·山东枣庄·高三滕州市第一中学新校校考阶段练习）求值：
（1）；（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）原式
.
（2）因为
所以原式
（建议用时：60分钟）
1．（2022秋·吉林·高三校考期末）已知，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
因为，所以，故，
又因为，所以，解得：.故选：D
2．（2023·重庆·统考一模）（）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】
.故选：C
3．（2022·陕西宝鸡·统考一模）（）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】
.故选：C
4．（2023秋·山东东营·高三第一中学校考期末）已知，则的值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以．故选：A
5．（2023秋·江西新余·高三统考期末）已知，则（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】故选：B.
6．（2022·陕西西安·交大附中校考模拟预测）已知，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，且，
所以，故选：.
7．（2022秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知，，则（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
即，
因为，所以，所以，
所以，可得.故选：A.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得，两边平方得，解得，
则原式.故选：A
9．（2022秋·吉林长春·高三长春外国语学校校考期末）若角的终边经过点，则（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若角的终边经过点，则，
，故选：A.
10．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）已知，且，则（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，
因为，所以，于是有，
而，即，
因为，所以，即，故选：B
11．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）已知角的终边经过点，则（）
A．-2 B． C．3 D．9
【答案】B
【解析】角的终边经过点，则，
即，解得，
．故选：B．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数且的图像过定点，且角的终边过点，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为当时，，所以过定点，
由三角函数的定义可得，，，
所以，故选：D
13．（2022秋·安徽·高三校联考期末）设，则（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵
，
所以．故选：A．
14．（2023·甘肃兰州·校考一模）等于（）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】因为，
所以.
故选：C.
15．（2022秋·辽宁大连·高三统考期末）若，且．则（）
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【解析】由得，
进而得，化简得：，所以或，
由于，所以，故，故选：C
16．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）已知，且，则的值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，
即，
，又，则，
，，故选：A.
17．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
，，
，.
，，，，故选：D.
18．（2022·全国·高三专题练习）已知、都是锐角，且，，那么、之间的关系是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，则，
所以，，
因为、都是锐角，由题意可得，
所以，，
所以，，
因为、都是锐角，则且，则，
所以，，因此，.故选：D.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，，则的值是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，，，
，
又，.故选：B.
20．（2021秋·福建泉州·高三晋江市第一中学校考阶段练习）若，，且，，则的值是（）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】因为，，，，，，，
又因为，，
所以为第二象限角，为第二象限角，
所以，，
又因为，
所以，
所以，．故选：A.