新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点5-1 平面向量的概念、线性运算与基本定理5大题型

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点5-1 平面向量的概念、线性运算与基本定理5大题型
平面向量属于高考的必考内容，主要以客观题的形式出现，也与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等。这部分内容在备考时应注意加强对向量加法、减法的平行四边形法则与三角形法则的理解、掌握两向量共线与垂直的条件，熟记平面向量的相关公式。
一、平面向量多边形法则
一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即,特别地,一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
二、向量共线问题的注意事项
1、向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
2、证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
三、“爪”子定理
形式1：在△ABC中，D是BC上的点，如果，，则，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则．

形式2：在△ABC中，D是BC上的点，且，则，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则．
形式1与形式2中eq \(AC,\s\up7(→))与eq \(AB,\s\up7(→))的系数的记忆可总结为：对面的女孩看过来(歌名，原唱任贤齐)
四、利用平面向量的线性运算把一个向量表示为两个基向量的一般方法
向量的确定方法
1、在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”子定理完成向量用，的表示．
2、若所给图形比较特殊(正方形、矩形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形等)，则可通过建系将向量坐标化，从而得到与的方程组，再进行求解．
五、利用平面向量的线性运算求参数的一般方法
向量方程中x，y的确定方法
1、在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”子定理完成向量的表示，进而确定x，y．
2、若所给图形比较特殊(正方形、矩形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形等)，则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于x，y的方程组，再进行求解．
3、若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于于x，y的方程组，再进行求解．
3、对于求x＋y的值的有关问题可考虑平面向量的等和线定理法。
【题型1 平面向量的基本概念】
【例1】（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量，必有 D．若满足且与同向，则
【答案】C
【解析】依题意，对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故错误；
对于C，若同向共线，，
若反向共线，，
若不共线，根据向量加法的三角形法则及
两边之和大于第三边知.
综上可知对于任意向量，必有，故正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误.故选：C.
【变式1-1】（2022秋·四川成都·高三校考期中）关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】B
【解析】A.由平面向量的定义可知，向量的模相等，向量不一定相等，故A错误；
B.两个向量是相反向量，则两个向量平行，故B正确；
C.向量不能比较大小，故C错误；
D.当向量时，与不一定平行，故D错误；故选：B
【变式1-2】（2022秋·吉林·高三校考期末）（多选）下列命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D．“若是不共线的四点，且'“四边形是平行四边形”
【答案】AD
【解析】对于A，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故A正确；
对于B：单位向量的模为，但是方向不一定相同，故B错误；
对于C：若两个向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，故C错误；
对于D：若是不共线的四点，且，则且，
所以四边形是平行四边形，故充分性成立，
若四边形是平行四边形，则，故必要性也成立，故D正确.故选：AD
【变式1-3】（2022秋·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A．若向量，满足，与同向，则
B．若两个非零向量，满足，则，是互为相反向量
C．的充要条件是与重合，与重合
D．模为是一个向量方向不确定的充要条件
【答案】BD
【解析】对A：向量不可比较大小，故A错误；
对B：若两个非零向量，满足，则，且方向相反，
故，互为相反向量，B正确；
对C：与重合，与重合，故，充分性成立；但，
根据向量可平移性，不一定有与重合，与重合，必要性不满足，C错误；
对D：模为的向量是零向量，其方向不确定，故充分性成立；
一个向量方向不确定，是零向量，其模为，必要性成立，
即模为是一个向量方向不确定的充要条件，D正确.故选：BD.
【变式1-4】（2023·全国·高三专题练习）下列五个命题：
①向量与共线，则必在同一条直线上；
②如果向量与平行，则与方向相同或相反；
③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是；
④若，则、的长度相等且方向相同或相反；
⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行.
其中正确的命题有______个.
【答案】0
【解析】对于①，向量与共线，则直线与直线可能平行，故①错；
对于②，若为零向量，零向量与任意向量平行，故②错；
对于③，，则四点可能共线，故③错；
对于④，，只能说明、的长度相等但确定不了方向，故④错；
对于⑤，零向量与任何向量平行，故⑤错.
所以正确的命题有0个，故答案为：0
【题型2 平面向量的线性运算】
【例2】（2023·高三课时练习）如图，设D、E、F分别为的三边BC、CA、AB的中点，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，，
故选：A
【变式2-1】（2023秋·湖北·高三统考期末）（多选）如图所示，在边长1为的正六边形ABCDEF中，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由正六边形性质可知，正六边形ABCDEF对边平行且相等，
对角线交于O将正六边形分成六个全等正三角形.
对A，，A错；
对B,，B对；
对C，，C对；
对D，，，
，D错.故选：BC
【变式2-2】（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）在中，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，满足，，
，B不正确；
，，A不正确；
，C正确；
，，，D不正确.故选：C
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）（多选）如图，是所在平面内任意一点，是的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A选项，由题意可知，、、分别为、、的中点，
所以，，
同理可得，，
所以，，A错；
对于B选项，由重心的性质可知，，，
由A选项可知，，
所以，，B对；
对于C选项，由重心的性质可知，，，
所以，，C对；
对于D选项，，
同理可得，，
因此，，D对.故选：BCD.
【变式2-4】（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知平面四边形满足，平面内点满足，与交于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，因为，所以,
又因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，在平面四边形中，,
所以且
所以相似于相似比为，所以,
,
所以，故选:B.
【题型3 平面向量的共线定理】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形中，分别为上的点，且，连接，与交于点，若，则的值为______.
【答案】
【解析】在中，不共线，因为，
则有，
又三点共线，于是得，解得，
所以的值为.
【变式3-1】（2021秋·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）在中，为直线上的任意一点，为的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为为的中点，且，所以
所以，且，，三点共线，
所以，则．故选：A．
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，
设，则.
由于，所以A，B，D三点共线，如图所示，
∵与反向共线，，
∴，∴，
∴.故选：D
【变式3-3】（2022·浙江·模拟预测）（多选）如图，已知，点M，N满足，，BN与CM交于点P，AP交BC于点D，.则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】三点共线，设，三点共线，设，A选项：
，
，
∴，解得，，
所以A选项错误；
B选项：由，得，
三点共线，则，
即，得，即，
有，得，所以B选项正确；
C选项：
，所以C选项正确；
D选项：
，
所以D选项错误.故选：BC
【变式3-4】（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）如图，在中，已知.
（1）用向量分别表示与；
（2）证明：三点共线.
【答案】（1），；（2）证明见解析
【解析】（1）因为，
则，
.
（2）因为，所以.
又因为与有公共点，所以三点共线.
【题型4 平面向量的基本定理】
【例4】（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若实数m，n使，则
B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数
C．对于m，，不一定在该平面内
D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使
【答案】AB
【解析】根据基底的定义知AB正确；
对于C，对于m，，在该平面内，故C错误；
对于D，m，n是唯一的，故D错误.故选:AB.
【变式4-1】（2023秋·湖南益阳·高三统考期末）如图所示的矩形中，满足，为的中点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】连接，
由题可知，
又因为为的中点，所以，
所以，
所以，所以.故选：A.
【变式4-2】（2023春·浙江·高三校联考开学考试）在平行四边形中，，，设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为四边形为平行四边形，所以，，，
因为，，所以，
所以，
,
因为，，所以，解得 ，
所以，故选：B.
【变式4-3】（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则（ ）
A． B． C．-4 D．4
【答案】A
【解析】设网格纸上小正方形的边长为1，在网格线上取互相垂直的单位向量，如图所示，
则有，，，
由，得，
则，解得，∴.故选：A
【变式4-4】（2022秋·河南·高三信阳高中校联考期末）如图，在平行四边形中，，，点为与的交点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，，知，分别为，的中点.
如图，设与的交点为，易得，
所以，所以.
因为点是的中点，所以.
由，，三点共线知，
存在，满足.
由，，三点共线知，
存在，满足.
所以.
又因为，为不共线的非零向量，
所以，解得，
所以.故选：.
【题型5 平面向量的坐标运算】
【例5】（2022秋·河北沧州·高三统考期末）已知向量，若，则实数m的值是（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【解析】由，得，解得.故选：A.
【变式5-1】（2023秋·广西南宁·高三南宁二中校考期末）已知平面向量，且，则（ ）
A． B．（0，0） C． D．（1，2）
【答案】B
【解析】由于，所以，
所以.故选：B
【变式5-2】（2022秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）设向量，若表示向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知：，
即.故选：D.
【变式5-3】（2023秋·江西·高三校联考期末）已知向量，，，若，，三点共线，则______．
【答案】
【解析】因为向量，，则，而，
又，，三点共线，则有，
因此，解得，所以.
【变式5-4】（2022·四川乐山·统考一模）向量，则 _______.
【答案】
【解析】因为，所以，所以
【变式5-5】（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知向量，，若，则实数______．
【答案】
【解析】由已知可得，，
若，则，解得.
【变式5-6】（2022秋·江西九江·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，，，，，若与共线，则___________.
【答案】-1
【解析】设，由与共线，所以.
由，得，，
则，解得.
（建议用时：60分钟）
1．（2022秋·上海宝山·高三上海市行知中学校考期中）已知向量，，若，则（ ）
A．，中至少有一个为非零向量 B．，垂直
C．，反向 D．
【答案】D
【解析】向量，都为零向量，也成立，A不正确；
由得：，整理得，D正确；
当向量，均为非零向量时，，，不可能垂直，
，不反向，B，C都不正确.故选：D
2．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）已知向量，若与共线，则（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【解析】因为与共线，所以．故选:A．
3．（2022秋·河北保定·高三校考阶段练习）与向量共线的单位向量是（ ）
A． B． C． D．(0，1)
【答案】B
【解析】由可得，
与向量共线的单位向量是和，
分别为和，故选：B
4．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】C
【解析】因为，所以，即，所以．故选：C．
5．（2021秋·河南周口·高三校考阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，则
C．，
D．若三点满足，则三点共线
【答案】D
【解析】A选项，若满足，可以是钝角，A错误；
B选项，若，则，
当且仅当，即时，等号成立，B错误；
C选项，，当且仅当时，等号成立，C错误；
D选项，，故，
即，故三点共线，D正确.故选：D
6．（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知平面四边形ABCD满足，平面内点E满足，CD与AE交于点M，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，因为，所以,
又因为，所以，所以，
又因为,所以
且所以相似于相似比为，
所以,
,
所以，故选:B.
7．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知非零向量、不共线，如果，，，则四点、、、D，（ ）
A．一定共线 B．恰是空间四边形的四个顶点
C．一定共面 D．肯定不共面
【答案】C
【解析】因为非零向量不共线，所以，
由平面向量基本定理可知，四点A，，，共面．故选：C．
8．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）在四边形中,,,点在线段上,且,设,,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知,,，画出示意图如下:
因为,,,
所以
.故选:C
9．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）如图，平行四边形中，M为中点，与相交于点P，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】因为平行四边形中，M为中点，与相交于点P，
所以，所以，
又，所以，.故选：B.
10．（2023春·河南洛阳·高三栾川县第一高级中学校考开学考试）已知AB是的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】是的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，
且，．故选：A．
11．（2022秋·广东广州·高三校联考期中）（多选）有下列说法，其中正确的说法为（ ）
A．为实数，若，则与共线
B．若，则在上的投影向量为
C．两个非零向量，若，则与垂直
D．若分别表示的面积，则
【答案】BCD
【解析】对于A，当时，很显然，但是与不共线，故A错误；
对于B，因为在上的投影向量为
故B正确；
对于C，因为向量为非零向量，且，
即，故与垂直，即C正确；
对于D，如图所示取中点为，则,
由，可知，
所以三点共线，且，故，故D正确.故选:BCD.
12．（2022·湖南·校联考模拟预测）（多选）给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．若线段，则向量
B．若向量，则线段
C．若向量与共线，则线段
D．若向量与反向共线，则
【答案】AD
【解析】选项A：由得点B在线段上，则，A正确：
选项B；三角形，，但，B错误；
对于C：，反向共线时，，故，C错误；
选项D：,反向共线时，，故D正确．故选：AD．
13．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）（多选）在菱形中，为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对于选项A，，所以该选项错误；
对于选项B，，所以该选项正确；
对于选项C，，所以该选项错误；
对于选项D，，所以该选项正确.
故选：BD
14．（2022秋·山西晋中·高三校联考阶段练习）（多选）如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．当为线段上的中点时， B．的最大值为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
【答案】ABC
【解析】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，
设，则，
设，则，
因为，所以，
所以，即，
对于选项A，因为为线段上的中点，所以，故，A正确；
对于选项B，，，当时，取最大值为，B正确；
对于选项C，因为，，所以，的取值范围为，C正确；
对于选项D，，，所以，
所以的取值范围为，D错误.故选：ABC.
15．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知向量，若，则实数a＝___.
【答案】
【解析】，由，得，解得.
16．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和.现在对直角三角形按上述操作作图，得到如图所示的图形.若，则______.
【答案】
【解析】如图，以A为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形边长为
可知，，，
则，，即
又，即，
即，即，化简得
故答案为：.
17．（2022秋·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知向量．
（1）求；
（2）求满足的实数和的值；
（3）若，求实数k的值．
【答案】(1)；(2)；(3).
【解析】（1）因为，
故，故.
（2）因为，，即，
故可得，解得，
故实数分别为.
（3）因为，
则，，
因为，
故可得，解得，
故实数的值为.
18．（2023·高三课时练习）如图，在中，点A在BC上，且点B关于点A的对称点是点C，点D是将分成的一个内分点，DC与OA交于点E，设，．
（1）用、表示向量、；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）由题意知是的中点，则，
又点是将分成的一个内分点，得，
于是，
．
（2）由题图知、、三点共线，可设，
又，，
于是，得，解得，所以．
19．（2020秋·安徽六安·高三校考阶段练习）在中，，点在边上且，，
（1）若，求的长；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由余弦定理得：，
因为，所以，所以，
且，
在三角形ABE中，由余弦定理得：
，
因为，所以
（2），
，
则，
即，
，
化简得：，
20．（2022秋·江西赣州·高三校联考期中）如图所示，在中，点D是边BC的中点，点E是线段AD的中点.过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q.设，，其中
（1）试用与表示、；
（2）求证：为定值，并求此定值；
（3）设的面积为，的面积为，求的取值范围.
【答案】（1）；；（2）证明见解析；定值为2；（3）
【解析】（1）由题意可得，；
（2）因为，，所以，
所以，
∵三点共线，∴即，
故为定值，定值为2；
（3）设，∵，，，
∴，，
∴，
∵，，∴，
所以当时，取得最大值；
当或时，取得最小值，即，
∴