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新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点6-1 等差数列的通项及前n项和8大题型
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这是一份新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点6-1 等差数列的通项及前n项和8大题型，文件包含热点6-1等差数列的通项及前n项和8大题型原卷版docx、热点6-1等差数列的通项及前n项和8大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点6-1 等差数列的通项及前n项和8大题型
主要考查等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等差数列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等比数列一般设置一道选择题和一道解答题。
一、判断等差数列的方法
1、定义法：（常数）是等差数列；
2、等差中项法：是等差数列；
3、通项公式法：（，为常数）是等差数列。
4、前n项和法：（，为常数）是等差数列。
其中前两种方法适用于解答题中的证明问题；后来两种方法适用于选择填空的判断问题。
二、等差数列的前n项和常用的性质
1、设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和，，，…组成公差为的等差数列；
2、数列是等差数列⇔(a，b为常数)⇔数列为等差数列，公差为；
3、若S奇表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为d；
①当项数为偶数时，，，；
②当项数为奇数时，，，.
4、在等差数列，中，它们的前项和分别记为则
三、求等差数列的前n项和的最值的方法
1、二次函数法：将配方，若，则从二次函数的角度看：当时，有最小值；当时，有最大值；
当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值．
2、邻项变号法：
当，时，满足的项数n使取最大值；
当，时，满足的项数n使取最小值。
3、不等式组法：借助当最大时，有，解此不等式组确定的范围，进而确定的值和对应的值（即最大值），类似可求的最小值。
【题型1 等差数列的基本量计算】
【例1】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知等差数列的前n项和为，若数列满足：对任意的，都有，且，则（ ）
A．20 B．39 C．63 D．81
【变式1-2】（2023秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）已知公差小于零的等差数列的前项和为，且，则使成立的最大正整数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）设 为等差数列的前项和，，则（ ）
A． B． C． D．2
【变式1-4】（2023·河南郑州·统考一模）设等差数列的前项和为，，，则公差的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 等差中项及应用应用】
【例2】（2023·全国·校联考模拟预测）记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【变式2-1】（2022秋·北京·高三北京交通大学附属中学校考阶段练习）已知数列满足，则等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式2-2】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列 的前项和为， 若且， 则（ ）
A．25 B．45 C．55 D．65
【变式2-3】（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）设数列是等差数列，是数列的前n项和，，，则等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【变式2-4】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校联考阶段练习）已知是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式2-5】（2022秋·山东济宁·高三统考期末）等差数列的前项和为，若，则__________.
【题型3 等差数列的判定与证明】
【例3】（2023·广东深圳·统考一模）记，为数列的前n项和，已知，．
（1）求，并证明是等差数列；
（2）求．
【变式3-1】（2023秋·河北邢台·高三统考期末）已知数列{}满足，.
（1）记，证明{}为等差数列，并求{}的通项公式；
（2）求{}的前2n项和.
3n2
【变式3-2】（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，求数列前n项和．
【变式3-3】（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知为数列的前项积，且.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）记，求数列的前项和.
【题型4 由Sn与an关系求通项】
【例4】（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A．414 B．406 C．403 D．393
【变式4-1】（2022秋·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且成等差数列，若，则使得，同时成立的k的值为________．
【变式4-2】（2022秋·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）若是等差数列，首项，则使前项和成立的最大正整数是__________.
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，数列满足，且.求数列和的通项公式；
【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，若，
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
【题型5 等差数列前n项和的性质】
【例5】（2022秋·北京·高三中关村中学校考阶段练习）记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．36 B．45 C．63 D．75
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（ ）
A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040
【变式5-2】（2022·河南新乡·统考一模）设等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2022·全国·高三专题练习）一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．20
【题型6 等差数列前n项和的函数特征】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，且，，则当（ ）时，最大.
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知数列是等差数列，且满足，则数列的前项和的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式6-2】（2022·全国·校联考模拟预测）设为等差数列的前项和，且，都有.若，则（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最大值是
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）（多选）数列的通项为，它的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是递减数列 B．当或者时，有最大值
C．当或者时，有最大值 D．和都没有最小值
【变式6-4】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）（多选）已知等差数列中，当且仅当时，仅得最大值.记数列的前k项和为，（ ）
A．若，则当且仅当时，取得最大值
B．若，则当且仅当时，取得最大值
C．若，则当且仅当时，取得最大值
D．若，，则当或14时，取得最大值
【题型7 含绝对值的等差数列前n项和】
【例7】（2022秋·山西·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，设，求.
【变式7-1】（2022·四川遂宁·统考一模）已知等差数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【变式7-2】（2022秋·广东中山·高三小榄中学校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前20项和.
【变式7-3】（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，公差，且满足成等比数列．
（1）求；
（2）求数列的前30项和．
【变式7-4】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【题型8 等差数列的简单应用】
【例8】（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（ ）
A．乙分到37文，丁分到31文 B．乙分到40文，丁分到34文
C．乙分到31文，丁分到37文 D．乙分到34文，丁分到40文
【变式8-1】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统地介绍了等差数列，同类结果在三百年后在印度才首次出现，卷中记载“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：“现有一善于织布的女子，从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（30天）共织390尺布”，假如该女子1号开始织布，则这个月中旬（第11天到第20天）的织布量为（ ）
A．26 B．130 C． D．156
【变式8-2】（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，我们发现，当，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，则时，圆球总个数为（ ）
A．30 B．35 C．40 D．45
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子如下图，则其第10行第11列的数为（ ）
A．220 B．241 C．262 D．264
【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【变式8-5】（2022秋·江苏南通·高三统考期中）（多选）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则（ ）
A．驽马第七日行九十四里 B．第七日良马先至齐
C．第八日二马相逢 D．二马相逢时良马行一千三百九十五里
（建议用时：60分钟）
1．（2023春·北京海淀·高三人大附中校考开学考试）已知为等差数列，其前项和为，若，，，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2023·山西临汾·统考一模）1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星的运行曲线和1531年､1607年的彗星惊人地相似.他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预㝘它将于76年后再度回归.这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年.请你预测它在本世纪回归的年份（ ）
A．2042 B．2062 C．2082 D．2092
3．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）已知数列满足则其前9项和等于（ ）
A．150 B．180 C．300 D．360
4．（2022秋·上海静安·高三上海市回民中学校考期中）已知数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为
A．10 B．20 C．30 D．40
7．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．15 B．23 C．28 D．30
8．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列是递增数列 D．
9．（2023秋·山东济南·高三统考期中）（多选）已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．
10．（2023·广东梅州·统考一模）（多选）设是公差为（）的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则是数列的最大项
B．若数列有最小项，则
C．若数列是递减数列，则对任意的：，均有
D．若对任意的，均有，则数列是递增数列
11．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）记等差数列的前n项和为，已知，，则的通项公式为______.
12．（2022·四川达州·统考一模）已知数列 满足，，，则等于__________.
13．（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列的前项和为，且，若存在两项，使得，则的最小值为_____________.
14．（2023·陕西铜川·校考一模）已知数列中，，且，数列的前n项和为，若对任意的正整数n，总有，则t的取值范围是_____．
15．（2023秋·重庆·高三统考学业考试）已知等差数列的前项和为，，且、、成等比数列.
（1）求； （2）求数列的前项和.
16．（2023·浙江·校联考模拟预测）在数列中，，在数列中，.
（1）求证数列成等差数列并求； （2）求证：.
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点6-1 等差数列的通项及前n项和8大题型
主要考查等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等差数列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等比数列一般设置一道选择题和一道解答题。
一、判断等差数列的方法
1、定义法：（常数）是等差数列；
2、等差中项法：是等差数列；
3、通项公式法：（，为常数）是等差数列。
4、前n项和法：（，为常数）是等差数列。
其中前两种方法适用于解答题中的证明问题；后来两种方法适用于选择填空的判断问题。
二、等差数列的前n项和常用的性质
1、设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和，，，…组成公差为的等差数列；
2、数列是等差数列⇔(a，b为常数)⇔数列为等差数列，公差为；
3、若S奇表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为d；
①当项数为偶数时，，，；
②当项数为奇数时，，，.
4、在等差数列，中，它们的前项和分别记为则
三、求等差数列的前n项和的最值的方法
1、二次函数法：将配方，若，则从二次函数的角度看：当时，有最小值；当时，有最大值；
当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值．
2、邻项变号法：
当，时，满足的项数n使取最大值；
当，时，满足的项数n使取最小值。
3、不等式组法：借助当最大时，有，解此不等式组确定的范围，进而确定的值和对应的值（即最大值），类似可求的最小值。
【题型1 等差数列的基本量计算】
【例1】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知等差数列的前n项和为，若数列满足：对任意的，都有，且，则（ ）
A．20 B．39 C．63 D．81
【变式1-2】（2023秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）已知公差小于零的等差数列的前项和为，且，则使成立的最大正整数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）设 为等差数列的前项和，，则（ ）
A． B． C． D．2
【变式1-4】（2023·河南郑州·统考一模）设等差数列的前项和为，，，则公差的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 等差中项及应用应用】
【例2】（2023·全国·校联考模拟预测）记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【变式2-1】（2022秋·北京·高三北京交通大学附属中学校考阶段练习）已知数列满足，则等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式2-2】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列 的前项和为， 若且， 则（ ）
A．25 B．45 C．55 D．65
【变式2-3】（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）设数列是等差数列，是数列的前n项和，，，则等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【变式2-4】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校联考阶段练习）已知是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式2-5】（2022秋·山东济宁·高三统考期末）等差数列的前项和为，若，则__________.
【题型3 等差数列的判定与证明】
【例3】（2023·广东深圳·统考一模）记，为数列的前n项和，已知，．
（1）求，并证明是等差数列；
（2）求．
【变式3-1】（2023秋·河北邢台·高三统考期末）已知数列{}满足，.
（1）记，证明{}为等差数列，并求{}的通项公式；
（2）求{}的前2n项和.
3n2
【变式3-2】（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，求数列前n项和．
【变式3-3】（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知为数列的前项积，且.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）记，求数列的前项和.
【题型4 由Sn与an关系求通项】
【例4】（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A．414 B．406 C．403 D．393
【变式4-1】（2022秋·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且成等差数列，若，则使得，同时成立的k的值为________．
【变式4-2】（2022秋·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）若是等差数列，首项，则使前项和成立的最大正整数是__________.
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，数列满足，且.求数列和的通项公式；
【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，若，
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
【题型5 等差数列前n项和的性质】
【例5】（2022秋·北京·高三中关村中学校考阶段练习）记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．36 B．45 C．63 D．75
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（ ）
A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040
【变式5-2】（2022·河南新乡·统考一模）设等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2022·全国·高三专题练习）一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．20
【题型6 等差数列前n项和的函数特征】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，且，，则当（ ）时，最大.
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知数列是等差数列，且满足，则数列的前项和的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式6-2】（2022·全国·校联考模拟预测）设为等差数列的前项和，且，都有.若，则（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最大值是
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）（多选）数列的通项为，它的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是递减数列 B．当或者时，有最大值
C．当或者时，有最大值 D．和都没有最小值
【变式6-4】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）（多选）已知等差数列中，当且仅当时，仅得最大值.记数列的前k项和为，（ ）
A．若，则当且仅当时，取得最大值
B．若，则当且仅当时，取得最大值
C．若，则当且仅当时，取得最大值
D．若，，则当或14时，取得最大值
【题型7 含绝对值的等差数列前n项和】
【例7】（2022秋·山西·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，设，求.
【变式7-1】（2022·四川遂宁·统考一模）已知等差数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【变式7-2】（2022秋·广东中山·高三小榄中学校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前20项和.
【变式7-3】（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，公差，且满足成等比数列．
（1）求；
（2）求数列的前30项和．
【变式7-4】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【题型8 等差数列的简单应用】
【例8】（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（ ）
A．乙分到37文，丁分到31文 B．乙分到40文，丁分到34文
C．乙分到31文，丁分到37文 D．乙分到34文，丁分到40文
【变式8-1】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统地介绍了等差数列，同类结果在三百年后在印度才首次出现，卷中记载“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：“现有一善于织布的女子，从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（30天）共织390尺布”，假如该女子1号开始织布，则这个月中旬（第11天到第20天）的织布量为（ ）
A．26 B．130 C． D．156
【变式8-2】（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，我们发现，当，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，则时，圆球总个数为（ ）
A．30 B．35 C．40 D．45
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子如下图，则其第10行第11列的数为（ ）
A．220 B．241 C．262 D．264
【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【变式8-5】（2022秋·江苏南通·高三统考期中）（多选）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则（ ）
A．驽马第七日行九十四里 B．第七日良马先至齐
C．第八日二马相逢 D．二马相逢时良马行一千三百九十五里
（建议用时：60分钟）
1．（2023春·北京海淀·高三人大附中校考开学考试）已知为等差数列，其前项和为，若，，，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2023·山西临汾·统考一模）1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星的运行曲线和1531年､1607年的彗星惊人地相似.他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预㝘它将于76年后再度回归.这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年.请你预测它在本世纪回归的年份（ ）
A．2042 B．2062 C．2082 D．2092
3．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）已知数列满足则其前9项和等于（ ）
A．150 B．180 C．300 D．360
4．（2022秋·上海静安·高三上海市回民中学校考期中）已知数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为
A．10 B．20 C．30 D．40
7．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．15 B．23 C．28 D．30
8．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列是递增数列 D．
9．（2023秋·山东济南·高三统考期中）（多选）已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．
10．（2023·广东梅州·统考一模）（多选）设是公差为（）的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则是数列的最大项
B．若数列有最小项，则
C．若数列是递减数列，则对任意的：，均有
D．若对任意的，均有，则数列是递增数列
11．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）记等差数列的前n项和为，已知，，则的通项公式为______.
12．（2022·四川达州·统考一模）已知数列 满足，，，则等于__________.
13．（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列的前项和为，且，若存在两项，使得，则的最小值为_____________.
14．（2023·陕西铜川·校考一模）已知数列中，，且，数列的前n项和为，若对任意的正整数n，总有，则t的取值范围是_____．
15．（2023秋·重庆·高三统考学业考试）已知等差数列的前项和为，，且、、成等比数列.
（1）求； （2）求数列的前项和.
16．（2023·浙江·校联考模拟预测）在数列中，，在数列中，.
（1）求证数列成等差数列并求； （2）求证：.
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