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新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点7-1 空间几何体的表面积与体积8大题型
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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点7-1 空间几何体的表面积与体积8大题型
空间几何体的结构特征与斜二测画法是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点。几何体的表面积与体积与多个结合体结合是主要的命题形式，有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想。考生在复习时，不仅要对空间几何体的基本结构了如指掌，还应加强几何体表面积和体积的多种方法训练。
一、立体图形的直观图的画法
斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．
（1）“斜”：在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x'轴承45°或135°
（2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于x'轴或z'轴的线段长度不变；平行于y'轴的长度变成原来的一半.
二、常见几何体的外接球
1、长方体的外接球：长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，
则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2)
2、正方体的外接球：正方体的棱长为a，外接球半径为R，则2R=3a
长方体的外接球 正方体的外接球
3、直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的连线的中点
4、正棱锥的外接球：正棱锥顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高线上。
（1）正三棱锥：设正三棱锥的棱长a，外接球的半径R=64a.
（2）正四棱锥：设正四棱锥的棱长为a，外接球半径R=22a
三、能补形为长方体的类型
1、墙角模型：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出
【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑
2、对棱相等：对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。
推导过程：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，（，，）
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为，
，，，列方程组，
，
补充：
第三步：根据墙角模型，，
，，求出，
四、最短路径问题解题思路
1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面
2、方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解。
【题型1 空间几何体的结构特征】
【例1】（2022·全国·高三专题练习）以下四个命题中，真命题为（ ）
A．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
B．底面是矩形的平行六面体是长方体
C．直四棱柱是直平行六面体
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
【变式1-1】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知：“四棱柱是正棱柱”，：“四棱柱的底面和侧面都是矩形”，则是的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【变式1-2】（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
C．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
【变式1-3】（2023·安徽淮北·统考一模）如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体
【变式1-4】（2022·全国·高三专题练习）正方体中，用平行于的截面将正方体截成两部分，则所截得的两个几何体不可能是（ ）
A．两个三棱柱 B．两个四棱台 C．两个四棱柱 D．一个三棱柱和一个五棱柱
【题型2 空间几何体的表面积】
【例2】（2023·云南曲靖·统考一模）如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，圆锥的高是0.4m，底面直径和球的直径都是0.6m，现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米需要涂200克，则共需涂胶（ ）克（精确到个位数）
A．176 B．207 C．239 D．270
【变式2-1】（2023·河南郑州·统考一模）河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为，高为2，体积为，则该“方斗”的侧面积为（ ）
A．24 B．12 C． D．
【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形ABFE和四边形DCFE是两个全等的等腰梯形，，和是两个全等的正三角形.已知该多面体的棱BF与平面ABCD所成的角为45°，，，则该屋顶的表面积为（ ）
A．100 B． C．200 D．
【变式2-3】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（ ）
A． B． C．4 D．5
【变式2-4】（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知正三棱柱与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为（ ）
A． B． C． D．2
【题型3 空间几何体的体积】
【例3】（2023春·天津滨海新·高三校联考开学考试）已知A，B，C是半径为的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）如图1，位于西安大慈恩寺的大雁塔是我国现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，其最高处的塔刹可以近似地看成一个正四棱锥，如图2，已知正四棱锥的高为4.87m，其侧棱与高的夹角为45°，则该正四棱锥的体积约为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·全国·模拟预测）如图，已知四棱柱的体积为V，四边形ABCD为平行四边形，点E在上且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·陕西西安·统考一模）盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小时，盲盒内剩余空间的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】（2023·云南红河·统考一模）如图所示是一块边长为10cm的正方形铝片，其中阴影部分由四个全等的等腰梯形和一个正方形组成，将阴影部分裁剪下来，并将其拼接成一个无上盖的容器（铝片厚度不计），则该容器的容积为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 斜二测画法及应用】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）如图，是一个平面图形的直观图，若，则这个平面图形的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中,，则原图形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）如图，是水平放置的的直观图，，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 空间几何体中的最短路径】
【例5】（2023·高三课时练习）如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（ ）．
A． B． C．3 D．2
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A．cm B．cm C．9cm D．cm
【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点，已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）
A．3 B． C． D．
【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，某圆锥的高为，底面半径为1，O为底面圆心，OA，OB为底面半径，且∠AOB=M是母线PA的中点，则在此圆锥侧面上，从M到B的路径中，最短路径的长度为（ ）
A． B．-1 C． D．+1
【变式5-4】（2022·全国·高三专题练习）如图，直三棱柱中，，点分别是棱的中点，一只蚂蚁从点出发，绕过三棱柱的一条棱爬到点处，则这只蚂蚁爬行的最短路程是__________．
【题型6 空间几何体的外接球】
【例6】（2023·陕西西安·统考一模）在三棱锥，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023秋·辽宁·高三校联考期末）正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，P为侧棱SA的中点，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023·广东梅州·统考一模）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，平面，四边形，为两个全等的等腰梯形，，且，则此刍甍的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】（2023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除如图所示，底面为正方形，，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 空间几何体的内切球】
【例7】（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知正四棱锥的体积为，则该正四棱锥内切球表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2022秋·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知三棱柱中，，，平面平面，，若该三棱柱存在体积为的内切球，则三棱锥体积为（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式7-2】（2022·全国·模拟预测）已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2022秋·北京昌平·高三昌平一中校考阶段练习）古希腊阿基米德被称为“数学之神”.在他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球，这个球的直径恰好等于圆柱的高，则球的表面积与圆柱的表面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知三棱锥P－ABC的所有顶点均在半径为2的球的O球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥P－ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球的半径为r，则（ ）
A．1 B． C． D．
【变式7-5】（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知圆台的内切球与圆台侧面相切的切点位于圆台高的处，若圆台的上底面半径为，则球的体积为______.
【变式7-6】（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）古希腊伟大的数学家阿基米德（公元前287~公元前212）出生于叙拉古城，在其辉煌的职业生涯中，最令他引以为傲的是记录在《论球和圆柱》中提到的：假设一个圆柱外切于一个球，则圆柱的体积和表面积都等于球的一倍半（即）．现有球与圆柱的侧面与上下底面均相切（如图），若圆柱又是球的内接圆柱，设球，圆柱的表面积分别为，体积分别为，则__________；_________．
【题型8 空间几何体的截面问题】
【例8】（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【变式8-1】（2023·湖南·模拟预测）已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2023·全国·模拟预测）已知球O中有两个半径为2的截面圆，，圆与圆的相交弦， 的中点为P，若，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）在正棱台中，为棱中点.当四棱台的体积最大时，平面截该四棱台的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-4】（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-5】（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，点M在上，，过点M作三棱锥外接球的截面，则截面圆周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（建议用时：60分钟）
1．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面
B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线
C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点
D．圆锥的母线可能平行
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，若，，则的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
3．（2023秋·广东清远·高三统考期末）在三棱锥中，“三棱锥为正三棱锥”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
5．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为，则它的侧棱与底面所成角的正切直约为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·广东茂名·统考一模）已知菱形ABCD的各边长为2，.将沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥，如图所示，当三棱锥的表面积最大时，三棱锥的外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）在四棱锥中，正方形所在平面与所在平面相互垂直，为上一点，且为正方形的中心，四棱锥体积的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·福建漳州·统考二模）已知某圆锥的底面半径为1，高为，则它的侧面积与底面积之比为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
9．（2022秋·天津南开·高三统考阶段练习）用底面半径为的圆柱形木料车出7个球形木珠，木珠的直径与圆柱形木料的高相同．下料方法：相邻的木珠相切，与圆柱侧面接触的6个木珠与侧面相切，如图所示是平行于底面且过圆柱母线中点的截面．则7个木珠的体积之和与圆柱形木料体积之比为（ ）．
A． B． C． D．
10．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知一个正四棱柱所有棱长均为3，若该正四棱柱内接于半球体，即正四棱柱的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内，则半球体的体积为（ ）．
A． B． C． D．
11．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）在九章算术商功中将正四面形棱台体棱台的上、下底面均为正方形称为方亭在方亭中，，方亭的体积为，则侧面的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023春·湖北襄阳·高三襄阳市襄州区第一高级中学校考开学考试）如图,已知四面体ABCD中,,,E,F分别是AD,BC的中点．若用一个与直线EF垂直,且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体,由此得到一个多边形截面,则该多边形截面面积的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
13．（2023春·河南濮阳·高三统考开学考试）已知圆柱的下底面圆的内接正三角形ABC的边长为6，P为圆柱上底面圆上任意—点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023秋·山东泰安·高三统考期末）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023秋·河北保定·高三统考期末）已知三棱锥的所有棱长均为2，以BD为直径的球面与的交线为L，则交线L的长度为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）在四面体中，，，，，则该四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·贵州毕节·统考一模）正方体的棱长为，点为的中点，一只蚂蚁从点出发，沿着正方体表面爬行，每个面只经过一次，最后回到点．若在爬行过程中任意时刻停下来的点与点的连线都与垂直，则爬行的总路程为（ ）
A． B．6 C． D．3
18．（2023·广东深圳·统考一模）如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·湖南·模拟预测）在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积与三棱锥的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·安徽合肥·统考一模）已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为（ ）
A． B． C． D．
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点7-1 空间几何体的表面积与体积8大题型
空间几何体的结构特征与斜二测画法是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点。几何体的表面积与体积与多个结合体结合是主要的命题形式，有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想。考生在复习时，不仅要对空间几何体的基本结构了如指掌，还应加强几何体表面积和体积的多种方法训练。
一、立体图形的直观图的画法
斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．
（1）“斜”：在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x'轴承45°或135°
（2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于x'轴或z'轴的线段长度不变；平行于y'轴的长度变成原来的一半.
二、常见几何体的外接球
1、长方体的外接球：长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，
则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2)
2、正方体的外接球：正方体的棱长为a，外接球半径为R，则2R=3a
长方体的外接球 正方体的外接球
3、直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的连线的中点
4、正棱锥的外接球：正棱锥顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高线上。
（1）正三棱锥：设正三棱锥的棱长a，外接球的半径R=64a.
（2）正四棱锥：设正四棱锥的棱长为a，外接球半径R=22a
三、能补形为长方体的类型
1、墙角模型：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出
【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑
2、对棱相等：对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。
推导过程：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，（，，）
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为，
，，，列方程组，
，
补充：
第三步：根据墙角模型，，
，，求出，
四、最短路径问题解题思路
1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面
2、方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解。
【题型1 空间几何体的结构特征】
【例1】（2022·全国·高三专题练习）以下四个命题中，真命题为（ ）
A．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
B．底面是矩形的平行六面体是长方体
C．直四棱柱是直平行六面体
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
【变式1-1】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知：“四棱柱是正棱柱”，：“四棱柱的底面和侧面都是矩形”，则是的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【变式1-2】（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
C．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
【变式1-3】（2023·安徽淮北·统考一模）如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体
【变式1-4】（2022·全国·高三专题练习）正方体中，用平行于的截面将正方体截成两部分，则所截得的两个几何体不可能是（ ）
A．两个三棱柱 B．两个四棱台 C．两个四棱柱 D．一个三棱柱和一个五棱柱
【题型2 空间几何体的表面积】
【例2】（2023·云南曲靖·统考一模）如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，圆锥的高是0.4m，底面直径和球的直径都是0.6m，现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米需要涂200克，则共需涂胶（ ）克（精确到个位数）
A．176 B．207 C．239 D．270
【变式2-1】（2023·河南郑州·统考一模）河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为，高为2，体积为，则该“方斗”的侧面积为（ ）
A．24 B．12 C． D．
【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形ABFE和四边形DCFE是两个全等的等腰梯形，，和是两个全等的正三角形.已知该多面体的棱BF与平面ABCD所成的角为45°，，，则该屋顶的表面积为（ ）
A．100 B． C．200 D．
【变式2-3】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（ ）
A． B． C．4 D．5
【变式2-4】（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知正三棱柱与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为（ ）
A． B． C． D．2
【题型3 空间几何体的体积】
【例3】（2023春·天津滨海新·高三校联考开学考试）已知A，B，C是半径为的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）如图1，位于西安大慈恩寺的大雁塔是我国现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，其最高处的塔刹可以近似地看成一个正四棱锥，如图2，已知正四棱锥的高为4.87m，其侧棱与高的夹角为45°，则该正四棱锥的体积约为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·全国·模拟预测）如图，已知四棱柱的体积为V，四边形ABCD为平行四边形，点E在上且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·陕西西安·统考一模）盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小时，盲盒内剩余空间的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】（2023·云南红河·统考一模）如图所示是一块边长为10cm的正方形铝片，其中阴影部分由四个全等的等腰梯形和一个正方形组成，将阴影部分裁剪下来，并将其拼接成一个无上盖的容器（铝片厚度不计），则该容器的容积为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 斜二测画法及应用】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）如图，是一个平面图形的直观图，若，则这个平面图形的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中,，则原图形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）如图，是水平放置的的直观图，，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 空间几何体中的最短路径】
【例5】（2023·高三课时练习）如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（ ）．
A． B． C．3 D．2
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A．cm B．cm C．9cm D．cm
【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点，已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）
A．3 B． C． D．
【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，某圆锥的高为，底面半径为1，O为底面圆心，OA，OB为底面半径，且∠AOB=M是母线PA的中点，则在此圆锥侧面上，从M到B的路径中，最短路径的长度为（ ）
A． B．-1 C． D．+1
【变式5-4】（2022·全国·高三专题练习）如图，直三棱柱中，，点分别是棱的中点，一只蚂蚁从点出发，绕过三棱柱的一条棱爬到点处，则这只蚂蚁爬行的最短路程是__________．
【题型6 空间几何体的外接球】
【例6】（2023·陕西西安·统考一模）在三棱锥，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023秋·辽宁·高三校联考期末）正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，P为侧棱SA的中点，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023·广东梅州·统考一模）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，平面，四边形，为两个全等的等腰梯形，，且，则此刍甍的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】（2023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除如图所示，底面为正方形，，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 空间几何体的内切球】
【例7】（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知正四棱锥的体积为，则该正四棱锥内切球表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2022秋·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知三棱柱中，，，平面平面，，若该三棱柱存在体积为的内切球，则三棱锥体积为（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式7-2】（2022·全国·模拟预测）已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2022秋·北京昌平·高三昌平一中校考阶段练习）古希腊阿基米德被称为“数学之神”.在他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球，这个球的直径恰好等于圆柱的高，则球的表面积与圆柱的表面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知三棱锥P－ABC的所有顶点均在半径为2的球的O球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥P－ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球的半径为r，则（ ）
A．1 B． C． D．
【变式7-5】（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知圆台的内切球与圆台侧面相切的切点位于圆台高的处，若圆台的上底面半径为，则球的体积为______.
【变式7-6】（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）古希腊伟大的数学家阿基米德（公元前287~公元前212）出生于叙拉古城，在其辉煌的职业生涯中，最令他引以为傲的是记录在《论球和圆柱》中提到的：假设一个圆柱外切于一个球，则圆柱的体积和表面积都等于球的一倍半（即）．现有球与圆柱的侧面与上下底面均相切（如图），若圆柱又是球的内接圆柱，设球，圆柱的表面积分别为，体积分别为，则__________；_________．
【题型8 空间几何体的截面问题】
【例8】（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【变式8-1】（2023·湖南·模拟预测）已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2023·全国·模拟预测）已知球O中有两个半径为2的截面圆，，圆与圆的相交弦， 的中点为P，若，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）在正棱台中，为棱中点.当四棱台的体积最大时，平面截该四棱台的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-4】（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-5】（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，点M在上，，过点M作三棱锥外接球的截面，则截面圆周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（建议用时：60分钟）
1．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面
B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线
C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点
D．圆锥的母线可能平行
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，若，，则的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
3．（2023秋·广东清远·高三统考期末）在三棱锥中，“三棱锥为正三棱锥”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
5．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为，则它的侧棱与底面所成角的正切直约为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·广东茂名·统考一模）已知菱形ABCD的各边长为2，.将沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥，如图所示，当三棱锥的表面积最大时，三棱锥的外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）在四棱锥中，正方形所在平面与所在平面相互垂直，为上一点，且为正方形的中心，四棱锥体积的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·福建漳州·统考二模）已知某圆锥的底面半径为1，高为，则它的侧面积与底面积之比为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
9．（2022秋·天津南开·高三统考阶段练习）用底面半径为的圆柱形木料车出7个球形木珠，木珠的直径与圆柱形木料的高相同．下料方法：相邻的木珠相切，与圆柱侧面接触的6个木珠与侧面相切，如图所示是平行于底面且过圆柱母线中点的截面．则7个木珠的体积之和与圆柱形木料体积之比为（ ）．
A． B． C． D．
10．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知一个正四棱柱所有棱长均为3，若该正四棱柱内接于半球体，即正四棱柱的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内，则半球体的体积为（ ）．
A． B． C． D．
11．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）在九章算术商功中将正四面形棱台体棱台的上、下底面均为正方形称为方亭在方亭中，，方亭的体积为，则侧面的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023春·湖北襄阳·高三襄阳市襄州区第一高级中学校考开学考试）如图,已知四面体ABCD中,,,E,F分别是AD,BC的中点．若用一个与直线EF垂直,且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体,由此得到一个多边形截面,则该多边形截面面积的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
13．（2023春·河南濮阳·高三统考开学考试）已知圆柱的下底面圆的内接正三角形ABC的边长为6，P为圆柱上底面圆上任意—点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023秋·山东泰安·高三统考期末）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023秋·河北保定·高三统考期末）已知三棱锥的所有棱长均为2，以BD为直径的球面与的交线为L，则交线L的长度为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）在四面体中，，，，，则该四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·贵州毕节·统考一模）正方体的棱长为，点为的中点，一只蚂蚁从点出发，沿着正方体表面爬行，每个面只经过一次，最后回到点．若在爬行过程中任意时刻停下来的点与点的连线都与垂直，则爬行的总路程为（ ）
A． B．6 C． D．3
18．（2023·广东深圳·统考一模）如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·湖南·模拟预测）在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积与三棱锥的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·安徽合肥·统考一模）已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为（ ）
A． B． C． D．
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