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新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点8-2 椭圆及其应用8大题型
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这是一份新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点8-2 椭圆及其应用8大题型，文件包含热点8-2椭圆及其应用8大题型原卷版docx、热点8-2椭圆及其应用8大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点8-2 椭圆及其应用6大题型
椭圆是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点。考试中主要考查椭圆的概念性质等基础知识，选择、填空、解答题都会出现。与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，在突破重难点上要注意。基础、拔高、分层训练，更为重要的是掌握圆锥曲线的解题的思想方法，才能做到灵活应对。
一、椭圆的焦点三角形
1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。
一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立AF1+AF2，AF12+AF22，AF1AF2之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（）
性质1：AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a.（两个定义）
拓展：∆AF1F2的周长为AF1+AF1+F1F2=2a+2c
∆ABF1的周长为AF1+AF2+BF1+BF2=4a
性质2：4c2=F1F22=AF12+AF22−2AF1AF2csθ（余弦定理）
二、直线与椭圆相交的弦长公式
1、定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2、求弦长的方法：
（1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
三、解决椭圆中点弦问题的两种方法：
1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。
证明：设、，则有，
上式减下式得，∴，
∴，∴。
特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，
则有。
【题型1 椭圆的定义及概念辨析】
【例1】（2022·全国·高三专题练习）在平面上，动点与两个定点，的距离之和为，若，则点的轨迹为（ ）
A．线段 B．两条射线 C．椭圆 D．不存在
【答案】D
【解析】由题意可知，,
所以点的轨迹为不存在.故选：D.
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）设定点，，动点满足条件，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段或不存在
【答案】D
【解析】由题中坐标得：，又，
则当时，点的轨迹为线段；
当时，点的轨迹为椭圆；
当时，点的轨迹不存在.故选：D.
【变式1-2】（2022秋·四川广安·高三广安二中校考期中）若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为6，则P到另一个焦点的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由椭圆，得，则．
因为点P到椭圆一焦点的距离为6，
所以由椭圆定义得点P到另一焦点到距离为.故选：B．
【变式1-3】（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点到右焦点的距离为2，点是上一点，且，则___________.
【答案】
【解析】由题意可知：，
因为椭圆的焦点在轴上时，，，
又因为，所以，
由椭圆的定义可知：，
因为，则，
故答案为：.
【变式1-4】（2023·全国·高三专题练习）点M在椭圆上，是椭圆的左焦点，O为坐标原点，N是中点，且ON长度是4，则的长度是__________．
【答案】
【解析】设椭圆右焦点为，连接
由已知得，则
因为N是中点，为的中点，
，
再根据椭圆定义得
故答案为：.
【变式1-5】（2022·全国·高三专题练习）平面内一点M到两定点 的距离之和等于12，则点M的轨迹是______.
【答案】线段
【解析】由题意知,且,
故,所以点M的轨迹是线段F1F2.
故答案为：线段
【题型2 利用椭圆定义求最值】
【例2】（2023春·广西柳州·高三统考阶段练习）已知F是椭圆的右焦点，P为椭圆C上一点，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得：，则椭圆的右焦点，
∵，故点在椭圆外，
设椭圆C的左焦点为，则，即，
故，
∵，当点P在的延长线上时取等号，
∴，
即的最大值为，故选：D．
【变式2-1】（2023秋·云南德宏·高三统考期末）已知椭圆C：，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则的范围为_____．
【答案】
【解析】由椭圆标准方程可知，
又点P在椭圆上，根据椭圆定义可得，所以
所以
易知，当且仅当三点共线时等号成立；
又，所以；
即的范围为.
故答案为：
【变式2-2】（2022秋·河北沧州·高三任丘市第一中学校考期中）已知椭圆C的一个焦点为，椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，则椭圆C的标准方程为______；若P为椭圆C上一动点，，则的最小值为______．
【答案】；1
【解析】因为椭圆C的一个焦点为，所以椭圆C的焦点在y轴上，且，
因为椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，所以，得，
因为，所以椭圆C的标准方程为；
将M（3,3）代入椭圆方程，得 ，所以M点在椭圆外，
作图如下：
设椭圆C的另一个焦点为，则，
所以．
当，P，M三点共线时，取得最小值，
且最小值为，
所以的最小值为1；
故答案为：，1.
【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】椭圆上的点P满足，
当点P为的延长线与C的交点时，
达到最大值，最大值为．故选：B
【变式2-4】（2022秋·山西·高三校联考阶段练习）（多选）已知点，，为圆上的点，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】AB
【解析】对于A，以为两个焦点，长轴长为的椭圆可表示为：，
由得：，
若椭圆与圆有交点，则可设交点横坐标为，则，
，解得：，
则此时可令一交点为，则，A正确；
对于B，（当且仅当在线段延长线上时取等号），
当时，，B正确；
对于C，设，，则，
；
，
，当时，，C错误；
对于D，，令
，
，
在上单调递增，且，，
，使得，则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
又，，
，即的最大值为，D错误.故选：AB.
【变式2-5】（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）若平面向量满足，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，则，且，
不妨设，
则，
由，即，
故点的轨迹为以为焦点的椭圆，
∴，
则，当且仅当点为的延长线与椭圆的交点时等号成立，
，当且仅当点为的延长线与椭圆的交点时等号成立，
即，故.故选：D.
【题型3 椭圆的标准方程】
【例3】（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）若，则“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若方程表示椭圆，
则解得或，
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B.
【变式3-1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）若m，，且则“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由可得：，根据指数函数单调性得，
又因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，
由不能推出，但由一定能推出，
所以“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选:B.
【变式3-2】（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，可得；令，可得.
则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为，.
因为，所以椭圆的焦点在轴上.
设椭圆的方程为，则，，
所以椭圆的方程为.故选：C.
【变式3-3】（2023·江苏南京·校考一模）已知椭圆的两个焦点为和，直线l过点，点关于l的对称点A在C上，且，则C的方程为__________．
【答案】
【解析】因为A与关于直线l对称，所以直线l为的垂直平分线，
又，
所以，由椭圆的定义可得，
设直线l与交于点M，则M为的中点，且，
所以
，
解得或1（舍去），所以，，
则C的方程为：．
故答案为：．
【题型4 椭圆的焦点三角形问题】
【例4】（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上一点，且是直角三角形，的面积等于（ ）
A．3 B． C．3或 D．3或
【答案】C
【解析】由于是椭圆上一点，∴，
两边平方可得，即，
因为是直角三角形，
当时，，∴根据勾股定理可得，
综上可解得，∴的面积等于；
当时，，∴根据勾股定理可得，
结合,计算可得,
∴的面积等于；
当时，，∴根据勾股定理可得，
结合,计算可得,
∴的面积等于.故选:.
【变式4-1】（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知点分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且满足，则该椭圆的离心率是____．
【答案】
【解析】如下图所示：
设，则，因为，则，
由椭圆的定义可得，则，
所以，，则，
由勾股定理可得，则，则，
因此，该椭圆的离心率为.
故答案为:
【变式4-2】（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）设、为椭圆的两个焦点，M为C上一点．若为等腰三角形，则的内切圆半径为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】由题意知椭圆，则其长半轴，短半轴，焦距，
当M点位于椭圆的短轴端点时，不妨设为A点，
此时的面积为 ，
设内切圆半径为r,则,
即；
三角形内切圆半径公式的推导：
当M点不在椭圆短轴端点时，根据椭圆的对称性，不妨假设在第一象限内，
此时,此时，由为等腰三角形，
可知,则，
的面积为，
则,即，
综合可得的内切圆半径为或，故选：D
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知点P是椭圆C：上一点，点、是椭圆C的左、右焦点，若的内切圆半径的最大值为，若椭圆的长轴长为4，则的面积的最大值为（ ）
A．2 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：，，
设的内切圆半径为，
所以，
因为的内切圆半径的最大值为，
所以
因为，所以，可得，
又椭圆的长轴长为4，即，
由，求得，所以的面积的故选：A
【题型5 椭圆的离心率值与范围】
【例5】（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程，，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，可作图如下：
则，，即，
可设，，，
由，
则，即，，
在中，，
则.故选：C.
【变式5-1】（2023·云南文山·高三马关县第一中学校校考阶段练习）已知椭圆：的右焦点是抛物线：的焦点，抛物线的准线与轴交于点，设点为椭圆与抛物线的一个交点，以为直径的圆过点，则椭圆的离心率为______．
【答案】
【解析】以为直径的圆过点，，
，，则，
点也在椭圆：上，，
，即，
将其代入整理得，解得：，
但当时，，不成立，，
，故，
故答案为：.
【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆=1的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，，且，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则，
因为点A、B关于原点对称，所以四边形为平行四边形，
由，得，，
在中，，
所以，
由，得，整理，得，
又，所以.故选：B
【变式5-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知O为坐标原点，F是椭圆的左焦点．若椭圆C上存在两点A，B满足，且A，B，O三点共线，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆C的右焦点为，连接．
由椭圆的性质得，，，即椭圆上存在点A，满足，
即以为直径的圆与椭圆有公共点．
设椭圆C的半焦距为，所以只需，所以，即，
所以椭圆C的离心率的取值范围为．故选：C
【变式5-4】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的左，右焦点分别是，，点P是椭圆C上一点，点Q是线段靠近点的三等分点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意作图如下：
设 ， ，则有 ， ，
， ， ， ，得：…① ，
化简得： ，即 ，P点也在以 为圆心半径为c的圆上，
即圆与椭圆必定有不与右顶点重合的交点
（与右顶点重合显然不满足题意），
圆 与x轴除原点外的另一个交点的坐标是 ，并且该交点必须在椭圆外，
，即 ，因为是椭圆，所以 ；故选：A.
【变式5-5】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆（）与双曲线（，）具有相同焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】设P为第一象限的交点，
则由椭圆和双曲线的定义可知，
∴在△中由余弦定理得：
即：
∴，即：
∴
当且仅当，即时，取得最小值为3.故选：B.
【题型6 椭圆的中点弦问题】
【例6】（2022秋·福建龙岩·高三上杭县第二中学校考阶段练习）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设点、，则的中点为，
则，可得.
若直线轴，则线段的中点在轴上，不合题意；
故直线的斜率存在，且，
由于A、两点都在椭圆上，则，
两式相减得，即，
因为在直线AB上，故，故，即，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.故选：A.
【变式6-1】（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知直线与椭圆交于A，B两点，线段的中点为，则椭圆C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则从而，
故．由题意可得，
则，从而，故椭圆C的离心率．故选：A.
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，点在椭圆C：上，直线l：与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为．
（1）求C的方程；
（2）若，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析
【解析】（1）设，则
∵在椭圆上，则
两式相减得，整理得
∴，即，则
又∵点在椭圆C：上，则
联立解得
∴椭圆C的方程为
（2）不存在，理由如下：
假定存在P，Q两点关于l：对称，设直线PQ与直线l的交点为N，
则N为线段PQ的中点，连接ON
∵，则，即
由（1）可得，则，即直线
联立方程，解得，即
∵，则在椭圆C外
∴假定不成立，不存在P，Q两点关于l对称
【变式6-3】（2022·全国·高三专题练习）已知曲线上一动点到两定点，的距离之和为，过点 的直线与曲线相交于点，．
（1）求曲线的方程；
（2）动弦满足： ，求点的轨迹方程；
【答案】（1）；（2）；
【解析】（1）因为动点到两定点，的距离之和为，
所以曲线是以，为焦点的椭圆，，，
所以，，所以曲线的方程为；
（2）因为，所以为中点，设，
当的斜率存在且不为0时，将，代入椭圆方程中得：
两式相减得，
即，所以，
即，，整理得；
当的斜率不存在或为0时，有或，也满足；
所以点的轨迹方程是；
综上，曲线 的方程为，点的轨迹方程是.
【变式6-4】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，过右焦点的直线交椭圆于、，且是线段的中点，是椭圆左焦点，求的面积．
【答案】
【解析】因为直线过点、，
所以，所以直线，
设，，则，，
所以、，
所以，即
所以，即，
又，所以，
又，，所以，所以椭圆方程为，
联立直线AB与椭圆方程为，消去整理得，
所以，，
所以，
故．
【题型7 椭圆的弦长问题】
【例7】（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知椭圆，直线交于两点，点，则的周长为__________．
【答案】
【解析】由题知，
所以椭圆的焦点坐标为
所以，由得，
所以，为等边三角形，且
因为，当时，解方程得，
所以，直线过点，且倾斜角为，即，
所以，直线为为等边三角形中角的角平分线，
所以，直线为边的中垂线，
所以，
因为
所以，的周长为
，
故答案为：
【变式7-1】（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，C的下顶点为A，离心率为，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长为______.
【答案】
【解析】因为椭圆的离心率，所以，，
所以椭圆的方程为，即，
在中，，，所以为正三角形，
过且垂直于的直线与C交于D，E两点，
所以DE为线段的垂直平分线，直线DE的斜率为，
所以直线的方程为，
设，，由，得，
所以，，
所以，解得，
所以，
因为为线段的垂直平分线，所以，，
所以的周长为.
故答案为：
【变式7-2】（2023·陕西咸阳·校考一模）已知椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与圆相切且与椭圆交于、两点，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）椭圆的四个顶点构成的四边形的面积为，
由题意可得，解得，．
所以，椭圆的方程为．
（2）若直线与轴重合，此时直线与圆相交，不合乎题意，
设直线的方程为，由题意可得，即.
联立消去得，即，
．
设、，则，．
所以，
．
令，则，则，
当且仅当时等号成立，此时，．
故的最大值为．
【变式7-3】（2023·湖北·校联考模拟预测）已知椭圆过点.
（1）若椭圆E的离心率，求b的取值范围；
（2）已知椭圆E的离心率，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆相切，求线段的最大值.
【答案】（1）；（2）2
【解析】（1）∵在椭圆，∴，有，所以，
又∵，所以，∵，∴；
（2）由（1）可知，又，
所以，椭圆.
因为直线与相切，故.
若直线的斜率不存在，不妨设直线为：，
代入椭圆方程可得此时线段.
若直线的斜率存在，可设直线的方程为：.
由直线与相切，故，可得：.
联立得，
所以，
线段
.
又因为，所以.
当且仅当，故当时，的最大值为2.
综上所述：当时，线段的最大值2.
【变式7-4】（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，所以.
设椭圆方程为，将代入，得.
故椭圆方程为.
（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
易得其中一条弦为长轴，
另一条弦长为椭圆的通径为，即；
②当两条弦斜率均存在且不为0时，设，，
设直线的方程为，则直线的方程为，
将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得：，
∴，，
∴，
同理，，
∴，
令，则，
∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴.
综合②可知，的取值范围为.
【题型8 直线与椭圆综合问题】
【例8】（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线.
（1）求的方程，并说明是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点.证明：直线与的斜率之积为定值.
【答案】（1）（），所以是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含上下顶点；（2）证明见解析
【解析】（1）由题设得，化简得（），
所以是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含上下顶点；
（2）设直线的斜率为，则其方程为（），
由，解得，
记，则，，，
于是，故直线的方程为，
由，得，①
设，则由题设可知和是方程①的解，
故，由此得，
从而直线的斜率，所以，
所以直线与的斜率之积为定值.
【变式8-1】（2023秋·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知椭圆，倾斜角为的直线过椭圆的左焦点和上顶点B，且（其中A为右顶点）.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题可知，解得
故椭圆的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，设，，，
由，，得，
同理，当,时，得，所以，
当直线l的斜率存在时，即时，
设直线的方程为，
联立，消去y得.
因为直线l与椭圆C交于不同的两点P、Q，所以，
即①.
设，则②，
则，
由，得③，
③代入②得，
化简整理得④，
将④代入①得，化简得，解得或.
综上，m的取值范围为.
【变式8-2】（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知椭圆C：的离心率为，且为C上一点．
（1）求C的标准方程；
（2）点A，B分别为C的左、右顶点，M，N为C上异于A，B的两点，直线MN不与坐标轴平行且不过坐标原点О，点M关于原点О的对称点为，若直线与直线BN相交于点P，直线OP与直线MN相交于点Q，证明：点Q位于定直线上．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）设椭圆C的焦距为，
由题意得，解得，
∴C的标准方程为．
（2）由题可知，，
设，，
则，设：．
联立消去x得，
∴，，
又，∴：，：，
又∵点P为直线AM'和BN的交点，
∴，
故
，
∴，故：．
联立消去y得，
因此，点Q位于定直线上．
【变式8-3】（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）如图，已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为．过点的直线与该椭圆相交于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与的斜率分别为．试问：是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】（1）依题意可知，，
所以椭圆的方程为：；
（2）(方法一)设直线的方程为，直线的方程为，
联立方程组，
则，则，
所以点的坐标为，
同理，可解得点的坐标为，
当时，此时，因为，则，
当时，此时，
由三点共线，得，
化简有，
由题知同号，所以，
故存在，使得成立．
(方法二)当直线垂直于轴时，点的坐标分别为，
所以此时直线与的斜率分别为，有，
由此猜想：存在满足条件，下面证明猜想正确．
当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，
联立方程组，
，
，
，，
由此可得猜想正确，
故存在，使得成立．
【变式8-4】（2023·山西临汾·统考一模）已知用周长为36的矩形截某圆锥得到椭圆与矩形的四边都相切且焦距为，__________.
①为等差数列；②为等比数列.
（1）在①②中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）（1）中所求的左､右焦点分别为，过作直线与椭圆交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于两点，求以为直径的圆是否过定点，若是求出该定点；若不是请说明理由
【答案】（1）；（2）存在，和.
【解析】（1）选①，由题意解得所以的标椎方程为.
选②，由题意解得所以的标椎方程为.
（2）①当直线的斜率不存在时，的方程为，
不妨设在轴上方，则，
的方程为，令，得，
所以，同理，
所以以为直径的圆的标准方程为.
②当直线的斜率存在时，设的方程为，
联立得，
由韦达定理得.
因为，所以的方程为，
令，得，即的坐标为，
同理的坐标为，
所以以为直径的圆的标准方程为
将韦达定理代入并整理得，
令，则，解得或.
当斜率不存在时，令，则，解得或.
由①②知，以为直径的圆过和.
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1．（2022秋·北京·高三北京八十中校考期末）“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】“方程表示椭圆”的充要条件为，即且.
故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）椭圆的焦点为，，与轴的一个交点为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】在椭圆中，，，.
易知.
又，所以为等边三角形，
即，所以，即.故选：C.
3．（2022秋·福建南平·高三校考期中）设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据椭圆的定义可得，，则，
因为，则当三点共线时，取值最大或最小.
由已知得，，，，，.
如上图，当点位于图中时，根据三角形三边关系取值最大.
.
如上图，当点位于图中时，根据三角形三边关系取值最大.
.
故答案为：.
4．（2023·黑龙江大庆·统考一模）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q在椭圆C上，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
则点P是以为直径的圆与椭圆C的交点，不妨设和点P在第一象限，如图
连接，令，则，，．
因为，所以，即，得，
又，所以，将代入，得．故选：A
5．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知为坐标原点，椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于点，（在第一象限），，P为轴上一点，，面积的最大值为1，且直线与椭圆的另一个交点为，则当的面积最大时，下列结论正确的是（ ）
A． B．点为椭圆的右焦点
C． D．的面积为
【答案】AD
【解析】如图，取椭圆的右焦点为，连接
由对称性可得，
所以，则椭圆C的方程为，
又由题可知，将代入椭圆方程，得，
得点M的坐标为，
因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
因为面积的最大值为1，所以，得，
则，
当的面积最大时，，则，，，
故直线NP的方程为，代入椭圆方程，得，
则，
因为，所以与MQ不垂直；
又，点Q到直线的距离为，
故的面积为
综上可知A，D正确，B，C错误；故选：AD．
6．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）（多选）已知，为椭圆左、右顶点，为的右焦点，是的上顶点，，的垂直平分线交于，，若，，三点共线，则（ ）
A．
B．的离心率为
C．点到直线的距离为
D．直线，的斜率之积为
【答案】ABD
【解析】由题知，，，，
所以，，的中点为，
所以，的垂直平分线的方程为，
因为，，三点共线，所以，整理得，
所以，即
所以，，故A选项正确；
所以，即，解得或（舍）
所以，椭圆的离心率为，故B选项正确；
因为直线的方程为，即，
所以，点到直线的距离为，故C选项错误；
设，则，故，
由于，
所以，故D选项正确；故选：ABD
7．（2023·甘肃兰州·校考一模）若椭圆的中心在原点，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为______．
【答案】
【解析】法一：（直接法）椭圆的中心在原点，一个焦点为，
设椭圆方程为，
由，消去，得，
设直线与椭圆相交所得弦的端点分别为，，
则
由题意知，解得．所求椭圆方程为．
法二：（点差法）椭圆的中心在原点，一个焦点为，
设椭圆的方程为．
设直线与椭圆相交所得弦的端点分别为，，
则得，
即，
又弦的中点的纵坐标为1，故横坐标为-2，
，代入上式得，解得，
故所求的椭圆方程为．
故答案为：
8．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）已知是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为________.
【答案】
【解析】易得，
则，
即，
故
,
故答案为：.
9．（2023·安徽宿州·统考一模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆上异于左右顶点的动点，的周长为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点M作圆的两条切线，切点分别为，直线AB交椭圆C于P，Q两点，求的面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设椭圆焦距为2c，根据椭圆定义可知，
的周长为，离心率
联立，解得，，
所以，即椭圆C的标准方程.
（2）设点，又为切点，可知，
所以四点共圆，即在以OM为直径的圆上，
则以OM为直径的圆的方程为，
又在圆上，
两式相减得直线AB的方程为，如下图所示：
设，，由，
消去y整理后得，
，，
所以
，
又点O到直线PQ的距离，
设的面积为S，则
，
其中，令，则，
设，，则，
所以在区间上单调递增，从而得，
于是可得，即的面积的取值范围为.
10．（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切；过点的直线与椭圆相交于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值，并求取得最大值时与的面积之比.
【答案】（1）；（2）面积的最大值为；面积之比为.
【解析】（1），，即，
，，
又以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，
所以，，，
∴椭圆的方程为：；
（2）可设，，联立，
整理得，
由，，，
则
，当且仅当时成立，
即时面积的最大值为；
此时与的面积之比，
则，，，
前式的平方为，除以后式得，，
即，求得，
此时与的面积之比为.
11．（2023·山东威海·统考一模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，P为C上任意一点（异于A，B），直线AP，BP分别交直线于M，N两点.
（1）求证：；
（2）设直线BM交椭圆C于另一点Q，求证：直线PQ恒过定点.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）设点，，，
，即，且，
则直线的方程为，直线的方程为，
分别令，得，，
即，，
则，
则；
（2）设直线的方程为，点，
由，消去，整理得：，
则，，
则，，
，
则，
则，
代入化简得：，则或，
则直线的方程为或，
化为恒过点，不合题意，舍去，
化为恒过点，
则直线PQ恒过定点.
12．（2022秋·江西吉安·高三吉安一中校考期中）已知椭圆的一个焦点与短轴的一个端点连线的倾斜角为，直线与椭圆相交于和两点，且为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）不妨设左焦点为，上顶点为，则，所以，
因为直线与椭圆相交于和两点，且，
所以将点的坐标代入椭圆的方程，得，
联立方程组，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）设，
若直线的斜率存在，设的方程为，
联立方程组，消去得，
则，
又，所以，且，即，则，
因为，
所以，整理得，
则，且恒成立，
所以，
又，且，所以，即；
当直线的斜率不存在时，，又，解得，
所以
综上，的取值范围为.
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点8-2 椭圆及其应用6大题型
椭圆是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点。考试中主要考查椭圆的概念性质等基础知识，选择、填空、解答题都会出现。与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，在突破重难点上要注意。基础、拔高、分层训练，更为重要的是掌握圆锥曲线的解题的思想方法，才能做到灵活应对。
一、椭圆的焦点三角形
1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。
一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立AF1+AF2，AF12+AF22，AF1AF2之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（）
性质1：AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a.（两个定义）
拓展：∆AF1F2的周长为AF1+AF1+F1F2=2a+2c
∆ABF1的周长为AF1+AF2+BF1+BF2=4a
性质2：4c2=F1F22=AF12+AF22−2AF1AF2csθ（余弦定理）
二、直线与椭圆相交的弦长公式
1、定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2、求弦长的方法：
（1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
三、解决椭圆中点弦问题的两种方法：
1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。
证明：设、，则有，
上式减下式得，∴，
∴，∴。
特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，
则有。
【题型1 椭圆的定义及概念辨析】
【例1】（2022·全国·高三专题练习）在平面上，动点与两个定点，的距离之和为，若，则点的轨迹为（ ）
A．线段 B．两条射线 C．椭圆 D．不存在
【答案】D
【解析】由题意可知，,
所以点的轨迹为不存在.故选：D.
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）设定点，，动点满足条件，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段或不存在
【答案】D
【解析】由题中坐标得：，又，
则当时，点的轨迹为线段；
当时，点的轨迹为椭圆；
当时，点的轨迹不存在.故选：D.
【变式1-2】（2022秋·四川广安·高三广安二中校考期中）若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为6，则P到另一个焦点的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由椭圆，得，则．
因为点P到椭圆一焦点的距离为6，
所以由椭圆定义得点P到另一焦点到距离为.故选：B．
【变式1-3】（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点到右焦点的距离为2，点是上一点，且，则___________.
【答案】
【解析】由题意可知：，
因为椭圆的焦点在轴上时，，，
又因为，所以，
由椭圆的定义可知：，
因为，则，
故答案为：.
【变式1-4】（2023·全国·高三专题练习）点M在椭圆上，是椭圆的左焦点，O为坐标原点，N是中点，且ON长度是4，则的长度是__________．
【答案】
【解析】设椭圆右焦点为，连接
由已知得，则
因为N是中点，为的中点，
，
再根据椭圆定义得
故答案为：.
【变式1-5】（2022·全国·高三专题练习）平面内一点M到两定点 的距离之和等于12，则点M的轨迹是______.
【答案】线段
【解析】由题意知,且,
故,所以点M的轨迹是线段F1F2.
故答案为：线段
【题型2 利用椭圆定义求最值】
【例2】（2023春·广西柳州·高三统考阶段练习）已知F是椭圆的右焦点，P为椭圆C上一点，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得：，则椭圆的右焦点，
∵，故点在椭圆外，
设椭圆C的左焦点为，则，即，
故，
∵，当点P在的延长线上时取等号，
∴，
即的最大值为，故选：D．
【变式2-1】（2023秋·云南德宏·高三统考期末）已知椭圆C：，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则的范围为_____．
【答案】
【解析】由椭圆标准方程可知，
又点P在椭圆上，根据椭圆定义可得，所以
所以
易知，当且仅当三点共线时等号成立；
又，所以；
即的范围为.
故答案为：
【变式2-2】（2022秋·河北沧州·高三任丘市第一中学校考期中）已知椭圆C的一个焦点为，椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，则椭圆C的标准方程为______；若P为椭圆C上一动点，，则的最小值为______．
【答案】；1
【解析】因为椭圆C的一个焦点为，所以椭圆C的焦点在y轴上，且，
因为椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，所以，得，
因为，所以椭圆C的标准方程为；
将M（3,3）代入椭圆方程，得 ，所以M点在椭圆外，
作图如下：
设椭圆C的另一个焦点为，则，
所以．
当，P，M三点共线时，取得最小值，
且最小值为，
所以的最小值为1；
故答案为：，1.
【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】椭圆上的点P满足，
当点P为的延长线与C的交点时，
达到最大值，最大值为．故选：B
【变式2-4】（2022秋·山西·高三校联考阶段练习）（多选）已知点，，为圆上的点，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】AB
【解析】对于A，以为两个焦点，长轴长为的椭圆可表示为：，
由得：，
若椭圆与圆有交点，则可设交点横坐标为，则，
，解得：，
则此时可令一交点为，则，A正确；
对于B，（当且仅当在线段延长线上时取等号），
当时，，B正确；
对于C，设，，则，
；
，
，当时，，C错误；
对于D，，令
，
，
在上单调递增，且，，
，使得，则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
又，，
，即的最大值为，D错误.故选：AB.
【变式2-5】（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）若平面向量满足，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，则，且，
不妨设，
则，
由，即，
故点的轨迹为以为焦点的椭圆，
∴，
则，当且仅当点为的延长线与椭圆的交点时等号成立，
，当且仅当点为的延长线与椭圆的交点时等号成立，
即，故.故选：D.
【题型3 椭圆的标准方程】
【例3】（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）若，则“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若方程表示椭圆，
则解得或，
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B.
【变式3-1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）若m，，且则“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由可得：，根据指数函数单调性得，
又因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，
由不能推出，但由一定能推出，
所以“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选:B.
【变式3-2】（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，可得；令，可得.
则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为，.
因为，所以椭圆的焦点在轴上.
设椭圆的方程为，则，，
所以椭圆的方程为.故选：C.
【变式3-3】（2023·江苏南京·校考一模）已知椭圆的两个焦点为和，直线l过点，点关于l的对称点A在C上，且，则C的方程为__________．
【答案】
【解析】因为A与关于直线l对称，所以直线l为的垂直平分线，
又，
所以，由椭圆的定义可得，
设直线l与交于点M，则M为的中点，且，
所以
，
解得或1（舍去），所以，，
则C的方程为：．
故答案为：．
【题型4 椭圆的焦点三角形问题】
【例4】（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上一点，且是直角三角形，的面积等于（ ）
A．3 B． C．3或 D．3或
【答案】C
【解析】由于是椭圆上一点，∴，
两边平方可得，即，
因为是直角三角形，
当时，，∴根据勾股定理可得，
综上可解得，∴的面积等于；
当时，，∴根据勾股定理可得，
结合,计算可得,
∴的面积等于；
当时，，∴根据勾股定理可得，
结合,计算可得,
∴的面积等于.故选:.
【变式4-1】（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知点分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且满足，则该椭圆的离心率是____．
【答案】
【解析】如下图所示：
设，则，因为，则，
由椭圆的定义可得，则，
所以，，则，
由勾股定理可得，则，则，
因此，该椭圆的离心率为.
故答案为:
【变式4-2】（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）设、为椭圆的两个焦点，M为C上一点．若为等腰三角形，则的内切圆半径为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】由题意知椭圆，则其长半轴，短半轴，焦距，
当M点位于椭圆的短轴端点时，不妨设为A点，
此时的面积为 ，
设内切圆半径为r,则,
即；
三角形内切圆半径公式的推导：
当M点不在椭圆短轴端点时，根据椭圆的对称性，不妨假设在第一象限内，
此时,此时，由为等腰三角形，
可知,则，
的面积为，
则,即，
综合可得的内切圆半径为或，故选：D
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知点P是椭圆C：上一点，点、是椭圆C的左、右焦点，若的内切圆半径的最大值为，若椭圆的长轴长为4，则的面积的最大值为（ ）
A．2 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：，，
设的内切圆半径为，
所以，
因为的内切圆半径的最大值为，
所以
因为，所以，可得，
又椭圆的长轴长为4，即，
由，求得，所以的面积的故选：A
【题型5 椭圆的离心率值与范围】
【例5】（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程，，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，可作图如下：
则，，即，
可设，，，
由，
则，即，，
在中，，
则.故选：C.
【变式5-1】（2023·云南文山·高三马关县第一中学校校考阶段练习）已知椭圆：的右焦点是抛物线：的焦点，抛物线的准线与轴交于点，设点为椭圆与抛物线的一个交点，以为直径的圆过点，则椭圆的离心率为______．
【答案】
【解析】以为直径的圆过点，，
，，则，
点也在椭圆：上，，
，即，
将其代入整理得，解得：，
但当时，，不成立，，
，故，
故答案为：.
【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆=1的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，，且，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则，
因为点A、B关于原点对称，所以四边形为平行四边形，
由，得，，
在中，，
所以，
由，得，整理，得，
又，所以.故选：B
【变式5-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知O为坐标原点，F是椭圆的左焦点．若椭圆C上存在两点A，B满足，且A，B，O三点共线，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆C的右焦点为，连接．
由椭圆的性质得，，，即椭圆上存在点A，满足，
即以为直径的圆与椭圆有公共点．
设椭圆C的半焦距为，所以只需，所以，即，
所以椭圆C的离心率的取值范围为．故选：C
【变式5-4】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的左，右焦点分别是，，点P是椭圆C上一点，点Q是线段靠近点的三等分点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意作图如下：
设 ， ，则有 ， ，
， ， ， ，得：…① ，
化简得： ，即 ，P点也在以 为圆心半径为c的圆上，
即圆与椭圆必定有不与右顶点重合的交点
（与右顶点重合显然不满足题意），
圆 与x轴除原点外的另一个交点的坐标是 ，并且该交点必须在椭圆外，
，即 ，因为是椭圆，所以 ；故选：A.
【变式5-5】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆（）与双曲线（，）具有相同焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】设P为第一象限的交点，
则由椭圆和双曲线的定义可知，
∴在△中由余弦定理得：
即：
∴，即：
∴
当且仅当，即时，取得最小值为3.故选：B.
【题型6 椭圆的中点弦问题】
【例6】（2022秋·福建龙岩·高三上杭县第二中学校考阶段练习）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设点、，则的中点为，
则，可得.
若直线轴，则线段的中点在轴上，不合题意；
故直线的斜率存在，且，
由于A、两点都在椭圆上，则，
两式相减得，即，
因为在直线AB上，故，故，即，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.故选：A.
【变式6-1】（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知直线与椭圆交于A，B两点，线段的中点为，则椭圆C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则从而，
故．由题意可得，
则，从而，故椭圆C的离心率．故选：A.
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，点在椭圆C：上，直线l：与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为．
（1）求C的方程；
（2）若，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析
【解析】（1）设，则
∵在椭圆上，则
两式相减得，整理得
∴，即，则
又∵点在椭圆C：上，则
联立解得
∴椭圆C的方程为
（2）不存在，理由如下：
假定存在P，Q两点关于l：对称，设直线PQ与直线l的交点为N，
则N为线段PQ的中点，连接ON
∵，则，即
由（1）可得，则，即直线
联立方程，解得，即
∵，则在椭圆C外
∴假定不成立，不存在P，Q两点关于l对称
【变式6-3】（2022·全国·高三专题练习）已知曲线上一动点到两定点，的距离之和为，过点 的直线与曲线相交于点，．
（1）求曲线的方程；
（2）动弦满足： ，求点的轨迹方程；
【答案】（1）；（2）；
【解析】（1）因为动点到两定点，的距离之和为，
所以曲线是以，为焦点的椭圆，，，
所以，，所以曲线的方程为；
（2）因为，所以为中点，设，
当的斜率存在且不为0时，将，代入椭圆方程中得：
两式相减得，
即，所以，
即，，整理得；
当的斜率不存在或为0时，有或，也满足；
所以点的轨迹方程是；
综上，曲线 的方程为，点的轨迹方程是.
【变式6-4】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，过右焦点的直线交椭圆于、，且是线段的中点，是椭圆左焦点，求的面积．
【答案】
【解析】因为直线过点、，
所以，所以直线，
设，，则，，
所以、，
所以，即
所以，即，
又，所以，
又，，所以，所以椭圆方程为，
联立直线AB与椭圆方程为，消去整理得，
所以，，
所以，
故．
【题型7 椭圆的弦长问题】
【例7】（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知椭圆，直线交于两点，点，则的周长为__________．
【答案】
【解析】由题知，
所以椭圆的焦点坐标为
所以，由得，
所以，为等边三角形，且
因为，当时，解方程得，
所以，直线过点，且倾斜角为，即，
所以，直线为为等边三角形中角的角平分线，
所以，直线为边的中垂线，
所以，
因为
所以，的周长为
，
故答案为：
【变式7-1】（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，C的下顶点为A，离心率为，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长为______.
【答案】
【解析】因为椭圆的离心率，所以，，
所以椭圆的方程为，即，
在中，，，所以为正三角形，
过且垂直于的直线与C交于D，E两点，
所以DE为线段的垂直平分线，直线DE的斜率为，
所以直线的方程为，
设，，由，得，
所以，，
所以，解得，
所以，
因为为线段的垂直平分线，所以，，
所以的周长为.
故答案为：
【变式7-2】（2023·陕西咸阳·校考一模）已知椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与圆相切且与椭圆交于、两点，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）椭圆的四个顶点构成的四边形的面积为，
由题意可得，解得，．
所以，椭圆的方程为．
（2）若直线与轴重合，此时直线与圆相交，不合乎题意，
设直线的方程为，由题意可得，即.
联立消去得，即，
．
设、，则，．
所以，
．
令，则，则，
当且仅当时等号成立，此时，．
故的最大值为．
【变式7-3】（2023·湖北·校联考模拟预测）已知椭圆过点.
（1）若椭圆E的离心率，求b的取值范围；
（2）已知椭圆E的离心率，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆相切，求线段的最大值.
【答案】（1）；（2）2
【解析】（1）∵在椭圆，∴，有，所以，
又∵，所以，∵，∴；
（2）由（1）可知，又，
所以，椭圆.
因为直线与相切，故.
若直线的斜率不存在，不妨设直线为：，
代入椭圆方程可得此时线段.
若直线的斜率存在，可设直线的方程为：.
由直线与相切，故，可得：.
联立得，
所以，
线段
.
又因为，所以.
当且仅当，故当时，的最大值为2.
综上所述：当时，线段的最大值2.
【变式7-4】（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，所以.
设椭圆方程为，将代入，得.
故椭圆方程为.
（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
易得其中一条弦为长轴，
另一条弦长为椭圆的通径为，即；
②当两条弦斜率均存在且不为0时，设，，
设直线的方程为，则直线的方程为，
将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得：，
∴，，
∴，
同理，，
∴，
令，则，
∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴.
综合②可知，的取值范围为.
【题型8 直线与椭圆综合问题】
【例8】（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线.
（1）求的方程，并说明是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点.证明：直线与的斜率之积为定值.
【答案】（1）（），所以是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含上下顶点；（2）证明见解析
【解析】（1）由题设得，化简得（），
所以是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含上下顶点；
（2）设直线的斜率为，则其方程为（），
由，解得，
记，则，，，
于是，故直线的方程为，
由，得，①
设，则由题设可知和是方程①的解，
故，由此得，
从而直线的斜率，所以，
所以直线与的斜率之积为定值.
【变式8-1】（2023秋·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知椭圆，倾斜角为的直线过椭圆的左焦点和上顶点B，且（其中A为右顶点）.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题可知，解得
故椭圆的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，设，，，
由，，得，
同理，当,时，得，所以，
当直线l的斜率存在时，即时，
设直线的方程为，
联立，消去y得.
因为直线l与椭圆C交于不同的两点P、Q，所以，
即①.
设，则②，
则，
由，得③，
③代入②得，
化简整理得④，
将④代入①得，化简得，解得或.
综上，m的取值范围为.
【变式8-2】（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知椭圆C：的离心率为，且为C上一点．
（1）求C的标准方程；
（2）点A，B分别为C的左、右顶点，M，N为C上异于A，B的两点，直线MN不与坐标轴平行且不过坐标原点О，点M关于原点О的对称点为，若直线与直线BN相交于点P，直线OP与直线MN相交于点Q，证明：点Q位于定直线上．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）设椭圆C的焦距为，
由题意得，解得，
∴C的标准方程为．
（2）由题可知，，
设，，
则，设：．
联立消去x得，
∴，，
又，∴：，：，
又∵点P为直线AM'和BN的交点，
∴，
故
，
∴，故：．
联立消去y得，
因此，点Q位于定直线上．
【变式8-3】（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）如图，已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为．过点的直线与该椭圆相交于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与的斜率分别为．试问：是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】（1）依题意可知，，
所以椭圆的方程为：；
（2）(方法一)设直线的方程为，直线的方程为，
联立方程组，
则，则，
所以点的坐标为，
同理，可解得点的坐标为，
当时，此时，因为，则，
当时，此时，
由三点共线，得，
化简有，
由题知同号，所以，
故存在，使得成立．
(方法二)当直线垂直于轴时，点的坐标分别为，
所以此时直线与的斜率分别为，有，
由此猜想：存在满足条件，下面证明猜想正确．
当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，
联立方程组，
，
，
，，
由此可得猜想正确，
故存在，使得成立．
【变式8-4】（2023·山西临汾·统考一模）已知用周长为36的矩形截某圆锥得到椭圆与矩形的四边都相切且焦距为，__________.
①为等差数列；②为等比数列.
（1）在①②中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）（1）中所求的左､右焦点分别为，过作直线与椭圆交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于两点，求以为直径的圆是否过定点，若是求出该定点；若不是请说明理由
【答案】（1）；（2）存在，和.
【解析】（1）选①，由题意解得所以的标椎方程为.
选②，由题意解得所以的标椎方程为.
（2）①当直线的斜率不存在时，的方程为，
不妨设在轴上方，则，
的方程为，令，得，
所以，同理，
所以以为直径的圆的标准方程为.
②当直线的斜率存在时，设的方程为，
联立得，
由韦达定理得.
因为，所以的方程为，
令，得，即的坐标为，
同理的坐标为，
所以以为直径的圆的标准方程为
将韦达定理代入并整理得，
令，则，解得或.
当斜率不存在时，令，则，解得或.
由①②知，以为直径的圆过和.
（建议用时：60分钟）
1．（2022秋·北京·高三北京八十中校考期末）“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】“方程表示椭圆”的充要条件为，即且.
故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）椭圆的焦点为，，与轴的一个交点为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】在椭圆中，，，.
易知.
又，所以为等边三角形，
即，所以，即.故选：C.
3．（2022秋·福建南平·高三校考期中）设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据椭圆的定义可得，，则，
因为，则当三点共线时，取值最大或最小.
由已知得，，，，，.
如上图，当点位于图中时，根据三角形三边关系取值最大.
.
如上图，当点位于图中时，根据三角形三边关系取值最大.
.
故答案为：.
4．（2023·黑龙江大庆·统考一模）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q在椭圆C上，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
则点P是以为直径的圆与椭圆C的交点，不妨设和点P在第一象限，如图
连接，令，则，，．
因为，所以，即，得，
又，所以，将代入，得．故选：A
5．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知为坐标原点，椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于点，（在第一象限），，P为轴上一点，，面积的最大值为1，且直线与椭圆的另一个交点为，则当的面积最大时，下列结论正确的是（ ）
A． B．点为椭圆的右焦点
C． D．的面积为
【答案】AD
【解析】如图，取椭圆的右焦点为，连接
由对称性可得，
所以，则椭圆C的方程为，
又由题可知，将代入椭圆方程，得，
得点M的坐标为，
因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
因为面积的最大值为1，所以，得，
则，
当的面积最大时，，则，，，
故直线NP的方程为，代入椭圆方程，得，
则，
因为，所以与MQ不垂直；
又，点Q到直线的距离为，
故的面积为
综上可知A，D正确，B，C错误；故选：AD．
6．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）（多选）已知，为椭圆左、右顶点，为的右焦点，是的上顶点，，的垂直平分线交于，，若，，三点共线，则（ ）
A．
B．的离心率为
C．点到直线的距离为
D．直线，的斜率之积为
【答案】ABD
【解析】由题知，，，，
所以，，的中点为，
所以，的垂直平分线的方程为，
因为，，三点共线，所以，整理得，
所以，即
所以，，故A选项正确；
所以，即，解得或（舍）
所以，椭圆的离心率为，故B选项正确；
因为直线的方程为，即，
所以，点到直线的距离为，故C选项错误；
设，则，故，
由于，
所以，故D选项正确；故选：ABD
7．（2023·甘肃兰州·校考一模）若椭圆的中心在原点，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为______．
【答案】
【解析】法一：（直接法）椭圆的中心在原点，一个焦点为，
设椭圆方程为，
由，消去，得，
设直线与椭圆相交所得弦的端点分别为，，
则
由题意知，解得．所求椭圆方程为．
法二：（点差法）椭圆的中心在原点，一个焦点为，
设椭圆的方程为．
设直线与椭圆相交所得弦的端点分别为，，
则得，
即，
又弦的中点的纵坐标为1，故横坐标为-2，
，代入上式得，解得，
故所求的椭圆方程为．
故答案为：
8．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）已知是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为________.
【答案】
【解析】易得，
则，
即，
故
,
故答案为：.
9．（2023·安徽宿州·统考一模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆上异于左右顶点的动点，的周长为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点M作圆的两条切线，切点分别为，直线AB交椭圆C于P，Q两点，求的面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设椭圆焦距为2c，根据椭圆定义可知，
的周长为，离心率
联立，解得，，
所以，即椭圆C的标准方程.
（2）设点，又为切点，可知，
所以四点共圆，即在以OM为直径的圆上，
则以OM为直径的圆的方程为，
又在圆上，
两式相减得直线AB的方程为，如下图所示：
设，，由，
消去y整理后得，
，，
所以
，
又点O到直线PQ的距离，
设的面积为S，则
，
其中，令，则，
设，，则，
所以在区间上单调递增，从而得，
于是可得，即的面积的取值范围为.
10．（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切；过点的直线与椭圆相交于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值，并求取得最大值时与的面积之比.
【答案】（1）；（2）面积的最大值为；面积之比为.
【解析】（1），，即，
，，
又以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，
所以，，，
∴椭圆的方程为：；
（2）可设，，联立，
整理得，
由，，，
则
，当且仅当时成立，
即时面积的最大值为；
此时与的面积之比，
则，，，
前式的平方为，除以后式得，，
即，求得，
此时与的面积之比为.
11．（2023·山东威海·统考一模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，P为C上任意一点（异于A，B），直线AP，BP分别交直线于M，N两点.
（1）求证：；
（2）设直线BM交椭圆C于另一点Q，求证：直线PQ恒过定点.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）设点，，，
，即，且，
则直线的方程为，直线的方程为，
分别令，得，，
即，，
则，
则；
（2）设直线的方程为，点，
由，消去，整理得：，
则，，
则，，
，
则，
则，
代入化简得：，则或，
则直线的方程为或，
化为恒过点，不合题意，舍去，
化为恒过点，
则直线PQ恒过定点.
12．（2022秋·江西吉安·高三吉安一中校考期中）已知椭圆的一个焦点与短轴的一个端点连线的倾斜角为，直线与椭圆相交于和两点，且为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）不妨设左焦点为，上顶点为，则，所以，
因为直线与椭圆相交于和两点，且，
所以将点的坐标代入椭圆的方程，得，
联立方程组，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）设，
若直线的斜率存在，设的方程为，
联立方程组，消去得，
则，
又，所以，且，即，则，
因为，
所以，整理得，
则，且恒成立，
所以，
又，且，所以，即；
当直线的斜率不存在时，，又，解得，
所以
综上，的取值范围为.
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