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新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点8-4 抛物线及其应用 6大题型
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这是一份新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点8-4 抛物线及其应用 6大题型，文件包含热点8-4抛物线及其应用6大题型原卷版docx、热点8-4抛物线及其应用6大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点8-4 抛物线及其应用6大题型
抛物线是高考数学的热点问题，在高考中选择题、填空题、解答题都曾出现过，属于高频考点。
这部分内容主要涉及标准方程、几何性质、弦长问题及面积问题等，解题思路和解题步骤相对固定，在冲刺阶段的教学过程中尽量淡化解题技巧，强调通性通法，规范解题步骤。
一、焦半径公式
设抛物线上一点的坐标为，焦点为.
1、抛物线，.
2、抛物线，.
3、抛物线，.
4、抛物线，.
【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.
二、直线与抛物线的位置关系
1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：
相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）.
2、以抛物线与直线的位置关系为例：
（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，
若，直线与抛物线有两个交点；
若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若，直线与抛物线没有交点.
（2）直线的斜率存在.
设直线，抛物线，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，
即二次方程（或）解的个数.
①若，
则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当时，直线与抛物线相切，有个公共点；
当时，直线与抛物线相离，无公共点.
②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点.
三、直线与抛物线相交弦长问题
1、一般弦长
设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为.
（1）弦长公式：（为直线的斜率，且）.
（2）,
推导：由题意，知，① ②
由①-②，得.故，即.
（3）直线的方程为.
2、焦点弦长
如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，，
根据抛物线的定义有，，
故.
又因为是梯形的中位线，所以，
从而有下列结论；
（1）以为直径的圆必与准线相切.
（2）(焦点弦长与中点关系)
（3）.
（4）若直线的倾斜角为，则.
（5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.
（6）为定值.
【题型1 抛物线的定义及概念】
【例1】（2023·全国·模拟预测）过抛物线（p＞0）的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，设，，若n，，成等比数列，则（ ）
A． B．3 C．3或 D．
【答案】B
【解析】由n，，成等比数列，得．
由抛物线的定义知，， ，
所以，所以，
又因为，，所以．故选：B.
【变式1-1】（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）已知抛物线：的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，.若，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由抛物线：可得焦点，准线为，
设斜率为2的直线方程为，
所以消去得，
，解得，
设，，所以，
利用抛物线的定义可得，即，解得，
所以的方程为故选：C
【变式1-2】（2022秋·广西玉林·高三校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】点F为抛物线的焦点，其准线方程为：，
因为点在抛物线C上，且，
则有，解得，所以.故选：C
【变式1-3】（2023春·河南·高三河南省淮阳中学校联考开学考试）若点是抛物线的焦点，点分别是抛物线上位于第一、四象限的点，且轴，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，
因为轴，所以，，
所以，解得，所以，故选：A
【变式1-4】（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知抛物线C：，过焦点F的直线与C在第四象限交于M点，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】因为直线过抛物线C：的焦点，则，
所以，，抛物线方程为，
因为在抛物线上且在第四象限，设点，
则，解得：，
由抛物线的定义可知：，故选：.
【题型2 利用抛物线定义求最值】
【例2】（2022秋·山西阳泉·高三统考期末）已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为2，则（ ）
A． B．1 C．3 D．4
【答案】D
【解析】作图如下，
圆的圆心,半径，
抛物线的焦点，
根据抛物线的定义可知，
所以，
由图可知，当共线，且在线段之间时，
最短，而，
故有，
即解得，故选:D.
【变式2-1】（2023春·北京海淀·高三人大附中校考开学考试）已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于双曲线，，，则，故点，
所以，抛物线的方程为，
抛物线的准线为，如下图所示：
过点作，垂足为点，由抛物线的定义可得，
所以，，
当且仅当时，取最小值为.故选：D.
【变式2-2】（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知是拋物线上一动点，直线的方程为，定点，到的距离为.则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．7
【答案】B
【解析】如图示：拋物线的焦点，准线.
过作于,于，则.
由抛物线的定义可知：.
（当且仅当在，即三点共线时“=”成立）.故选：B
【变式2-3】（2023秋·山东德州·高三统考期末）曲线上有两个不同动点，动点到的最小距离为，点与和的距离之和的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，
结合关系式可变形为：
，
当，即动点坐标为时，取到最小距离，即；
由题知，曲线为抛物线在第一象限的部分以及原点，
其焦点为，准线为，设，
过作准线，垂足为，
根据抛物线定义，，
过作准线，垂足为，交抛物线于，
当在运动时，结合下图可知，，
当运动到时取得等号，即的最小值为.
故.故选：C
【变式2-4】（2023·广东梅州·统考一模）函数的最小值为___________.
【答案】
【解析】，
可表示抛物线上的点，到两定点，的距离之和，
即，
而点在此抛物线内，点是此抛物线的焦点，
抛物线的准线为，设点、分别为点、在准线上的投影，
如图，根据抛物线的定义有，
则，
故答案为：.
【题型3 抛物线的标准方程】
【例3】（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离是（ ）.
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】抛物线化为标准方程为抛物线，
则其焦准距为，即焦点到准线的距离是，故选：B
【变式3-1】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）（多选）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由于焦点在直线上，
则当焦点在y轴上时，令，所以焦点坐标为：，
设方程为，由焦点坐标知，
所以抛物线的方程为：
当焦点在x轴上时，令， 所以焦点坐标为：，
设方程为，由焦点坐标知，
所以抛物线的方程为：，故选：BC.
【变式3-2】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知抛物线C：上的点P到焦点的距离比到y轴的距离大2，则______．
【答案】4
【解析】点P到焦点的距离比到y轴的距离大2，
即点P到准线的距离比到y轴的距离大2，即，即．故答案为：4.
【变式3-3】（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知拋物线的焦点为，抛物线上一点A在准线上的射影为，且为等边三角形.若，则抛物线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知：拋物线的焦点为，准线为，
设准线与x轴的交点为，
则，
可得，
在中，则，
即，解得，
故抛物线方程为.故选：B.
【变式3-4】（2023·山东潍坊·统考一模）已知抛物线经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于4，请写出一个满足条件的的标准方程__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】设抛物线的标准方程为.
由已知可得，焦点到准线的距离.
可取，则抛物线的标准方程为.
故答案为：.
【题型4 抛物线的中点弦问题】
【例4】（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知直线l交抛物线于M，N两点，且MN的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【解析】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，，
则，两式相减得，整理得，
因为MN的中点为，则，
所以，即直线l的斜率为3．故选：C．
【变式4-1】（2023秋·江西·高三校联考期末）如图，已知抛物线E：的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于8，则E的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易知，直线AB的方程为，
四边形OCMN为直角梯形，且.
设，，，则，
所以，所以，，∴.
所以MC直线方程为，
∴令，∴，∴.
所以四边形OCMN的面积为，∴.
故抛物线E的方程为.故选：B.
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知A，B是抛物线上的两点，线段AB的中点为，则直线AB的方程为__________．
【答案】
【解析】依题意，设，
若，则直线，由抛物线的对称性可知，
线段AB的中点为，显然不符合题意，故，
因为A，B是抛物线上的两点，
所以，两式相减得，，整理得，
因为线段AB的中点为，
所以，即，
又，所以，
所以直线AB的方程为，即.
故答案为：.
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与C交于A，B两点．
（1）若的倾斜角为且过点F，求；
（2）若线段AB的中点坐标为，求的方程．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为的倾斜角为，，
所以直线的方程为，
联立可得，
设，则，
所以；
（2）设，则，
所以，
因为线段AB的中点坐标为，所以，
所以，所以的斜率为，
所以的方程为，即.
【变式4-4】（2023·安徽宿州·统考一模）若抛物线C：存在以点为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为_______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】抛物线存在以点为中点的弦，
则该点在抛物线开口内，即当时，.
可取，则满足条件的抛物线方程为.
故答案为：（答案不唯一）
【题型5 抛物线的弦长问题】
【例5】（2023·山东菏泽·统考一模）过抛物线焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，则（ ）
A． B． C．1 D．16
【答案】A
【解析】化为标准形式由此知；
设直线l的方程为：， ，，
根据抛物线定义知；
将，代入，可得，
由此代入.故选：A
【变式5-1】（2023·河南郑州·统考一模）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于、两点，若，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为，准线方程为
由抛物线的定义可得，故选：B
【变式5-2】（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）（多选）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于M，N两点，P为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．的最大值为4
C．当时， D．当时，
【答案】AD
【解析】由抛物线可得焦点，准线为，
对于A，当直线l的斜率不存在时，方程为，
代入抛物线可得所以此时；
当直线l的斜率存在时，假设直线的方程为，
设
将直线方程代入抛物线可得
，则，
所以，
综上所述，的最小值为4，故A正确；
对于B，当直线l的斜率存在时，，
故B错误；
对于C，因为P为的中点，，所以，所以，
则，所以，
将代入可得，解得或，
当时，易得不满足题意；
当时，，所以，故C错误；
对于D，由易得斜率存在，
由P为的中点可得即，
所以，解得，
所以，故D正确；故选：AD
【变式5-3】（2023·陕西西安·统考一模）设抛物线的焦点为，，Q在准线上，Q的纵坐标为，点M到F与到定点的距离之和的最小值为4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F且斜率为2的直线l与C交于A、B两点，求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知可得，，.
因为，当且仅当三点共线时，取得最小值.
又，所以，
即，整理可得，
因为，所以.
所以，抛物线C的方程为.
（2）由（1）知，，所以直线的方程为，.
联立直线与抛物线的方程可得，.
设，，则由韦达定理可得.
所以.
又点到直线，
即直线的距离为，
所以，的面积.
【变式5-4】（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知抛物线上一点，圆：，过作圆的两条切线，切点分别为A，B．
（1）求直线的方程：
（2）直线分别与抛物线交于两点，求线段的长度．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由可得圆心，半径为1，
设，，设是圆在点处的切线上一点，则
即
则圆在点处的切线方程分别为
又因为点同时在直线上，
所以有，，
所以，是方程的解,
所以直线的方程是．
（2）设，，则，又，
化简整理得，
因为直线与圆相切，则，即，
同理可得，
所以是方程的两个不等实根，
有，，．
【题型6 直线与抛物线综合问题】
【例6】（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上一动点，直线与直线交于点，.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作抛物线的两条切线，切点为，且，求面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）直线，当时，，即，，
则，解得或（舍去），
故抛物线的方程为.
（2）设，，，，，
的直线方程为：，整理得到，
同理可得：方程为，
故，故的直线方程为，
，整理得到，，
，
，解得，
设到的距离为，
，
，故，
【变式6-1】（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为的面积为1．
（1）求的方程；
（2）过点作一条直线，交于两点，试问在上是否存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，或
【解析】（1）由题意知，设点的坐标为，
则直线的斜率为．
因为直线的斜率为，所以，即，
所以的面积，解得或（舍去），
故抛物线的方程为．
（2）假设存在点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方．
由（1）得，抛物线的准线的方程为．
设直线的方程为，，，，
联立得，
所以，，．
因为，
，
所以，解得或．
故存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方，
其坐标为或．
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同交点，且直线交轴于，直线交轴于.
（1）求直线斜率的取值范围；
（2）证明：存在定点，使得，且.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）抛物线经过点，，解得：，抛物线；
由题意知：直线斜率存在，设，，，
由得：，
，解得：或；
，，，，
又直线与轴相交于两点，
，
即，解得：且；
综上所述：直线斜率的取值范围为.
（2）设点，，
由，，知：共线，即在轴上，
则可设，，，
，，，同理可得：，
，直线，
令得：，同理可得：，
，，
由（1）知：，，
，
解得：，存在定点满足题意.
【变式6-3】（2023秋·辽宁营口·高三统考期末）已知椭圆（）的离心率为，且经过点
（1）求椭圆的方程；
（2）过作两直线与抛物线（m>0）相切，且分别与椭圆C交于P，Q两点，直线，的斜率分别为，
①求证：为定值；
②试问直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
【答案】（1）；（2）① 证明见解析；②直线恒过定点
【解析】（1）由题可得，解得，
所以椭圆C的方程为
（2）①设过与抛物线相切的直线方程为（），
消去y得：，
，即
直线，的斜率分别为，，
则，是方程的两根，，，
消去m得：
②设直线：，，，
，消去x得：
所以，
因为，所以，所以
整理得：
即，所以．
所以或，
当时，，PQ恒过定点与A重合，舍去
当时，PQ恒过定点
综上所述，直线PQ恒过定点.
【变式6-4】（2023春·四川·高三校联考阶段练习）已知直线与抛物线交于，两点，且
（1）求的方程
（2）若直线与交于两点，点与点关于轴对称，试问直线是否过定点？若过定点，求定点的坐标；若不过定点，说明理由
【答案】（1）；（2）过定点，
【解析】（1）将代入，得，
则，
则，解得，
故的方程为
（2）设，则，
联立方程组，整理得，
则，所以，
因此直线的方程为，
整理得，即，
当时，，故直线过定点.
（建议用时：60分钟）
1．（2023春·北京大兴·高三校考开学考试）已知抛物线，则的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知，抛物线的焦点在轴正半轴，且，即，
所以的焦点坐标为.故选：B.
2．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于两个不同的点A，B．如果，2，成等差数列，那么k等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设，
联立方程组，整理可得，
，解得：，且，
由，，又，2，成等差数列，
所以，则，所以，解得：或，
因为，所以，故选：D.
3．（2023·湖南·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，若点P是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，
化简整理得，
所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆，
抛物线的焦点，准线方程为，
则，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
所以的最小值为.故选：D.
4．（2023春·天津滨海新·高三校联考开学考试）已知双曲线的左焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的准线过双曲线的左焦点，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知双曲线的左焦点到其一条渐近线的距离为，
不妨取渐近线，即，
所以 ，，
又抛物线的准线过双曲线的左焦点，
即，则抛物线方程为，
过点M作垂直于直线，垂足为点A，
作垂直于抛物线准线 于点C，连接，
根据抛物线的定义得，
设M到的距离为 ，M到直线的距离为，则，
根据平面几何知识，可得当三点共线时，有最小值，
因为抛物线焦点到直线的距离为，
所以的最小值是，
所以抛物线上一动点M到直线和的距离之和的
最小值为 ，故选：D．
5．（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知A为抛物线C：上在第一象限内的一个动点，，O为坐标原点，F为C的焦点，若，则直线AF斜率的绝对值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，解得或，
所以或，
又，所以或，
所以，故选：B.
6．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F且与抛物线交于点，，与抛物线C的准线交于点Q，若（O为坐标原点），，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于△OQN和△OFN，底边QN和FN上的高均为点O到直线l的距离，
故由可得，
如图，分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为点，，
设，则，，故．
因为，所以．
在直角三角形中，，，，
所以，所以，解得．
设抛物线的准线与x轴交于点，则，
所以，即，解得，故选：B．
7．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）（多选）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线l经过焦点F，且，则
B．若，则直线l的倾斜角为
C．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为
D．若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切
【答案】BC
【解析】A选项，由题意得：，准线方程为，
当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，
故设直线，与联立得：，
故，
则，所以，解得：，A错误；
B选项，因为，所以三点共线，即直线经过抛物线焦点，
当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，
故设直线，与联立得：，故，
因为，所以，代入中，
得到，即，
因为点A在第一象限，所以，故，即，，解得：
故直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为，则，
解得：，B正确；
C选项，设，过点作⊥准线于点，过点作⊥准线于点P，
因为以AB为直径的圆M经过焦点F，所以⊥，则，
由抛物线定义可知：，
由基本不等式得：，则，
当且仅当时，等号成立，
故，即，C正确；
D选项，当直线l不经过焦点时，设，
由三角形三边关系可知：，
由抛物线定义可知结合C选项可知：，即，
若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相离，D错误.故选：BC
8．（2023·广东茂名·统考一模）（多选）已知抛物线，F为抛物线C的焦点，下列说法正确的是（ ）
A．若抛物线C上一点P到焦点F的距离是4，则P的坐标为、
B．抛物线C在点处的切线方程为
C．一个顶点在原点O的正三角形与抛物线相交于A、B两点，的周长为
D．点H为抛物线C的上任意一点，点，，当t取最大值时，的面积为2
【答案】ABD
【解析】A选项：由抛物线C的定义知，解得
代入可得，所以P的坐标为、，故A正确；
B选项：由得，，切线方抛物线C在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，故B正确；
C选项：顶点在原点O的正三角形与抛物线相交与A、B两点，
设正三角形的边长为，则根据对称性可得
且点在抛物线上，所以，解得，
所以这个正三角形的边长为，故C错误；
D选项：F为抛物线的焦点，过H作HD垂直抛物线C的准线于点D，
如图，
由抛物线的定义知，
当t取最大值时，取最小值，即直线GH与抛物线C相切.
设直线HG的方程为，由得，
所以，解得，
此时，即，所以，故，
所以，故D正确.故选:ABD.
9．（2022·江西·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为的直线与C交于两点，若线段中点的纵坐标为，则F到C的准线的距离为_______．
【答案】
【解析】设，，则，，
两式相减得，即，
因为、两点在斜率为的直线上，所以，
所以由得，
因为线段中点的纵坐标为，所以，
则，，
所以F到C的准线的距离为.
故答案为：.
10．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在D上，PA与l垂直，垂足为A，若，则的面积等于______.
【答案】
【解析】由以及可知，
故为等边三角形，所以
因此故，
所以，
故答案为：
11．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知抛物线C：的焦点为F，点P在C上，，且点P在圆上.
（1）求C的方程；
（2）过F且不与x轴垂直的直线l与C交于A，B两点，点A与点M关于x轴对称，直线BM与x轴交于点N，若△ABN的面积为，求直线l的方程.
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）联立，解得，即，
由，得，则，
故C的方程为.
（2）设，，则，
由（1）知点F的坐标为，可设直线AB的方程为，
联立，得，则，，
直线MB的斜率为，
直线MB的方程为，
可得，
令，得，可得点N的坐标为，
△ABN的面积，
解得，故直线l的方程为或.
12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线，圆与抛物线有且只有两个公共点.
（1）求抛物线的方程；
（2）设为坐标原点，过圆心的直线与圆交于点，直线分别交抛物线于点（点不与点重合）.记的面积为，的面积为，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由,
得，即.
由对称性可得关于的方程有两个相等的正的实数根，
所以，且，解得，
所以抛物线C的方程为.
（2）由题意，知直线的斜率不为，故设直线的方程为，
如图，设，，，.
将直线的方程代入圆的方程中，消去，得，
所以，所以，且.
直线的方程为，代入抛物线方程，
消去，得，解得或，所以.
同理，得，
所以
，
所以当时，取得最大值，为.
13．（2023春·广西柳州·高三统考阶段练习）在直角坐标系中，动点M到定点的距离比到y轴的距离大1．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）当时，记动点M的轨迹为曲线C，过F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）时，；时，；（2）是，过定点和
【解析】（1）动点M到定点的距离比到y轴的距离大1，
当时，动点M到定点的距离等于到的距离，轨迹为抛物线，
设抛物线方程为，，，
当时，满足条件.
综上所述：轨迹方程为：时，；时，
（2）设直线的方程为，，联立，
整理得：，，，
直线的方程为，同理：直线的方程为，
令得，，
设中点的坐标为，则，，
所以.
，
圆的半径为.
所以为直径的圆的方程为.
展开可得，令，可得，解得或.
所以以为直径的圆经过定点和
14．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知F是抛物线C：的焦点，以F为圆心，2p为半径的圆F与抛物线C交于A，B两点，且.
（1）求抛物线C和圆F的方程；
（2）若点P为圆F优弧AB上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）抛物线C的方程为，圆F的方程为；（2）是，16
【解析】（1）由题意可得：抛物线C：的焦点为，
则圆F的方程为，
联立方程，消去x得，
解得或（舍去），
将代入得A，B的坐标分别为，.
故，所以，
所以抛物线C的方程为，圆F的方程为.
（2）是，理由如下：
设，则，
因为抛物线的方程为，则，
所以切线PM的方程为，即，①
同理切线PN的方程为，②
则由①②过，则，
所以直线MN的方程为，
联立方程，消去y得，
则，，
所以
，
又在圆F上，则，即，
故为定值16.
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点8-4 抛物线及其应用6大题型
抛物线是高考数学的热点问题，在高考中选择题、填空题、解答题都曾出现过，属于高频考点。
这部分内容主要涉及标准方程、几何性质、弦长问题及面积问题等，解题思路和解题步骤相对固定，在冲刺阶段的教学过程中尽量淡化解题技巧，强调通性通法，规范解题步骤。
一、焦半径公式
设抛物线上一点的坐标为，焦点为.
1、抛物线，.
2、抛物线，.
3、抛物线，.
4、抛物线，.
【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.
二、直线与抛物线的位置关系
1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：
相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）.
2、以抛物线与直线的位置关系为例：
（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，
若，直线与抛物线有两个交点；
若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若，直线与抛物线没有交点.
（2）直线的斜率存在.
设直线，抛物线，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，
即二次方程（或）解的个数.
①若，
则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当时，直线与抛物线相切，有个公共点；
当时，直线与抛物线相离，无公共点.
②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点.
三、直线与抛物线相交弦长问题
1、一般弦长
设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为.
（1）弦长公式：（为直线的斜率，且）.
（2）,
推导：由题意，知，① ②
由①-②，得.故，即.
（3）直线的方程为.
2、焦点弦长
如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，，
根据抛物线的定义有，，
故.
又因为是梯形的中位线，所以，
从而有下列结论；
（1）以为直径的圆必与准线相切.
（2）(焦点弦长与中点关系)
（3）.
（4）若直线的倾斜角为，则.
（5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.
（6）为定值.
【题型1 抛物线的定义及概念】
【例1】（2023·全国·模拟预测）过抛物线（p＞0）的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，设，，若n，，成等比数列，则（ ）
A． B．3 C．3或 D．
【答案】B
【解析】由n，，成等比数列，得．
由抛物线的定义知，， ，
所以，所以，
又因为，，所以．故选：B.
【变式1-1】（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）已知抛物线：的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，.若，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由抛物线：可得焦点，准线为，
设斜率为2的直线方程为，
所以消去得，
，解得，
设，，所以，
利用抛物线的定义可得，即，解得，
所以的方程为故选：C
【变式1-2】（2022秋·广西玉林·高三校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】点F为抛物线的焦点，其准线方程为：，
因为点在抛物线C上，且，
则有，解得，所以.故选：C
【变式1-3】（2023春·河南·高三河南省淮阳中学校联考开学考试）若点是抛物线的焦点，点分别是抛物线上位于第一、四象限的点，且轴，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，
因为轴，所以，，
所以，解得，所以，故选：A
【变式1-4】（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知抛物线C：，过焦点F的直线与C在第四象限交于M点，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】因为直线过抛物线C：的焦点，则，
所以，，抛物线方程为，
因为在抛物线上且在第四象限，设点，
则，解得：，
由抛物线的定义可知：，故选：.
【题型2 利用抛物线定义求最值】
【例2】（2022秋·山西阳泉·高三统考期末）已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为2，则（ ）
A． B．1 C．3 D．4
【答案】D
【解析】作图如下，
圆的圆心,半径，
抛物线的焦点，
根据抛物线的定义可知，
所以，
由图可知，当共线，且在线段之间时，
最短，而，
故有，
即解得，故选:D.
【变式2-1】（2023春·北京海淀·高三人大附中校考开学考试）已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于双曲线，，，则，故点，
所以，抛物线的方程为，
抛物线的准线为，如下图所示：
过点作，垂足为点，由抛物线的定义可得，
所以，，
当且仅当时，取最小值为.故选：D.
【变式2-2】（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知是拋物线上一动点，直线的方程为，定点，到的距离为.则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．7
【答案】B
【解析】如图示：拋物线的焦点，准线.
过作于,于，则.
由抛物线的定义可知：.
（当且仅当在，即三点共线时“=”成立）.故选：B
【变式2-3】（2023秋·山东德州·高三统考期末）曲线上有两个不同动点，动点到的最小距离为，点与和的距离之和的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，
结合关系式可变形为：
，
当，即动点坐标为时，取到最小距离，即；
由题知，曲线为抛物线在第一象限的部分以及原点，
其焦点为，准线为，设，
过作准线，垂足为，
根据抛物线定义，，
过作准线，垂足为，交抛物线于，
当在运动时，结合下图可知，，
当运动到时取得等号，即的最小值为.
故.故选：C
【变式2-4】（2023·广东梅州·统考一模）函数的最小值为___________.
【答案】
【解析】，
可表示抛物线上的点，到两定点，的距离之和，
即，
而点在此抛物线内，点是此抛物线的焦点，
抛物线的准线为，设点、分别为点、在准线上的投影，
如图，根据抛物线的定义有，
则，
故答案为：.
【题型3 抛物线的标准方程】
【例3】（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离是（ ）.
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】抛物线化为标准方程为抛物线，
则其焦准距为，即焦点到准线的距离是，故选：B
【变式3-1】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）（多选）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由于焦点在直线上，
则当焦点在y轴上时，令，所以焦点坐标为：，
设方程为，由焦点坐标知，
所以抛物线的方程为：
当焦点在x轴上时，令， 所以焦点坐标为：，
设方程为，由焦点坐标知，
所以抛物线的方程为：，故选：BC.
【变式3-2】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知抛物线C：上的点P到焦点的距离比到y轴的距离大2，则______．
【答案】4
【解析】点P到焦点的距离比到y轴的距离大2，
即点P到准线的距离比到y轴的距离大2，即，即．故答案为：4.
【变式3-3】（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知拋物线的焦点为，抛物线上一点A在准线上的射影为，且为等边三角形.若，则抛物线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知：拋物线的焦点为，准线为，
设准线与x轴的交点为，
则，
可得，
在中，则，
即，解得，
故抛物线方程为.故选：B.
【变式3-4】（2023·山东潍坊·统考一模）已知抛物线经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于4，请写出一个满足条件的的标准方程__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】设抛物线的标准方程为.
由已知可得，焦点到准线的距离.
可取，则抛物线的标准方程为.
故答案为：.
【题型4 抛物线的中点弦问题】
【例4】（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知直线l交抛物线于M，N两点，且MN的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【解析】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，，
则，两式相减得，整理得，
因为MN的中点为，则，
所以，即直线l的斜率为3．故选：C．
【变式4-1】（2023秋·江西·高三校联考期末）如图，已知抛物线E：的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于8，则E的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易知，直线AB的方程为，
四边形OCMN为直角梯形，且.
设，，，则，
所以，所以，，∴.
所以MC直线方程为，
∴令，∴，∴.
所以四边形OCMN的面积为，∴.
故抛物线E的方程为.故选：B.
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知A，B是抛物线上的两点，线段AB的中点为，则直线AB的方程为__________．
【答案】
【解析】依题意，设，
若，则直线，由抛物线的对称性可知，
线段AB的中点为，显然不符合题意，故，
因为A，B是抛物线上的两点，
所以，两式相减得，，整理得，
因为线段AB的中点为，
所以，即，
又，所以，
所以直线AB的方程为，即.
故答案为：.
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与C交于A，B两点．
（1）若的倾斜角为且过点F，求；
（2）若线段AB的中点坐标为，求的方程．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为的倾斜角为，，
所以直线的方程为，
联立可得，
设，则，
所以；
（2）设，则，
所以，
因为线段AB的中点坐标为，所以，
所以，所以的斜率为，
所以的方程为，即.
【变式4-4】（2023·安徽宿州·统考一模）若抛物线C：存在以点为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为_______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】抛物线存在以点为中点的弦，
则该点在抛物线开口内，即当时，.
可取，则满足条件的抛物线方程为.
故答案为：（答案不唯一）
【题型5 抛物线的弦长问题】
【例5】（2023·山东菏泽·统考一模）过抛物线焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，则（ ）
A． B． C．1 D．16
【答案】A
【解析】化为标准形式由此知；
设直线l的方程为：， ，，
根据抛物线定义知；
将，代入，可得，
由此代入.故选：A
【变式5-1】（2023·河南郑州·统考一模）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于、两点，若，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为，准线方程为
由抛物线的定义可得，故选：B
【变式5-2】（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）（多选）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于M，N两点，P为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．的最大值为4
C．当时， D．当时，
【答案】AD
【解析】由抛物线可得焦点，准线为，
对于A，当直线l的斜率不存在时，方程为，
代入抛物线可得所以此时；
当直线l的斜率存在时，假设直线的方程为，
设
将直线方程代入抛物线可得
，则，
所以，
综上所述，的最小值为4，故A正确；
对于B，当直线l的斜率存在时，，
故B错误；
对于C，因为P为的中点，，所以，所以，
则，所以，
将代入可得，解得或，
当时，易得不满足题意；
当时，，所以，故C错误；
对于D，由易得斜率存在，
由P为的中点可得即，
所以，解得，
所以，故D正确；故选：AD
【变式5-3】（2023·陕西西安·统考一模）设抛物线的焦点为，，Q在准线上，Q的纵坐标为，点M到F与到定点的距离之和的最小值为4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F且斜率为2的直线l与C交于A、B两点，求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知可得，，.
因为，当且仅当三点共线时，取得最小值.
又，所以，
即，整理可得，
因为，所以.
所以，抛物线C的方程为.
（2）由（1）知，，所以直线的方程为，.
联立直线与抛物线的方程可得，.
设，，则由韦达定理可得.
所以.
又点到直线，
即直线的距离为，
所以，的面积.
【变式5-4】（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知抛物线上一点，圆：，过作圆的两条切线，切点分别为A，B．
（1）求直线的方程：
（2）直线分别与抛物线交于两点，求线段的长度．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由可得圆心，半径为1，
设，，设是圆在点处的切线上一点，则
即
则圆在点处的切线方程分别为
又因为点同时在直线上，
所以有，，
所以，是方程的解,
所以直线的方程是．
（2）设，，则，又，
化简整理得，
因为直线与圆相切，则，即，
同理可得，
所以是方程的两个不等实根，
有，，．
【题型6 直线与抛物线综合问题】
【例6】（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上一动点，直线与直线交于点，.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作抛物线的两条切线，切点为，且，求面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）直线，当时，，即，，
则，解得或（舍去），
故抛物线的方程为.
（2）设，，，，，
的直线方程为：，整理得到，
同理可得：方程为，
故，故的直线方程为，
，整理得到，，
，
，解得，
设到的距离为，
，
，故，
【变式6-1】（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为的面积为1．
（1）求的方程；
（2）过点作一条直线，交于两点，试问在上是否存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，或
【解析】（1）由题意知，设点的坐标为，
则直线的斜率为．
因为直线的斜率为，所以，即，
所以的面积，解得或（舍去），
故抛物线的方程为．
（2）假设存在点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方．
由（1）得，抛物线的准线的方程为．
设直线的方程为，，，，
联立得，
所以，，．
因为，
，
所以，解得或．
故存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方，
其坐标为或．
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同交点，且直线交轴于，直线交轴于.
（1）求直线斜率的取值范围；
（2）证明：存在定点，使得，且.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）抛物线经过点，，解得：，抛物线；
由题意知：直线斜率存在，设，，，
由得：，
，解得：或；
，，，，
又直线与轴相交于两点，
，
即，解得：且；
综上所述：直线斜率的取值范围为.
（2）设点，，
由，，知：共线，即在轴上，
则可设，，，
，，，同理可得：，
，直线，
令得：，同理可得：，
，，
由（1）知：，，
，
解得：，存在定点满足题意.
【变式6-3】（2023秋·辽宁营口·高三统考期末）已知椭圆（）的离心率为，且经过点
（1）求椭圆的方程；
（2）过作两直线与抛物线（m>0）相切，且分别与椭圆C交于P，Q两点，直线，的斜率分别为，
①求证：为定值；
②试问直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
【答案】（1）；（2）① 证明见解析；②直线恒过定点
【解析】（1）由题可得，解得，
所以椭圆C的方程为
（2）①设过与抛物线相切的直线方程为（），
消去y得：，
，即
直线，的斜率分别为，，
则，是方程的两根，，，
消去m得：
②设直线：，，，
，消去x得：
所以，
因为，所以，所以
整理得：
即，所以．
所以或，
当时，，PQ恒过定点与A重合，舍去
当时，PQ恒过定点
综上所述，直线PQ恒过定点.
【变式6-4】（2023春·四川·高三校联考阶段练习）已知直线与抛物线交于，两点，且
（1）求的方程
（2）若直线与交于两点，点与点关于轴对称，试问直线是否过定点？若过定点，求定点的坐标；若不过定点，说明理由
【答案】（1）；（2）过定点，
【解析】（1）将代入，得，
则，
则，解得，
故的方程为
（2）设，则，
联立方程组，整理得，
则，所以，
因此直线的方程为，
整理得，即，
当时，，故直线过定点.
（建议用时：60分钟）
1．（2023春·北京大兴·高三校考开学考试）已知抛物线，则的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知，抛物线的焦点在轴正半轴，且，即，
所以的焦点坐标为.故选：B.
2．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于两个不同的点A，B．如果，2，成等差数列，那么k等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设，
联立方程组，整理可得，
，解得：，且，
由，，又，2，成等差数列，
所以，则，所以，解得：或，
因为，所以，故选：D.
3．（2023·湖南·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，若点P是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，
化简整理得，
所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆，
抛物线的焦点，准线方程为，
则，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
所以的最小值为.故选：D.
4．（2023春·天津滨海新·高三校联考开学考试）已知双曲线的左焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的准线过双曲线的左焦点，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知双曲线的左焦点到其一条渐近线的距离为，
不妨取渐近线，即，
所以 ，，
又抛物线的准线过双曲线的左焦点，
即，则抛物线方程为，
过点M作垂直于直线，垂足为点A，
作垂直于抛物线准线 于点C，连接，
根据抛物线的定义得，
设M到的距离为 ，M到直线的距离为，则，
根据平面几何知识，可得当三点共线时，有最小值，
因为抛物线焦点到直线的距离为，
所以的最小值是，
所以抛物线上一动点M到直线和的距离之和的
最小值为 ，故选：D．
5．（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知A为抛物线C：上在第一象限内的一个动点，，O为坐标原点，F为C的焦点，若，则直线AF斜率的绝对值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，解得或，
所以或，
又，所以或，
所以，故选：B.
6．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F且与抛物线交于点，，与抛物线C的准线交于点Q，若（O为坐标原点），，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于△OQN和△OFN，底边QN和FN上的高均为点O到直线l的距离，
故由可得，
如图，分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为点，，
设，则，，故．
因为，所以．
在直角三角形中，，，，
所以，所以，解得．
设抛物线的准线与x轴交于点，则，
所以，即，解得，故选：B．
7．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）（多选）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线l经过焦点F，且，则
B．若，则直线l的倾斜角为
C．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为
D．若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切
【答案】BC
【解析】A选项，由题意得：，准线方程为，
当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，
故设直线，与联立得：，
故，
则，所以，解得：，A错误；
B选项，因为，所以三点共线，即直线经过抛物线焦点，
当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，
故设直线，与联立得：，故，
因为，所以，代入中，
得到，即，
因为点A在第一象限，所以，故，即，，解得：
故直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为，则，
解得：，B正确；
C选项，设，过点作⊥准线于点，过点作⊥准线于点P，
因为以AB为直径的圆M经过焦点F，所以⊥，则，
由抛物线定义可知：，
由基本不等式得：，则，
当且仅当时，等号成立，
故，即，C正确；
D选项，当直线l不经过焦点时，设，
由三角形三边关系可知：，
由抛物线定义可知结合C选项可知：，即，
若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相离，D错误.故选：BC
8．（2023·广东茂名·统考一模）（多选）已知抛物线，F为抛物线C的焦点，下列说法正确的是（ ）
A．若抛物线C上一点P到焦点F的距离是4，则P的坐标为、
B．抛物线C在点处的切线方程为
C．一个顶点在原点O的正三角形与抛物线相交于A、B两点，的周长为
D．点H为抛物线C的上任意一点，点，，当t取最大值时，的面积为2
【答案】ABD
【解析】A选项：由抛物线C的定义知，解得
代入可得，所以P的坐标为、，故A正确；
B选项：由得，，切线方抛物线C在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，故B正确；
C选项：顶点在原点O的正三角形与抛物线相交与A、B两点，
设正三角形的边长为，则根据对称性可得
且点在抛物线上，所以，解得，
所以这个正三角形的边长为，故C错误；
D选项：F为抛物线的焦点，过H作HD垂直抛物线C的准线于点D，
如图，
由抛物线的定义知，
当t取最大值时，取最小值，即直线GH与抛物线C相切.
设直线HG的方程为，由得，
所以，解得，
此时，即，所以，故，
所以，故D正确.故选:ABD.
9．（2022·江西·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为的直线与C交于两点，若线段中点的纵坐标为，则F到C的准线的距离为_______．
【答案】
【解析】设，，则，，
两式相减得，即，
因为、两点在斜率为的直线上，所以，
所以由得，
因为线段中点的纵坐标为，所以，
则，，
所以F到C的准线的距离为.
故答案为：.
10．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在D上，PA与l垂直，垂足为A，若，则的面积等于______.
【答案】
【解析】由以及可知，
故为等边三角形，所以
因此故，
所以，
故答案为：
11．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知抛物线C：的焦点为F，点P在C上，，且点P在圆上.
（1）求C的方程；
（2）过F且不与x轴垂直的直线l与C交于A，B两点，点A与点M关于x轴对称，直线BM与x轴交于点N，若△ABN的面积为，求直线l的方程.
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）联立，解得，即，
由，得，则，
故C的方程为.
（2）设，，则，
由（1）知点F的坐标为，可设直线AB的方程为，
联立，得，则，，
直线MB的斜率为，
直线MB的方程为，
可得，
令，得，可得点N的坐标为，
△ABN的面积，
解得，故直线l的方程为或.
12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线，圆与抛物线有且只有两个公共点.
（1）求抛物线的方程；
（2）设为坐标原点，过圆心的直线与圆交于点，直线分别交抛物线于点（点不与点重合）.记的面积为，的面积为，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由,
得，即.
由对称性可得关于的方程有两个相等的正的实数根，
所以，且，解得，
所以抛物线C的方程为.
（2）由题意，知直线的斜率不为，故设直线的方程为，
如图，设，，，.
将直线的方程代入圆的方程中，消去，得，
所以，所以，且.
直线的方程为，代入抛物线方程，
消去，得，解得或，所以.
同理，得，
所以
，
所以当时，取得最大值，为.
13．（2023春·广西柳州·高三统考阶段练习）在直角坐标系中，动点M到定点的距离比到y轴的距离大1．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）当时，记动点M的轨迹为曲线C，过F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）时，；时，；（2）是，过定点和
【解析】（1）动点M到定点的距离比到y轴的距离大1，
当时，动点M到定点的距离等于到的距离，轨迹为抛物线，
设抛物线方程为，，，
当时，满足条件.
综上所述：轨迹方程为：时，；时，
（2）设直线的方程为，，联立，
整理得：，，，
直线的方程为，同理：直线的方程为，
令得，，
设中点的坐标为，则，，
所以.
，
圆的半径为.
所以为直径的圆的方程为.
展开可得，令，可得，解得或.
所以以为直径的圆经过定点和
14．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知F是抛物线C：的焦点，以F为圆心，2p为半径的圆F与抛物线C交于A，B两点，且.
（1）求抛物线C和圆F的方程；
（2）若点P为圆F优弧AB上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）抛物线C的方程为，圆F的方程为；（2）是，16
【解析】（1）由题意可得：抛物线C：的焦点为，
则圆F的方程为，
联立方程，消去x得，
解得或（舍去），
将代入得A，B的坐标分别为，.
故，所以，
所以抛物线C的方程为，圆F的方程为.
（2）是，理由如下：
设，则，
因为抛物线的方程为，则，
所以切线PM的方程为，即，①
同理切线PN的方程为，②
则由①②过，则，
所以直线MN的方程为，
联立方程，消去y得，
则，，
所以
，
又在圆F上，则，即，
故为定值16.
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