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新高考数学【热点·重点·难点】专练 重难点1-1 利用基本不等式求最值8大题型
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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
重难点1-1 利用基本不等式求最值8大题型
基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。
在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。
利用基本不等式求最值的方法
1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系
2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况
类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；
类型2：分母为多项式时
方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；
方法2：待定系数法，适用于所有的形式，
如分母为与，分子为，
设
∴，解得：
4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
【题型1 直接法求最值】
【例1】（2022春·辽宁锦州·高三校考阶段练习）已知，且，则的最大值为（ ）
A． B．25 C．36 D．49
【答案】C
【解析】因为，，即，当且仅当时取到等号，
故的最大值为36.故选：C
【变式1-1】（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知，当取最大值时，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由已知可得，
则，即，
所以，当且仅当时取等号，即，，此时.故选：B．
【变式1-2】（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）已知正数满足,则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解:由题知,,
当且仅当时取等号，所以．故选:C．
【变式1-3】（2022·上海·高三统考学业考试）已知x>1，y>1且lg x＋lg y＝4，那么lg x·lg y的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【解析】∵x>1，y>1，∴lg x>0，lg y>0，∴，
当且仅当lg x＝lg y＝2，即x＝y＝100时等号成立．故选：D.
【变式1-4】（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】D
【解析】因为，所以.
又.所以，当且仅当时，等号成立.故选：D
【题型2 配凑法求最值】
【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为________．
【答案】
【解析】因为，
所以，
当且仅当，即时取等，
所以的最小值为.
【变式2-1】（2022春·上海静安·高三上海市市西中学校考期中）函数的值域为______.
【答案】
【解析】由题知，，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的值域为.
【变式2-2】（2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知，且，则的最大值为（ ）
A．36 B．25 C．16 D．9
【答案】B
【解析】由，得，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最大值为.故选：B.
【变式2-3】（2022春·山东济宁·高三统考期中）已知向量，若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，，即，则，
又，
故
，
当且仅当，且，即时取得等号.故选：A.
【题型3 消元法求最值】
【例3】（2022春·湖南永州·高三校考阶段练习）设，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，解得：，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值为.
【变式3-1】（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】,，则有，
，
当且仅当，即时等号成立，此时，故选：B.
【变式3-2】（2022春·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为正实数、、满足，则，
则，当且仅当时取等号.
故的最大值为.故选：C.
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正实数，，满足，
．
，
当且仅当时取等号，此时．
，当且仅当时取等号，
即的最大值是1．故选：D
【变式3-4】（2022春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）（多选）已知，，均为正实数，，则的取值不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】ABC
【解析】，，均为正实数，由得：，即，
所以，
由基本不等式得：，
当且仅当，即时，等号成立.故选：ABC
【变式3-5】（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）若，则的最大值为___________．
【答案】
【解析】，
由，所以，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当或时取等号，
所以的最大值为．
【题型4 代换法求最值】
【例4】（2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）已知，且，则的最小值是_____．
【答案】25
【解析】因为，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
【变式4-1】（2022春·江西·高三九江一中校联考阶段练习）已知，，，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】因为，，且，
所以，
当且仅当时取等号
故的最小值为
【变式4-2】（2022春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）若正实数x，y满足，则的最小值为______．
【答案】9
【解析】由得，又因为，，
所以，
当且仅当时等号成立，故的最小值为9．
【变式4-3】（2022春·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】因为，，，
所以，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为6，故选：B.
【变式4-4】（2022·广西·统考一模）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，，，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】B
【解析】由于M为线段BC的中点，则
又，所以，又，
所以，则
因为三点共线，则，化得
由
当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为1故选：B
【题型5 双换元法求最值】
【例5】（2022春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）设，且，则的最小值是__________.
【答案】
【解析】令，，则，，
因为，则有，
所以
当且仅当，即时取等号，
则分别等于时，的最小值是.
【变式5-1】（2022春·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
令，，则，，
，
当且仅当且，即，时，等号成立，
所以，故有最小值.故选：D.
【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则
所以
当且仅当即时取等号
所以的最小值是，则的最大值为.故选A
【变式5-3】（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）已知，若，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】设，
由对应系数相等得 ，得
所以
整理得即
所以.
经验证当 时，等号可取到.
【题型6 齐次化求最值】
【例6】（2020春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知都是负实数，则的最小值是____________ .
【答案】
【解析】，
因为都是负实数，所以，
所以（当且仅当时等号成立）.
所以，所以，
所以，所以.
即的最小值是.
【变式6-1】（2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知对任意正实数，，恒有，则实数的最小值是___________.
【答案】2
【解析】因为，则，
则，即，
又，
因为，所以，所以，
即，当且仅当时，取等号，
所以，
所以，即实数的最小值是2.
【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为____．
【答案】2
【解析】∵x，y＞0，则＝，
设＝t，t＞0，
则＝（t+1）+﹣2≥2﹣2＝4﹣2＝2，
当且仅当t+1＝，即t＝1时取等号，此时x＝y，
故的最小值为2.
【题型7 构造不等式法求最值】
【例7】（2013春·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值是___________.
【答案】9
【解析】由得，，
化简得，解得，所以的最小值是9.
【变式7-1】已知，，，则的最小值为______．
【答案】4
【解析】由题知由基本不等式得，即，
令，，则有，整理得，解得(舍去)或，
即，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4.
【变式7-2】（2022·全国·高三专题练习）若，则的最大值是___________．
【答案】
【解析】∵，
∴ ，
当且仅当时，等号成立，
此时，所以，即的最大值是.
【变式7-3】（2020春·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）若，，，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】因为，，所以
由两边同时乘，得，
即，则，
因为，所以，
故，整理得，即，
所以或（舍去），
故的最小值为.
【题型8 多次使用不等式求最值】
【例8】（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
当且仅当且，即时取等号，
即的最小值为.故选：B.
【变式8-1】（2022春·江苏淮安·高三校联考期中）当不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】恒成立，即
，
又，
上述两个不等式中，等号均在时取到，
，
，解得且，又，
实数的取值范围是.故选：B.
【变式8-2】（2022·全国·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．6 D．
【答案】D
【解析】，
当且仅当时等号成立，（应用基本不等式时注意等号成立的条件）
所以，
当且仅当，即且时，等号成立，
故最小值为，故选：D
【变式8-3】（2022春·安徽·高三校联考阶段练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，不等式恒成立，
所以，
因为，所以，
当且仅当时等号成立；
，
当且仅当时等号成立.
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最大值为，所以，
又因为，所以.故选：C.
【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且，即时取等号，
则的最大值为．故选：A．
（建议用时：60分钟）
1．（2022春·江苏徐州·高三学业考试）若正实数x，y满足，则x+2y的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】因为x，y是正数，
所以有，
当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，故选：C
2．（2022春·广东湛江·高三校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】C
【解析】因为，所以，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，则的最小值为4.故选：C
3．（2022春·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．12
【答案】C
【解析】，，因为，，故，，
，
当且仅当时，即时等号成立．
所以的最小值为．故选：C
4．（2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知正数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】正数满足，
由基本不等式得：，解得：，
当且仅当，即时，等号成立，的最大值为.故选：A
5．（2022春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知，，是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等比中项定义知：，，
（当且仅当，即，时取等号），
即的最小值为.故选：B.
6．（2022春·河南南阳·高三校考阶段练习）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】C
【解析】在中，E为重心，所以，
设，，（，）
所以，，所以.
因为M、E、N三点共线，所以，
所以
（当且仅当，即，时取等号）．故的最小值是3．故选：C．
7．（2022春·四川德阳·高三阶段练习）已知实数，且函数的定义域为，则的最小值是（ ）
A．4 B．6 C． D．2
【答案】A
【解析】∵定义域为R，
∴在R上恒成立，
∴，即：
∴，解得：
又∵
∴
当且仅当，即时取等号.故选：A.
8．（2022春·江西宜春·高三校考阶段练习）设，且恒成立，则n的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因为，所以，，，
所以不等式恒成立等价于恒成立.
因为，，
所以
（当且仅当时等号成立），则要使恒成立，
只需使，故n的最大值为4.故选：C
9．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）（多选）已知实数a，b满足，以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由，可得，关于的方程有解，
所以，所以，即，故A正确；
取，，则，故B错误；
由，可得，
又，令，则，
所以，即，故C正确；
由，可得，所以，
令，由，可得，
所以，即，故D正确.故选：ACD.
10．（2022·浙江·模拟预测）（多选）已知a，b为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A选项，，当且仅当时等号成立，
当时，由于，得，与为正数矛盾，故，
即得，故A选项正确；
对于B选项，，.又
，
当且仅当，即时等号成立；故B选项不正确；
对于C选项，，，.
，
，当且仅当时等号成立，，故C选项正确；
对于D选项，，，.
，
当时，，
，得，即，故D选项正确.故选：ACD
11．（2022春·山西·高三校联考阶段练习）（多选）若，且，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】BD
【解析】由，可知，，，
当且仅当时，等号成立，的最小值为25．
又．
当且仅当时，等号成立，
所以，
故的最大值为．故选：.
12．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）（多选）在下列函数中，最小值是4的是（ ）
A． B．
C．， D．
【答案】BD
【解析】对于A，当时，，当且仅当，即时取等号；
当时，，
当且仅当，即时取等号，所以，A错误；
对于B，，因为，所以，
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4，B正确；
对于C，因为，所以，
由对勾函数性质可知：，C错误；
对于D，，，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4，D正确.故选：BD
13．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
因为为正实数，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
14．（2022春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若，且，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】由题知，，且，即，所以，
当时，，即，此时，所以的最大值为1，
当时，，当且仅当时取等号，
此时；所以的最大值为.
综上，的最大值为.
15．（2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知正数满足，则的最小值是_________．
【答案】
【解析】根据题意，由可得，
即
所以；
又因为均是正数，令，则
所以，
令，
则
当且仅当，即时，等号成立；
所以
所以的最小值为;
即当时，即时，等号成立.
16．（2022春·陕西商洛·高三校联考阶段练习）已知正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为______.
【答案】
【解析】由，
可得，即，
当且仅当时，等号成立，
所以当取得最大值时，，，所以，
故当时，取最大值.
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
重难点1-1 利用基本不等式求最值8大题型
基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。
在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。
利用基本不等式求最值的方法
1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系
2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况
类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；
类型2：分母为多项式时
方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；
方法2：待定系数法，适用于所有的形式，
如分母为与，分子为，
设
∴，解得：
4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
【题型1 直接法求最值】
【例1】（2022春·辽宁锦州·高三校考阶段练习）已知，且，则的最大值为（ ）
A． B．25 C．36 D．49
【答案】C
【解析】因为，，即，当且仅当时取到等号，
故的最大值为36.故选：C
【变式1-1】（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知，当取最大值时，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由已知可得，
则，即，
所以，当且仅当时取等号，即，，此时.故选：B．
【变式1-2】（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）已知正数满足,则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解:由题知,,
当且仅当时取等号，所以．故选:C．
【变式1-3】（2022·上海·高三统考学业考试）已知x>1，y>1且lg x＋lg y＝4，那么lg x·lg y的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【解析】∵x>1，y>1，∴lg x>0，lg y>0，∴，
当且仅当lg x＝lg y＝2，即x＝y＝100时等号成立．故选：D.
【变式1-4】（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】D
【解析】因为，所以.
又.所以，当且仅当时，等号成立.故选：D
【题型2 配凑法求最值】
【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为________．
【答案】
【解析】因为，
所以，
当且仅当，即时取等，
所以的最小值为.
【变式2-1】（2022春·上海静安·高三上海市市西中学校考期中）函数的值域为______.
【答案】
【解析】由题知，，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的值域为.
【变式2-2】（2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知，且，则的最大值为（ ）
A．36 B．25 C．16 D．9
【答案】B
【解析】由，得，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最大值为.故选：B.
【变式2-3】（2022春·山东济宁·高三统考期中）已知向量，若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，，即，则，
又，
故
，
当且仅当，且，即时取得等号.故选：A.
【题型3 消元法求最值】
【例3】（2022春·湖南永州·高三校考阶段练习）设，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，解得：，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值为.
【变式3-1】（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】,，则有，
，
当且仅当，即时等号成立，此时，故选：B.
【变式3-2】（2022春·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为正实数、、满足，则，
则，当且仅当时取等号.
故的最大值为.故选：C.
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正实数，，满足，
．
，
当且仅当时取等号，此时．
，当且仅当时取等号，
即的最大值是1．故选：D
【变式3-4】（2022春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）（多选）已知，，均为正实数，，则的取值不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】ABC
【解析】，，均为正实数，由得：，即，
所以，
由基本不等式得：，
当且仅当，即时，等号成立.故选：ABC
【变式3-5】（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）若，则的最大值为___________．
【答案】
【解析】，
由，所以，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当或时取等号，
所以的最大值为．
【题型4 代换法求最值】
【例4】（2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）已知，且，则的最小值是_____．
【答案】25
【解析】因为，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
【变式4-1】（2022春·江西·高三九江一中校联考阶段练习）已知，，，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】因为，，且，
所以，
当且仅当时取等号
故的最小值为
【变式4-2】（2022春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）若正实数x，y满足，则的最小值为______．
【答案】9
【解析】由得，又因为，，
所以，
当且仅当时等号成立，故的最小值为9．
【变式4-3】（2022春·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】因为，，，
所以，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为6，故选：B.
【变式4-4】（2022·广西·统考一模）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，，，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】B
【解析】由于M为线段BC的中点，则
又，所以，又，
所以，则
因为三点共线，则，化得
由
当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为1故选：B
【题型5 双换元法求最值】
【例5】（2022春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）设，且，则的最小值是__________.
【答案】
【解析】令，，则，，
因为，则有，
所以
当且仅当，即时取等号，
则分别等于时，的最小值是.
【变式5-1】（2022春·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
令，，则，，
，
当且仅当且，即，时，等号成立，
所以，故有最小值.故选：D.
【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则
所以
当且仅当即时取等号
所以的最小值是，则的最大值为.故选A
【变式5-3】（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）已知，若，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】设，
由对应系数相等得 ，得
所以
整理得即
所以.
经验证当 时，等号可取到.
【题型6 齐次化求最值】
【例6】（2020春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知都是负实数，则的最小值是____________ .
【答案】
【解析】，
因为都是负实数，所以，
所以（当且仅当时等号成立）.
所以，所以，
所以，所以.
即的最小值是.
【变式6-1】（2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知对任意正实数，，恒有，则实数的最小值是___________.
【答案】2
【解析】因为，则，
则，即，
又，
因为，所以，所以，
即，当且仅当时，取等号，
所以，
所以，即实数的最小值是2.
【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为____．
【答案】2
【解析】∵x，y＞0，则＝，
设＝t，t＞0，
则＝（t+1）+﹣2≥2﹣2＝4﹣2＝2，
当且仅当t+1＝，即t＝1时取等号，此时x＝y，
故的最小值为2.
【题型7 构造不等式法求最值】
【例7】（2013春·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值是___________.
【答案】9
【解析】由得，，
化简得，解得，所以的最小值是9.
【变式7-1】已知，，，则的最小值为______．
【答案】4
【解析】由题知由基本不等式得，即，
令，，则有，整理得，解得(舍去)或，
即，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4.
【变式7-2】（2022·全国·高三专题练习）若，则的最大值是___________．
【答案】
【解析】∵，
∴ ，
当且仅当时，等号成立，
此时，所以，即的最大值是.
【变式7-3】（2020春·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）若，，，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】因为，，所以
由两边同时乘，得，
即，则，
因为，所以，
故，整理得，即，
所以或（舍去），
故的最小值为.
【题型8 多次使用不等式求最值】
【例8】（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
当且仅当且，即时取等号，
即的最小值为.故选：B.
【变式8-1】（2022春·江苏淮安·高三校联考期中）当不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】恒成立，即
，
又，
上述两个不等式中，等号均在时取到，
，
，解得且，又，
实数的取值范围是.故选：B.
【变式8-2】（2022·全国·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．6 D．
【答案】D
【解析】，
当且仅当时等号成立，（应用基本不等式时注意等号成立的条件）
所以，
当且仅当，即且时，等号成立，
故最小值为，故选：D
【变式8-3】（2022春·安徽·高三校联考阶段练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，不等式恒成立，
所以，
因为，所以，
当且仅当时等号成立；
，
当且仅当时等号成立.
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最大值为，所以，
又因为，所以.故选：C.
【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且，即时取等号，
则的最大值为．故选：A．
（建议用时：60分钟）
1．（2022春·江苏徐州·高三学业考试）若正实数x，y满足，则x+2y的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】因为x，y是正数，
所以有，
当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，故选：C
2．（2022春·广东湛江·高三校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】C
【解析】因为，所以，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，则的最小值为4.故选：C
3．（2022春·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．12
【答案】C
【解析】，，因为，，故，，
，
当且仅当时，即时等号成立．
所以的最小值为．故选：C
4．（2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知正数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】正数满足，
由基本不等式得：，解得：，
当且仅当，即时，等号成立，的最大值为.故选：A
5．（2022春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知，，是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等比中项定义知：，，
（当且仅当，即，时取等号），
即的最小值为.故选：B.
6．（2022春·河南南阳·高三校考阶段练习）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】C
【解析】在中，E为重心，所以，
设，，（，）
所以，，所以.
因为M、E、N三点共线，所以，
所以
（当且仅当，即，时取等号）．故的最小值是3．故选：C．
7．（2022春·四川德阳·高三阶段练习）已知实数，且函数的定义域为，则的最小值是（ ）
A．4 B．6 C． D．2
【答案】A
【解析】∵定义域为R，
∴在R上恒成立，
∴，即：
∴，解得：
又∵
∴
当且仅当，即时取等号.故选：A.
8．（2022春·江西宜春·高三校考阶段练习）设，且恒成立，则n的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因为，所以，，，
所以不等式恒成立等价于恒成立.
因为，，
所以
（当且仅当时等号成立），则要使恒成立，
只需使，故n的最大值为4.故选：C
9．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）（多选）已知实数a，b满足，以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由，可得，关于的方程有解，
所以，所以，即，故A正确；
取，，则，故B错误；
由，可得，
又，令，则，
所以，即，故C正确；
由，可得，所以，
令，由，可得，
所以，即，故D正确.故选：ACD.
10．（2022·浙江·模拟预测）（多选）已知a，b为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A选项，，当且仅当时等号成立，
当时，由于，得，与为正数矛盾，故，
即得，故A选项正确；
对于B选项，，.又
，
当且仅当，即时等号成立；故B选项不正确；
对于C选项，，，.
，
，当且仅当时等号成立，，故C选项正确；
对于D选项，，，.
，
当时，，
，得，即，故D选项正确.故选：ACD
11．（2022春·山西·高三校联考阶段练习）（多选）若，且，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】BD
【解析】由，可知，，，
当且仅当时，等号成立，的最小值为25．
又．
当且仅当时，等号成立，
所以，
故的最大值为．故选：.
12．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）（多选）在下列函数中，最小值是4的是（ ）
A． B．
C．， D．
【答案】BD
【解析】对于A，当时，，当且仅当，即时取等号；
当时，，
当且仅当，即时取等号，所以，A错误；
对于B，，因为，所以，
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4，B正确；
对于C，因为，所以，
由对勾函数性质可知：，C错误；
对于D，，，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4，D正确.故选：BD
13．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
因为为正实数，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
14．（2022春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若，且，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】由题知，，且，即，所以，
当时，，即，此时，所以的最大值为1，
当时，，当且仅当时取等号，
此时；所以的最大值为.
综上，的最大值为.
15．（2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知正数满足，则的最小值是_________．
【答案】
【解析】根据题意，由可得，
即
所以；
又因为均是正数，令，则
所以，
令，
则
当且仅当，即时，等号成立；
所以
所以的最小值为;
即当时，即时，等号成立.
16．（2022春·陕西商洛·高三校联考阶段练习）已知正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为______.
【答案】
【解析】由，
可得，即，
当且仅当时，等号成立，
所以当取得最大值时，，，所以，
故当时，取最大值.
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