2024年广东省深圳市南山二外（集团）学府中学中考数学模拟试卷（3月份）(含解析）

这是一份2024年广东省深圳市南山二外（集团）学府中学中考数学模拟试卷（3月份）(含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.国家级非物质文化遗产之一的东北大鼓是中国北方曲种，流行于辽宁、吉林、黑龙江3省.如图是奉天大鼓的立体图形，该立体图形的主视图是( )
A. B. C. D.
2.已知∠A是锐角，sinA=35，则csA的值为( )
A. 34B. 45C. 25D. 13
3.若x=m是方程x2+x−4=0的根，则m2+m+2020的值为( )
A. 2024B. 2022C. 2020D. 2016
4.如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠D=35°，∠DPB=110°，则∠BCP=( )
A. 35°
B. 75°
C. 40°
D. 25°
5.某班的一个数学兴趣小组为了考察本市某条斑马线上驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员能主动给行人让路的概率为( )
A. 0.95B. 0.96C. 0.97D. 0.98
6.已知如图，在▱ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平移，得到△A′B′C′，连接AB′和C′D，若使四边形AB′C′D是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB′=DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′=∠A′C′D；其中正确的方案是( )
A. 甲、乙、丙
B. 只有乙、丙
C. 只有甲、乙
D. 只有甲
7.已知二次函数y=−x2+2x+4，则下列说法正确的是( )
A. 该函数的图象开口向上B. 该函数图象与y轴的交点坐标为(0,5)
C. 当x=1时，y有最大值为5D. 当x>1时，y随x的增大而增大
8.下列命题正确的是( )
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行B. 同旁内角互补
C. 凸多边形的外角和都等于360°D. 平分弦的直径垂直于弦
9.若二次函数y=(x+2)2−1的图象经过点A(−1,y1)，B(−2,y2)，C(3,y3)，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A. y1>y3>y2B. y2>y3>y1C. y1>y2>y3D. y3>y1>y2
10.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为直线x=1，以下4个结论：
①abc<0；
②(a+c)2③a+b④4a+2b+c>0．
其中正确结论的有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：2ab2−8a= ．
12.在一个不透明的盒子中装有9个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是14，则黄球的个数为______．
13.如图，AB是⊙O的弦，OA⊥OD，BD与⊙O相切，AB，OD相交于点C，若OA=3，OC=1，则线段BD的长为______．
14.如图，在Rt△OAB中，∠OBA=90°，OA在x轴上，AC平分∠OAB，OD平分∠AOB，AC与OD相交于点E，且OC= 5，CE= 2，反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象经过点E，则k的值为 ．
15.如图，在正方形ABCD中，AB=6 2，M为对角线BD上任意一点(不与B、D重合)，连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N.连接NC交BD于点G.若BG：MG=3：5，则NG⋅CG的值为______．
三、解答题：本题共5小题，共39分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
解下列方程．
(1)(x+4)2=5(x+4)；
(2)计算：(−14)−1+2cs45°−|1− 2|+(3.14−π)0．
17.(本小题6分)
如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成.如图2，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC=60°.综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE=3m，EF=9m(A,E,F在同一条直线上).求灯管支架CD的长度．
18.(本小题7分)
某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间满足如图所示的函数关系．
(1)求每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间的函数关系式；(不必写出自变量的取值范围)
(2)物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%.设这种防护品每月的总利润为w(元)，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
19.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD=2∠BAD．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若AB=20，CD=12.求AE的长．
20.(本小题9分)
数形结合是解决数学问题的重要方法.小明同学学习二次函数后，对函数y=−(|x|−1)2进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象.请根据函数图象，回答下列问题：

【观察探究】：
方程−(|x|−1)2=−1的解为：______；
【问题解决】：
若方程−(|x|−1)2=a有四个实数根，分别为x1、x2、x3、x4．
①a的取值范围是______；
②计算x1+x2+x3+x4= ______；
【拓展延伸】：
①将函数y=−(|x|−1)2的图象经过怎样的平移可得到函数y1=−(|x−2|−1)2+3的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；
②观察平移后的图象，当2≤y1≤3时，直接写出自变量x的取值范围______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：这个立体图形的主视图为：
．
故选：B．
根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握解答几何体三视图的画法是正确解答的前提．
2.【答案】B
【解析】解：如图所示：
∵sinA=BCAB=35，
设BC=3a，AB=5a，
则AC= AB2−BC2=4a，
∴csA=ACAB=4a5a=45．
故选：B．
根据三角函数的定义即可求解．
本题考查了求角的余弦值，关键是根据题意作出直角三角形．
3.【答案】A
【解析】解：由题意得：把x=m代入方程x2+x−4=0中得：m2+m−4=0，
∴m2+m=4，
∴m2+m+2020=4+2020=2024，
故选：A．
根据题意可得：把x=m代入方程x2+x−4=0中得：m2+m−4=0，从而可得m2+m=4，然后代入式子中进行计算，即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵∠B和∠D都对AC，
∴∠B=∠D=35°，
∴∠BCP=∠DPB−∠B=110°−35°=75°．
故选：B．
先根据圆周角定理得到∠B=∠D=35°，然后根据三角形外角的性质计算∠BCP的度数．
本题考查圆周角定理，理解“同弧所对的圆周角相等”以及三角形内角和定理是正确解答的前提．
5.【答案】C
【解析】解：∵抽取车辆为4000时，能礼让车辆的频率趋近于0.97，
∴可估计驾驶员能主动给行人让路的概率为0.97．
故选：C．
根据6次调查从100辆增加到4000辆时，能礼让车辆的频率趋近于0.97，从而求得答案．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意可知AD=B′C′，AD//B′C′，
∴四边形AB′C′D是平行四边形．
方案甲，AB′=C′D不能判断四边形AB′C′D是菱形；
方案乙，由B′D⊥AC′，
∴平行四边形AB′C′D是菱形；
方案丙，由∠A′C′B′=∠A′C′D，又AD//B′C′，
∴∠DAC′=∠A′C′B′，
∴∠DAC′=∠AC′D，
∴AD=C′D，
∴平行四边形AB′C′D是菱形．
所以正确的是乙和丙．
故选：B．
先根据题意可知四边形AB′C′D是平行四边形，再根据三种方案结合菱形的判定定理即可得出答案．
本题主要考查了菱形的判定及平移的性质，灵活选择判定定理是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：由题意可知，a=−1<0，
函数图象开口向下，
故A错误，不符合题意；
当x=0时y=4，
函数图象与y轴的交点坐标为(0,4)，
故B错误，不符合题意；
函数对称轴为x=1，开口向下，
当x=1时y=5，
即当x=1时，y有最大值为5，
故C正确，符合题意；
函数对称轴为x=1，开口向下，
当x>1时，y随x的增大而减小，
故D错误，不符合题意；
故选：C．
根据二次函数图象的基本性质，结合开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及函数与坐标轴交点进行分析即可．
本题考查了二次函数图象的基本性质；熟练掌握二次函数图象的基本性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，本项不符合题意；
B.两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，本项不符合题意；
C.凸多边形的外角和都等于360°，正确；
D.平分弦(该弦不是圆的直径)的直径垂直于弦，原说法错误，本项不符合题意；
故答案为：C．
根据平行的性质、凸多边形的外角和、垂径定理等知识对各项进行分析即可．
本题考查了判断命题真假的问题，掌握平行的性质、凸多边形的外角和、垂径定理等知识是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵二次函数y=(x+2)2−1，
∴开口向上，对称轴为直线x=−2，
∴B(−2,y2)是顶点，y2最小，
∵A(−1,y1)到对称轴的距离小于C(3,y3)到对称轴的距离，
∴y1∴y3>y1>y2．
故选：D．
根据二次函数的对称性，利用对称性，找出点A，B，C到对称轴的距离，即可解答．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：①由图象可知：a<0，c>0，
∵−b2a>0，
∴b>0，
∴abc<0，故①正确；
②当x=−1时，y<0，当x=1时，y>0，
∴a−b+c<0，a+b+c>0，
∴(a−b+c)(a+b+c)<0，
∴(a+c)2③当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，其中m≠1，
所以a+b+c>am2+bm+c，
故a+b>am2+bm，即a+b>m(am+b)，故③错误．
④由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c>0，故④正确；
故选：B．
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，分别观察x=2，x=−1，x=1时的函数值，进而对所得结论进行判断即可．
此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
11.【答案】2a(b+2)(b−2)
【解析】解：2ab2−8a，
=2a(b2−4)，
=2a(b+2)(b−2)．
故答案为：2a(b+2)(b−2)．
两项的数字公因式为2，字母公因式为a，故公因式为2a，提公因式后，用平方差公式进一步因式分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式．注意公因式包括数字、字母，公因式选择应完整．因式分解应该分解到不能再分解为止．
12.【答案】3
【解析】解：设黄球的个数为x个，
根据题意得：x9+x=14，
解得x=3，
经检验：x=3是原分式方程的解，
故答案为3．
设黄球的个数为x个，根据概率公式得到x9+x=14，然后解方程即可．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
13.【答案】4
【解析】解：连接OB，
∵DB切圆于B，
∴半径OB⊥BD，
∴∠OBD=90°，
∴∠DBC+∠OBA=90°，
∵OB=OA，
∴∠A=∠OBA，
∵∠A+∠ACO=90°，
∴∠DBC=∠ACO，
∵∠BCD=∠ACO，
∴∠DBC=∠BCD，
∴BD=CD，
令BD=x，
∵OC=1，
∴OD=OC+CD=1+x，
∵OD2=OB2+BD2，
∴(x+1)2=32+x2，
∴x=4，
∴BD=4．
故答案为：4．
由切线的性质推出∠OBD=90°，得到∠DBC+∠OBA=90°，由等腰三角形的性质得到∠A=∠OBA，由余角的性质推出∠DBC=∠ACO，由对顶角相等得到∠BCD=∠ACO，因此∠DBC=∠BCD，推出BD=CD，令BD=x，由勾股定理得到(x+1)2=32+x2，求出x=4，即可得到BD=4．
本题考查切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，关键是由勾股定理得到关于x的方程．
14.【答案】185
【解析】解：过点C作CF⊥OD，垂足为F，延长CF交OA于点G，过点E作EH⊥OA，垂足为H，
∵AC平分∠OAB，OD平分∠AOB，∠OBA=90°，
∴∠EOA+∠EAO=12(∠BOA+∠BAO)=12(180°−90°)=45°=∠CEF，
在Rt△CEF中，∠CEF=45°，CE= 2，
∴CF=EF= 22× 2=1，
在Rt△COF中，OC= 5，CF=1，
∴OF= OC2−CF2=2，
在Rt△OCF和Rt△OGF中，
∵∠OFC=∠OFG=90°，OF=OF，∠COF=∠GOF，
∴Rt△OCF≌Rt△OGF(ASA)，
∴OG=OC= 5，FC=FG=1，
∵∠OFG=90°=∠OHE，∠FOG=∠HOE，
∴△FOG∽△HOE，
∴S△FOGS△HOE=OG2OE2=( 5)2(2+1)2=59，
又∵S△FOG=12×1×2=1，
∴S△HOE=12|k|=95，
∴k=185(取正值)，
故答案为：185．
通过作垂线构造直角三角形，根据直角三角形的两锐角的平分线的夹角为45°，求出∠CEF=45°，在Rt△CEF中根据特殊锐角三角函数值可求出CF、EF，在Rt△COF中，根据勾股定理求出OF，再根据△FOG∽△HOE，得出S△FOGS△HOE=OG2OE2=( 5)2(2+1)2=59，进而求出S△HOE=95，最后根据反比例函数系数k的几何意义求出结果即可．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，三角形全等以及解直角三角形，求出△HOE的面积是解决问题的前提．
15.【答案】15
【解析】解：如图，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，
∵△DMC≌△BHC，∠BCD=90°，
∴MC=HC，DM=BH，∠CDM=∠CBH=45°，∠DCM=∠BCH，
∴∠MBH=90°，∠MCH=90°，
∵MC=MN，MC⊥MN，
∴△MNC是等腰直角三角形，
∴∠MNC=45°，
∴∠NCH=45°，
∴△MCG≌△HCG(SAS)，
∴MG=HG，
∵BG：MG=3：5，
设BG=3a，则MG=GH=5a，
在Rt△BGH中，BH=4a，则MD=4a，
∵正方形ABCD的边长为6 2，
∴BD=12，
∴DM+MG+BG=12a=12，
∴a=1，
∴BG=3，MG=5，
∵∠MGC=∠NGB，∠MNG=∠GBC=45°，
∴△MGN∽△CGB，
∴GCGB=MGNG，
∴CG⋅NG=BG⋅MG=15．
故答案为：15．
把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，先证△MCG≌△HCG得MG=HG，由BG：MG=3：5可设BG=3a，则MG=GH=5a，继而知BH=4a，MD=4a，由DM+MG+BG=12a=12可求出a，最后通过△MGN∽△CGB可得出答案．
本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点．
16.【答案】解：(1)(x+4)2=5(x+4)，
(x+4)2−5(x+4)=0，
(x+4)(x+4−5)=0，
x+4=0或x+4−5=0，
所以x1=−4，x2=1；
(2)原式=−4+2× 22+1− 2+1
=−4+ 2+1− 2+1
=−2．
【解析】(1)先移项，再利用因式分解法把原方程转化为x+4=0或x+4−5=0，然后解两个一次方程即可；
(2)根据负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的意义计算，然后合并即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．
17.【答案】解：延长FC交AB于点G，
在Rt△ADE中，tan∠AED=ADAE=tan60°= 3，
∵AE=3m，
∴AD= 3AE=3 3m，
∵AE=3m，EF=9m，
∴AF=AE+EF=12m，
在Rt△AFG中，tanF=AGAF=tan30°= 33，
∴AG=4 3m，

在Rt△AFG中，∠A=90°，∠F=30°，
∴∠AGF=60°，
∵∠BDC=∠AGF=60°，
∴△DGC是等边三角形，
∴DC=DG=AG−AD=4 3−3 3= 3(m)，
答：灯管支架CD的长度为 3m.
【解析】延长FC交AB于点G，先解Rt△ADE求出AD=3 3m，再解Rt△AFG求出AG=4 3m，再证明△DGC是等边三角形，则DC=DG=AG−AD=4 3m.
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18.【答案】解：(1)由图象可知每月销售量y(件)与售价x(元)之间为一次函数关系，设其函数关系式为y=kx+b(k≠0,x≥50)，
将(60,600)，(80,400)代入，得：
60k+b=60080k+b=400
解得：k=−10b=1200，
∴每月销售y(件)与售价x(元)的函数关系式为y=−10x+1200；
(2)由题意得：
w=(−10x+1200)(x−50)
=−10x2+1700x−60000
=−10(x−85)2+12250，
∵−10<0，
∴当x≤85时，w随x的增大而增大，
∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的30%，
∴x≤50×(1+30%)，即x≤65，
∴当x=65时，w取得最大值：最大值=−10(65−85)2+12250=8250．
∴售价定为65元可获得最大利润，最大利润是8250元．
【解析】(1)由图象可知每月销售量y(件)与售价x(元)之间为一次函数关系，设其函数关系式为y=kx+b(k≠0,x≥50)，用待定系数法求解即可；
(2)由题意得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：连接OC、BC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，AO=OB，
∵AB⊥CD，
∴AB平分弦CD，AB平分CD，
∴CH=HD，BC=BD，∠CHA=90°=∠CHE，
∴∠BAD=∠BAC=∠DCB，
∵∠ECD=2∠BAD，
∴∠ECD=2∠BAD=2∠BCD，
∵∠ECD=∠ECB+∠BCD，
∴∠BCE=∠BCD，
∴∠BCE=∠BAC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠ECB=∠OCA，
∵∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB，
∴∠ECB+∠OCB=90°，
∴半径CO⊥FC，
∴CF是⊙O的切线；
(2)解：∵AB=20，CD=12，
在(1)的结论中有AO=OB=10，CH=HD=6，
在Rt△OCH中，OH= 102−62=8，
∵OC⊥CF，CH⊥OE，∠COH=∠EOC，
∴△OCH∽△OEC，
∴OCOE=OHOC，
∴10OE=810，
∴OE=252，
∴AE=OA+OE=10+252=452．
【解析】(1)连接OC，BC，利用圆周角定理，垂径定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
(2)利用勾股定理在Rt△OCH中求出OH=8，根据OC⊥CF，CH⊥OE，∠COH=∠EOC，得出△OCH∽△OEC，求出OE的长，则AE=OA+OE．
本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
20.【答案】x=0或x=2或x=−2 −1【解析】解：(1)观察探究：
①由图象可知，当函数值为−1时，直线y=−1与图象交点的横坐标就是方程−(|x|−1)2=−1的解．
故答案为：x=−2或x=0或x=2．
(2)问题解决：
①若方程(−x|−1)2=a有四个实数根，由图象可知a的取值范围是−1故答案为：−1②由图象可知：四个根是两对互为相反数．所以x1+x2+x3+x4=0．
故答案为：0．
(3)拓展延伸：
①将函数y=−(|x|−1)2的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数y1=−(|x−2|−1)2+3的图象，
②当2≤y1≤3时，自变量x的取值范围是0≤x≤4．
故答案为：0≤x≤4．
(1)根据图象即可求得；
(2)根据“上加下减”的平移规律，画出函数y1=−(|x−2−1)2+3的图象，根据图象即可得到结论．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．抽查车辆数
100
500
1000
2000
3000
4000
能礼让的驾驶员人数
95
486
968
1940
2907
3880
能礼让的频率
0.95
0.972
0.968
0.97
0.969
0.97