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2022年广东省深圳市南山区九年级中考数学一模试卷
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这是一份2022年广东省深圳市南山区九年级中考数学一模试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．绿色饮品B．绿色食品
C．有机食品D．速冻食品
2．（3分）《深圳市数字经济产业创新发展实施方案（2021﹣2023年）》中指出：到2023年，数字经济将成为推动深圳市经济社会高质量发展的核心引擎之一（ ）
A．0.50×108B．50×108C．5.0×109D．5.0×1010
3．（3分）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近（ ）
A．6个B．15个C．12个D．13个
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2b3）2＝a4b6B．a3•a5＝a15
C．（﹣a2）3＝﹣a5D．3a2﹣2a2＝1
5．（3分）若一组数据2，4，x，5，7的平均数为5，则这组数据中的x和中位数分别为（ ）
A．5，7B．5，5C．7，5D．7，7
6．（3分）关于一元二次方程x2+4x+3＝0根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
7．（3分）将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣5（x+1）2﹣1B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣1
C．y＝﹣5（x+1）2+3D．y＝﹣5（x﹣1）2+3
8．（3分）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时1，则此时线段CA扫过的图形的面积为（ ）
A．4πB．6C．4D．π
9．（3分）对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是通常的实数运算．例如：1⊗3＝，则方程x⊗（﹣1）＝﹣1的解是（ ）
A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝7
10．（3分）如图，直线y＝﹣x﹣4分别交x、y轴于点C、D，P为反比例函数y＝（k＞0），过点P分别作x轴，y轴的垂线交直线CD于点A、B；②BP＝AP；③BC•AD＝16（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）分解因式：3x2﹣12y2＝ ．
12．（3分）一个正方体的骰子六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，则扔一次骰子朝上的数字满足不等式x≥5的概率是 ．
13．（3分）已知a，b为有理数，如果规定一种新的运算“※”，例如：1※2＝2×2﹣3×1＝4﹣3＝1，计算：（2※3） ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，AB＝BD，作BE⊥AD于点E，连接CE，则△ACE的面积为 ．
15．（3分）如图，菱形OABC的一边OC在x轴的正半轴上，O是原点，若点C（13，0），AC•OB＝312（x＞0）的图象经过点D，并与BA的延长线交于点E ．
三、解答题（本大题有七题，其中第16题5分、第17题6分、第18题7分、第19题8分，第20题9分、第21题10分、第22题10分，共55分，解答应写出文字说明或演算步骤）
16．（5分）计算：2cs45°+|﹣3|﹣（）﹣2+（2021﹣π）0．
17．（6分）先化简（﹣）÷，再从2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值．
18．（7分）我市某中学为适应学生发展需要，准备开设校课外兴趣小组活动．为了了解学生喜欢项目的情况，以便合理安排场地，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必须在这五个项目中选择一个且只能选一个），调查结果统计如下：
解答下列问题：
（1）这次一共抽取了 名学生进行调查；
（2）统计图表中，a＝ ，b＝ ，m＝ ．
（3）估算全校2000名学生中喜欢京剧的学生人数为 人．
19．（8分）如图，BC是⊙O的直径，A为⊙O上一点，AD⊥BC于点D，E是直径CB延长线上一点
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若EC＝4，AD＝2BD，求EA．
20．（9分）某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料．
（1）求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？
（2）如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍，求应最多安排制作甲种边框多少个（不计材料损耗）？
21．（10分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”．例如（﹣3，﹣3）、（1，1）、（2023，2023）．
（1）下列说法不正确的是 ．
A．直线y＝x的图象上有无数个“不动点”
B．函数的图象上没有“不动点”
C．直线y＝x+1的图象上有无数个“不动点”
D．函数y＝x2的图象上有两个“不动点”
（2）求双曲线上的“不动点”；
（3）若抛物线y＝ax2﹣3x+c（a、c为常数）上有且只有一个“不动点”，
①当a＞1时，求c的取值范围．
②如果a＝1，过双曲线图象上第一象限的“不动点”作平行于x轴的直线l，直接写出m的取值范围．
22．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形（0，3），点B的坐标为（4，0），点E、F分别是BC边、AC边上的动点，连接EF，把△CEF沿着动直线EF翻折
（1）如图1，当点C的对应点D落在AB上，且EF∥AB时 ；
（2）如图2，点G（0，2），连接FG交AB于点H，当四边形FHIE为平行四边形时，求CE的长；
（3）当点E、F在问题（1）中的位置时，把△EDF绕点E逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），设直线D′F′与y轴、直线AB分别交于点N、M，当AN＝AM时
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．绿色饮品B．绿色食品
C．有机食品D．速冻食品
【解答】解：A、既不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）《深圳市数字经济产业创新发展实施方案（2021﹣2023年）》中指出：到2023年，数字经济将成为推动深圳市经济社会高质量发展的核心引擎之一（ ）
A．0.50×108B．50×108C．5.0×109D．5.0×1010
【解答】解：将50亿用科学记数法表示为5.0×105．
故选：C．
3．（3分）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近（ ）
A．6个B．15个C．12个D．13个
【解答】解：设白球个数为x个，
∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，
∴口袋中得到红色球的概率为25%，
∴＝，
解得：x＝12，
经检验x＝12是原方程的根，
故白球的个数为12个．
故选：C．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2b3）2＝a4b6B．a3•a5＝a15
C．（﹣a2）3＝﹣a5D．3a2﹣2a2＝1
【解答】解：A、（﹣a2b3）6＝a4b6，故本选项符合题意；
B、a5•a5＝a8，故本选项不合题意；
C、（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项不合题意；
D、2a2﹣2a2＝a2，故本选项不合题意；
故选：A．
5．（3分）若一组数据2，4，x，5，7的平均数为5，则这组数据中的x和中位数分别为（ ）
A．5，7B．5，5C．7，5D．7，7
【解答】解：∵数据2，4，x，5，7的平均数是5，
∴x＝7×5﹣2﹣8﹣5﹣7＝3，
这组数据为2，4，8，7，7，
则中位数为7．
故选：C．
6．（3分）关于一元二次方程x2+4x+3＝0根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【解答】解：根据题意有，
Δ＝42﹣6×1×3＝6＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．（3分）将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣5（x+1）2﹣1B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣1
C．y＝﹣5（x+1）2+3D．y＝﹣5（x﹣1）2+3
【解答】解：将抛物线y＝﹣5x2+8向左平移1个单位长度，得到y＝﹣5（x+6）2+1，再向下平移6个单位长度，
所得到的抛物线为：y＝﹣5（x+1）3﹣1．
故选：A．
8．（3分）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时1，则此时线段CA扫过的图形的面积为（ ）
A．4πB．6C．4D．π
【解答】解：由题意，知AC＝4，∠A1BC＝90°．
由旋转的性质，得A4C＝AC＝4．
在Rt△A1BC中，cs∠ACA6＝＝．
∴∠ACA1＝60°．
∴扇形ACA1的面积为＝．
即线段CA扫过的图形的面积为．
故选：D．
9．（3分）对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是通常的实数运算．例如：1⊗3＝，则方程x⊗（﹣1）＝﹣1的解是（ ）
A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝7
【解答】解：根据题中的新定义化简得：＝﹣1，
去分母得：7＝6﹣x+1，
解得：x＝7，
经检验x＝5是分式方程的解．
故选：B．
10．（3分）如图，直线y＝﹣x﹣4分别交x、y轴于点C、D，P为反比例函数y＝（k＞0），过点P分别作x轴，y轴的垂线交直线CD于点A、B；②BP＝AP；③BC•AD＝16（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：如图所示，过B作BF⊥x轴于F，
∵一次函数y＝﹣x﹣4中，令x＝0；令y＝8，
∴OC＝4＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝45°，
∴△COD、△BFC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴BC＝BFAE，
∵∠AOB＝135°，
∴∠OBC+∠OAB＝45°，
又∵∠OBC+∠BOC＝45°，
∴∠BOC＝∠BAO，
同理可得∠AOD＝∠ABO，
∴△AOD∽△OBC，故①正确；
∵△BFC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠CBF＝∠DAE＝45°，
∴∠PBC＝∠PAB＝45°，
∴BP＝AP，故②正确；
∵△AOD∽△OBC
∴，即AD•BC＝OC•OD＝16；
设P（m，n）BF＝nAE＝m，
∴m×，
即mn＝8，
∴k＝mn＝8，故④正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）分解因式：3x2﹣12y2＝ 3（x﹣2y）（x+2y） ．
【解答】解：3x2﹣12y7，
＝3（x2﹣3y2），
＝3（x+8y）（x﹣2y）．
12．（3分）一个正方体的骰子六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，则扔一次骰子朝上的数字满足不等式x≥5的概率是 ．
【解答】解：扔一次骰子朝上的数字有6种等可能结果，其中数字满足不等式x≥5的有4，
∴扔一次骰子朝上的数字满足不等式x≥5的概率是＝，
故答案为：．
13．（3分）已知a，b为有理数，如果规定一种新的运算“※”，例如：1※2＝2×2﹣3×1＝4﹣3＝1，计算：（2※3） 10 ．
【解答】解：∵a※b＝2b﹣3a，
∴（5※3）※5
＝（4×3﹣3×7）※5
＝（6﹣5）※5
＝0※2
＝2×5﹣2×0
＝10﹣0
＝10，
故答案为：10．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，AB＝BD，作BE⊥AD于点E，连接CE，则△ACE的面积为 24 ．
【解答】解：由题意，设AB＝3x，则BC＝5x，DC＝2x，
过D作DF⊥AC于F，
∵∠BAC＝90°，
∴DF∥AB，
∴△DFC∽△BAC，
∴，
∴CF＝，DF＝，
∴AF＝AC﹣CF＝4x﹣＝，
在Rt△ADF中，AD2＝DF2+AF6，
即，
解得：x＝4，
∴AB＝6，AC＝8，
∵AB＝BD，且BE⊥AD，
∴点E为AD的中点，
∴，
法二：过A作AF⊥BD，设AB＝3x，则BC＝7x，CD＝2x，
根据直角三角形的等面积法求出AF＝x，BF＝xx，那么根据Rt三角形AFD中的勾股定理就可以求出x△ABD：S△ACD＝3：2，E为中点△AEC＝S△ABC
故答案为：24．
15．（3分）如图，菱形OABC的一边OC在x轴的正半轴上，O是原点，若点C（13，0），AC•OB＝312（x＞0）的图象经过点D，并与BA的延长线交于点E ．
【解答】解：作AM⊥x轴于点M，作BN⊥x轴于点N，
∵AC•OB＝312，
∴S菱形OABC＝•AC•OB＝156，
∴S△OAC＝S菱形OABC＝78，即CO•AM＝78，
∵C（13，0），
∴AM＝12，
∴OM＝＝＝5，
则A（5，12），
∵四边形OABC是菱形，
∴BC∥OA，BC＝OA，
∴∠BCN＝∠AOM，
在△BCN和△AOM中
，
∴△BCN≌△AOM（AAS），
∴BN＝AM＝12、CN＝OM＝7，
∴B（18，12），
∵D为BO的中点，
∴D（9，6），
∵D在反比例函数图象上，
∴k＝7×6＝54，即反比例函数解析式为y＝；
当y＝12时，x＝，
则点E（，12），
∴AE＝，
故答案为．
三、解答题（本大题有七题，其中第16题5分、第17题6分、第18题7分、第19题8分，第20题9分、第21题10分、第22题10分，共55分，解答应写出文字说明或演算步骤）
16．（5分）计算：2cs45°+|﹣3|﹣（）﹣2+（2021﹣π）0．
【解答】解：2cs45°+|﹣6|﹣（）﹣5+（2021﹣π）0
＝2×+3﹣
＝+3﹣
＝﹣5．
17．（6分）先化简（﹣）÷，再从2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【解答】解：（﹣）÷
＝[]
＝（）
＝
＝x+5，
∵（x﹣2）（x+2）（x﹣6）≠0，
∴x≠2，﹣5，4，
∴x＝3，
当x＝6时，原式＝3+2＝2．
18．（7分）我市某中学为适应学生发展需要，准备开设校课外兴趣小组活动．为了了解学生喜欢项目的情况，以便合理安排场地，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必须在这五个项目中选择一个且只能选一个），调查结果统计如下：
解答下列问题：
（1）这次一共抽取了 200 名学生进行调查；
（2）统计图表中，a＝ 80 ，b＝ 10 ，m＝ 10 ．
（3）估算全校2000名学生中喜欢京剧的学生人数为 100 人．
【解答】解：（1）60÷30%＝200（人），
故答案为：200；
（2）a＝200×40%＝80（人），b＝200﹣20﹣80﹣30﹣60＝10，即m＝10，
故答案为：80，10；
（3）2000×＝100（人），
故答案为：100．
19．（8分）如图，BC是⊙O的直径，A为⊙O上一点，AD⊥BC于点D，E是直径CB延长线上一点
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若EC＝4，AD＝2BD，求EA．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵AB平分∠EAD，
∴∠BAD＝∠BAE，
∴∠ABD+∠BAE＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠OAB，
∴∠OAB+∠BAE＝90°，
∴∠OAE＝90°，
∴OA⊥AE，OA是半径，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∵∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠C＝∠BAD，
∴tan∠C＝tan∠BAD，
∵AD＝2BD，
∴＝＝，
∵∠E＝∠E，∠EAB＝∠C，
∴△ABE∽△CAE，
∴＝＝，
∵EC＝4，
∴AE＝2．
20．（9分）某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料．
（1）求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？
（2）如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍，求应最多安排制作甲种边框多少个（不计材料损耗）？
【解答】解：（1）设制作每个乙种边框用x米材料，则制作甲种边框用（1+20%）x米材料，
由题意，得
﹣1＝，
解得：x＝2，
经检验x＝2是原方程的解，
∴（6+20%）x＝2.4（米），
答：制作每个甲种用7.4米材料；制作每个乙种用2米材料．
（2）设应安排制作甲种边框需要a米，则安排制作乙种边框需要（640﹣a）米，
由题意，得
≥×6．
解得a≤240，
则≤100．
答：应最多安排制作甲种边框100个．
21．（10分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”．例如（﹣3，﹣3）、（1，1）、（2023，2023）．
（1）下列说法不正确的是 C ．
A．直线y＝x的图象上有无数个“不动点”
B．函数的图象上没有“不动点”
C．直线y＝x+1的图象上有无数个“不动点”
D．函数y＝x2的图象上有两个“不动点”
（2）求双曲线上的“不动点”；
（3）若抛物线y＝ax2﹣3x+c（a、c为常数）上有且只有一个“不动点”，
①当a＞1时，求c的取值范围．
②如果a＝1，过双曲线图象上第一象限的“不动点”作平行于x轴的直线l，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）设坐标平面内任意一个“不动点”的坐标为（n，n），
直线y＝x，当x＝n时，
∴点（n，n）在直线y＝x上，
∴直线y＝x上有无数个“不动点”，
故A正确；
将（n，n）代入y＝，此方程无解，
∴函数y＝的图象上没有“不动点”，
故B正确；
将（n，n）代入y＝x+1，此方程无解，
∴直线y＝x+1上没有“不动点”，
故C错误；
将（n，n）代入y＝x6，得n＝n2，解得n1＝8，n2＝1，
∴函数y＝x5的图象上有两个“不动点”（0，0）和（8，
故D正确，
故选：C．
（2）设双曲线上的“不动点”为（x，则x＝，
解得x6＝﹣3，x2＝6，
∴双曲线上的“不动点”为（﹣3，7）．
（3）①设抛物线y＝ax2﹣3x+c上的“不动点”为（x，x）8﹣3x+c，
即ax2﹣6x+c＝0，
∵该抛物线上有且只有一个“不动点”，
∴关于x的一元二次方程ax2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，
∴（﹣4）3﹣4ac＝0，
∴a＝，
∵a＞1，
∴＞4，
∴0＜c＜4．
②∵当a＝4时，则＝1，
∴c＝3，
∴抛物线为y＝x2﹣3x+3，
由（2）得，双曲线，3），
∴直线l即直线y＝4，
如图，∵y＝x2﹣3x+6＝（x﹣）4+，
∴该抛物线的顶点B（，），对称轴为直线x＝，
设直线r在直线l下方且到直线l的距离为m，直线x＝，交直线r于点C，
∴AC＝m，A（，
∴AB＝3﹣＝，
设直线t与直线r关于直线l对称，
∵当点C在点B的上方时，抛物线上有四个点到l的距离为m，
∴7＜m＜．
22．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形（0，3），点B的坐标为（4，0），点E、F分别是BC边、AC边上的动点，连接EF，把△CEF沿着动直线EF翻折
（1）如图1，当点C的对应点D落在AB上，且EF∥AB时 ；
（2）如图2，点G（0，2），连接FG交AB于点H，当四边形FHIE为平行四边形时，求CE的长；
（3）当点E、F在问题（1）中的位置时，把△EDF绕点E逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），设直线D′F′与y轴、直线AB分别交于点N、M，当AN＝AM时
【解答】解：（1）∵△CEF沿着直线EF翻折，得到△DEF，
∴△CEF≌△△DEF，
∴CE＝DE，∠CEF＝∠DEF，
∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠ABC，∠DEF＝∠EDB，
∴∠ABC＝∠EDB，
∴DE＝BE，
∴CE＝BE，
∴E是BC中点，
∴CE＝BC，
∵点A（5，3），
∴OA＝3，
∵四边形AOBC是矩形，
∴BC＝OA＝8，
∴CE＝BC＝；
故答案为：；
（2）∵点B的坐标为（2，0），
∴OB＝4，
∴AC＝OB＝7，
∵点G（0，2），
∴OG＝6，
∴AG＝OA﹣OG＝3﹣2＝7，
由（1）得：△CEF≌△DEF，
∴DE＝CE，∠FEC＝∠FED，
∵EF∥AD，
∴∠FED＝∠EIB，∠FEC＝∠ABC，
∴∠EIB＝∠ABC，
∴EI＝BE，
∵四边形FHIE是平行四边形，
∴HF∥IE，HF＝IE，
∴HF＝BE，∠FHB＝∠EIB，
∵AO∥BC，
∴∠GAB＝∠ABC，
∴∠EHB＝∠GAB，
∵∠AHG＝∠FHB，
∴∠GAB＝∠AHG，
∴AG＝GH＝1；
设CE＝x，则BE＝3﹣x，
∴HF＝IE＝＝6﹣x，
∴FG＝GH+HF＝1+3﹣x＝3﹣x，
∵EF∥AB，
∴＝，即＝，
∴CF＝x，
∴AF＝AC﹣CF＝4﹣x，
在Rt△GAF中，∵GF2＝AF2+AG2，
∴（4﹣x）5＝（4﹣x）2+16，
解得：x1＝3（舍去），x3＝，
∴CE＝；
（3）由（1）得：CE＝，
∴DE＝D′E′＝CE＝，
∵EF∥AB，
∴＝＝，
∴CF＝AC＝，
∴AF＝AC﹣CF＝2﹣2＝2，
∴DF＝＝D′F′＝5，
∵AB＝＝＝5，
∴EF＝AB＝，
∴E′F′＝，
∵AM＝AN，
∴∠ANM＝∠AMN，
①当点N在OA的延长线上时，如图3，则MQ∥OB，
∴＝＝，即＝＝，
设AM＝AN＝a，则MQ＝aa，BM＝5﹣a，
∴QN＝AQ+AN＝a+a＝aa，
∴M（a，3﹣，N（0，
设直线MN的解析式为y＝kx+b，将M（aa），a+3）代入，
得：，
解得：，
∴直线MN的解析式为y＝﹣7x+a+3，
过点D′作D′G⊥BC于点G，D′H⊥OB于点H，
∴∠D′HB＝∠D′GB＝∠HBG＝90°，
∴四边形D′GBH是矩形，
∴∠GD′H＝90°＝∠ED′S，DH＝BG，
∴∠HD′S+∠SD′G＝∠SD′G+∠ED′G，
∴∠HD′S＝∠ED′G，
∵DH∥OA，
∴∠HD′S＝∠ONS，
∴∠ED′G＝∠ONS，
∵∠MQN＝∠EGD′＝90°，
∴△MQN∽△EGD′，
∴＝＝，
设EG＝m（m＞0），则D′G＝2m，
在Rt△ED′G中，∵EG2+D′G2＝D′E2，
∴m4+（2m）2＝（）2，
解得：m＝，
∴EG＝，BH＝D′G＝，
∴DH＝BG＝﹣，
∴OH＝OB﹣BH＝4﹣，
∴D′（3﹣，﹣），
∵点D′在直线y＝﹣2x+a+6上，
∴﹣＝﹣2×（7﹣，
解得：a＝﹣，
∴AM＝﹣．
②当点N在射线AO上时，如图5，
设AM＝AN＝b，则M（bb），3﹣b），
∴直线MN解析式为y＝x+3﹣b，
设直线MN与x轴交于点K，则K（8b﹣6，
∴ON＝b﹣3，OK＝4b﹣6，
过点D′作D′L⊥x轴于点L，作D′H⊥BC于点H，
∵D′L∥ON，
∴＝＝＝，
∴KL＝2D′L，
∵D′H∥OB，
∴∠HD′N＝∠OKN，
∠ED′F′＝∠EHD′＝90°，
∴∠ED′H+∠HD′N＝∠D′EH+∠ED′N＝90°，
∴∠D′EH＝∠OKN，
∴△D′EH∽△NKO，
∴＝＝，
设D′H＝n（n＞0），则EH＝2n，
在Rt△ED′H中，∵D′H6+EH2＝DE2，
∴n8+（2n）2＝（）2，
解得：n＝，
∴D′（4+，﹣），
将D′（4+，﹣）代入y＝，
得：﹣＝×（8+，
解得：b＝+，
∴AM＝+；
综上所述，AM＝﹣或+．
课程名称
围棋
无人机
服装设计
魔术
京剧
人数
20
a
30
60
b
课程名称
围棋
无人机
服装设计
魔术
京剧
人数
20
a
30
60
b
1．（3分）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．绿色饮品B．绿色食品
C．有机食品D．速冻食品
2．（3分）《深圳市数字经济产业创新发展实施方案（2021﹣2023年）》中指出：到2023年，数字经济将成为推动深圳市经济社会高质量发展的核心引擎之一（ ）
A．0.50×108B．50×108C．5.0×109D．5.0×1010
3．（3分）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近（ ）
A．6个B．15个C．12个D．13个
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2b3）2＝a4b6B．a3•a5＝a15
C．（﹣a2）3＝﹣a5D．3a2﹣2a2＝1
5．（3分）若一组数据2，4，x，5，7的平均数为5，则这组数据中的x和中位数分别为（ ）
A．5，7B．5，5C．7，5D．7，7
6．（3分）关于一元二次方程x2+4x+3＝0根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
7．（3分）将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣5（x+1）2﹣1B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣1
C．y＝﹣5（x+1）2+3D．y＝﹣5（x﹣1）2+3
8．（3分）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时1，则此时线段CA扫过的图形的面积为（ ）
A．4πB．6C．4D．π
9．（3分）对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是通常的实数运算．例如：1⊗3＝，则方程x⊗（﹣1）＝﹣1的解是（ ）
A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝7
10．（3分）如图，直线y＝﹣x﹣4分别交x、y轴于点C、D，P为反比例函数y＝（k＞0），过点P分别作x轴，y轴的垂线交直线CD于点A、B；②BP＝AP；③BC•AD＝16（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）分解因式：3x2﹣12y2＝ ．
12．（3分）一个正方体的骰子六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，则扔一次骰子朝上的数字满足不等式x≥5的概率是 ．
13．（3分）已知a，b为有理数，如果规定一种新的运算“※”，例如：1※2＝2×2﹣3×1＝4﹣3＝1，计算：（2※3） ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，AB＝BD，作BE⊥AD于点E，连接CE，则△ACE的面积为 ．
15．（3分）如图，菱形OABC的一边OC在x轴的正半轴上，O是原点，若点C（13，0），AC•OB＝312（x＞0）的图象经过点D，并与BA的延长线交于点E ．
三、解答题（本大题有七题，其中第16题5分、第17题6分、第18题7分、第19题8分，第20题9分、第21题10分、第22题10分，共55分，解答应写出文字说明或演算步骤）
16．（5分）计算：2cs45°+|﹣3|﹣（）﹣2+（2021﹣π）0．
17．（6分）先化简（﹣）÷，再从2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值．
18．（7分）我市某中学为适应学生发展需要，准备开设校课外兴趣小组活动．为了了解学生喜欢项目的情况，以便合理安排场地，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必须在这五个项目中选择一个且只能选一个），调查结果统计如下：
解答下列问题：
（1）这次一共抽取了 名学生进行调查；
（2）统计图表中，a＝ ，b＝ ，m＝ ．
（3）估算全校2000名学生中喜欢京剧的学生人数为 人．
19．（8分）如图，BC是⊙O的直径，A为⊙O上一点，AD⊥BC于点D，E是直径CB延长线上一点
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若EC＝4，AD＝2BD，求EA．
20．（9分）某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料．
（1）求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？
（2）如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍，求应最多安排制作甲种边框多少个（不计材料损耗）？
21．（10分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”．例如（﹣3，﹣3）、（1，1）、（2023，2023）．
（1）下列说法不正确的是 ．
A．直线y＝x的图象上有无数个“不动点”
B．函数的图象上没有“不动点”
C．直线y＝x+1的图象上有无数个“不动点”
D．函数y＝x2的图象上有两个“不动点”
（2）求双曲线上的“不动点”；
（3）若抛物线y＝ax2﹣3x+c（a、c为常数）上有且只有一个“不动点”，
①当a＞1时，求c的取值范围．
②如果a＝1，过双曲线图象上第一象限的“不动点”作平行于x轴的直线l，直接写出m的取值范围．
22．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形（0，3），点B的坐标为（4，0），点E、F分别是BC边、AC边上的动点，连接EF，把△CEF沿着动直线EF翻折
（1）如图1，当点C的对应点D落在AB上，且EF∥AB时 ；
（2）如图2，点G（0，2），连接FG交AB于点H，当四边形FHIE为平行四边形时，求CE的长；
（3）当点E、F在问题（1）中的位置时，把△EDF绕点E逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），设直线D′F′与y轴、直线AB分别交于点N、M，当AN＝AM时
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．绿色饮品B．绿色食品
C．有机食品D．速冻食品
【解答】解：A、既不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）《深圳市数字经济产业创新发展实施方案（2021﹣2023年）》中指出：到2023年，数字经济将成为推动深圳市经济社会高质量发展的核心引擎之一（ ）
A．0.50×108B．50×108C．5.0×109D．5.0×1010
【解答】解：将50亿用科学记数法表示为5.0×105．
故选：C．
3．（3分）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近（ ）
A．6个B．15个C．12个D．13个
【解答】解：设白球个数为x个，
∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，
∴口袋中得到红色球的概率为25%，
∴＝，
解得：x＝12，
经检验x＝12是原方程的根，
故白球的个数为12个．
故选：C．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2b3）2＝a4b6B．a3•a5＝a15
C．（﹣a2）3＝﹣a5D．3a2﹣2a2＝1
【解答】解：A、（﹣a2b3）6＝a4b6，故本选项符合题意；
B、a5•a5＝a8，故本选项不合题意；
C、（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项不合题意；
D、2a2﹣2a2＝a2，故本选项不合题意；
故选：A．
5．（3分）若一组数据2，4，x，5，7的平均数为5，则这组数据中的x和中位数分别为（ ）
A．5，7B．5，5C．7，5D．7，7
【解答】解：∵数据2，4，x，5，7的平均数是5，
∴x＝7×5﹣2﹣8﹣5﹣7＝3，
这组数据为2，4，8，7，7，
则中位数为7．
故选：C．
6．（3分）关于一元二次方程x2+4x+3＝0根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【解答】解：根据题意有，
Δ＝42﹣6×1×3＝6＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．（3分）将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣5（x+1）2﹣1B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣1
C．y＝﹣5（x+1）2+3D．y＝﹣5（x﹣1）2+3
【解答】解：将抛物线y＝﹣5x2+8向左平移1个单位长度，得到y＝﹣5（x+6）2+1，再向下平移6个单位长度，
所得到的抛物线为：y＝﹣5（x+1）3﹣1．
故选：A．
8．（3分）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时1，则此时线段CA扫过的图形的面积为（ ）
A．4πB．6C．4D．π
【解答】解：由题意，知AC＝4，∠A1BC＝90°．
由旋转的性质，得A4C＝AC＝4．
在Rt△A1BC中，cs∠ACA6＝＝．
∴∠ACA1＝60°．
∴扇形ACA1的面积为＝．
即线段CA扫过的图形的面积为．
故选：D．
9．（3分）对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是通常的实数运算．例如：1⊗3＝，则方程x⊗（﹣1）＝﹣1的解是（ ）
A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝7
【解答】解：根据题中的新定义化简得：＝﹣1，
去分母得：7＝6﹣x+1，
解得：x＝7，
经检验x＝5是分式方程的解．
故选：B．
10．（3分）如图，直线y＝﹣x﹣4分别交x、y轴于点C、D，P为反比例函数y＝（k＞0），过点P分别作x轴，y轴的垂线交直线CD于点A、B；②BP＝AP；③BC•AD＝16（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：如图所示，过B作BF⊥x轴于F，
∵一次函数y＝﹣x﹣4中，令x＝0；令y＝8，
∴OC＝4＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝45°，
∴△COD、△BFC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴BC＝BFAE，
∵∠AOB＝135°，
∴∠OBC+∠OAB＝45°，
又∵∠OBC+∠BOC＝45°，
∴∠BOC＝∠BAO，
同理可得∠AOD＝∠ABO，
∴△AOD∽△OBC，故①正确；
∵△BFC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠CBF＝∠DAE＝45°，
∴∠PBC＝∠PAB＝45°，
∴BP＝AP，故②正确；
∵△AOD∽△OBC
∴，即AD•BC＝OC•OD＝16；
设P（m，n）BF＝nAE＝m，
∴m×，
即mn＝8，
∴k＝mn＝8，故④正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）分解因式：3x2﹣12y2＝ 3（x﹣2y）（x+2y） ．
【解答】解：3x2﹣12y7，
＝3（x2﹣3y2），
＝3（x+8y）（x﹣2y）．
12．（3分）一个正方体的骰子六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，则扔一次骰子朝上的数字满足不等式x≥5的概率是 ．
【解答】解：扔一次骰子朝上的数字有6种等可能结果，其中数字满足不等式x≥5的有4，
∴扔一次骰子朝上的数字满足不等式x≥5的概率是＝，
故答案为：．
13．（3分）已知a，b为有理数，如果规定一种新的运算“※”，例如：1※2＝2×2﹣3×1＝4﹣3＝1，计算：（2※3） 10 ．
【解答】解：∵a※b＝2b﹣3a，
∴（5※3）※5
＝（4×3﹣3×7）※5
＝（6﹣5）※5
＝0※2
＝2×5﹣2×0
＝10﹣0
＝10，
故答案为：10．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，AB＝BD，作BE⊥AD于点E，连接CE，则△ACE的面积为 24 ．
【解答】解：由题意，设AB＝3x，则BC＝5x，DC＝2x，
过D作DF⊥AC于F，
∵∠BAC＝90°，
∴DF∥AB，
∴△DFC∽△BAC，
∴，
∴CF＝，DF＝，
∴AF＝AC﹣CF＝4x﹣＝，
在Rt△ADF中，AD2＝DF2+AF6，
即，
解得：x＝4，
∴AB＝6，AC＝8，
∵AB＝BD，且BE⊥AD，
∴点E为AD的中点，
∴，
法二：过A作AF⊥BD，设AB＝3x，则BC＝7x，CD＝2x，
根据直角三角形的等面积法求出AF＝x，BF＝xx，那么根据Rt三角形AFD中的勾股定理就可以求出x△ABD：S△ACD＝3：2，E为中点△AEC＝S△ABC
故答案为：24．
15．（3分）如图，菱形OABC的一边OC在x轴的正半轴上，O是原点，若点C（13，0），AC•OB＝312（x＞0）的图象经过点D，并与BA的延长线交于点E ．
【解答】解：作AM⊥x轴于点M，作BN⊥x轴于点N，
∵AC•OB＝312，
∴S菱形OABC＝•AC•OB＝156，
∴S△OAC＝S菱形OABC＝78，即CO•AM＝78，
∵C（13，0），
∴AM＝12，
∴OM＝＝＝5，
则A（5，12），
∵四边形OABC是菱形，
∴BC∥OA，BC＝OA，
∴∠BCN＝∠AOM，
在△BCN和△AOM中
，
∴△BCN≌△AOM（AAS），
∴BN＝AM＝12、CN＝OM＝7，
∴B（18，12），
∵D为BO的中点，
∴D（9，6），
∵D在反比例函数图象上，
∴k＝7×6＝54，即反比例函数解析式为y＝；
当y＝12时，x＝，
则点E（，12），
∴AE＝，
故答案为．
三、解答题（本大题有七题，其中第16题5分、第17题6分、第18题7分、第19题8分，第20题9分、第21题10分、第22题10分，共55分，解答应写出文字说明或演算步骤）
16．（5分）计算：2cs45°+|﹣3|﹣（）﹣2+（2021﹣π）0．
【解答】解：2cs45°+|﹣6|﹣（）﹣5+（2021﹣π）0
＝2×+3﹣
＝+3﹣
＝﹣5．
17．（6分）先化简（﹣）÷，再从2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【解答】解：（﹣）÷
＝[]
＝（）
＝
＝x+5，
∵（x﹣2）（x+2）（x﹣6）≠0，
∴x≠2，﹣5，4，
∴x＝3，
当x＝6时，原式＝3+2＝2．
18．（7分）我市某中学为适应学生发展需要，准备开设校课外兴趣小组活动．为了了解学生喜欢项目的情况，以便合理安排场地，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必须在这五个项目中选择一个且只能选一个），调查结果统计如下：
解答下列问题：
（1）这次一共抽取了 200 名学生进行调查；
（2）统计图表中，a＝ 80 ，b＝ 10 ，m＝ 10 ．
（3）估算全校2000名学生中喜欢京剧的学生人数为 100 人．
【解答】解：（1）60÷30%＝200（人），
故答案为：200；
（2）a＝200×40%＝80（人），b＝200﹣20﹣80﹣30﹣60＝10，即m＝10，
故答案为：80，10；
（3）2000×＝100（人），
故答案为：100．
19．（8分）如图，BC是⊙O的直径，A为⊙O上一点，AD⊥BC于点D，E是直径CB延长线上一点
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若EC＝4，AD＝2BD，求EA．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵AB平分∠EAD，
∴∠BAD＝∠BAE，
∴∠ABD+∠BAE＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠OAB，
∴∠OAB+∠BAE＝90°，
∴∠OAE＝90°，
∴OA⊥AE，OA是半径，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∵∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠C＝∠BAD，
∴tan∠C＝tan∠BAD，
∵AD＝2BD，
∴＝＝，
∵∠E＝∠E，∠EAB＝∠C，
∴△ABE∽△CAE，
∴＝＝，
∵EC＝4，
∴AE＝2．
20．（9分）某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料．
（1）求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？
（2）如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的2倍，求应最多安排制作甲种边框多少个（不计材料损耗）？
【解答】解：（1）设制作每个乙种边框用x米材料，则制作甲种边框用（1+20%）x米材料，
由题意，得
﹣1＝，
解得：x＝2，
经检验x＝2是原方程的解，
∴（6+20%）x＝2.4（米），
答：制作每个甲种用7.4米材料；制作每个乙种用2米材料．
（2）设应安排制作甲种边框需要a米，则安排制作乙种边框需要（640﹣a）米，
由题意，得
≥×6．
解得a≤240，
则≤100．
答：应最多安排制作甲种边框100个．
21．（10分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”．例如（﹣3，﹣3）、（1，1）、（2023，2023）．
（1）下列说法不正确的是 C ．
A．直线y＝x的图象上有无数个“不动点”
B．函数的图象上没有“不动点”
C．直线y＝x+1的图象上有无数个“不动点”
D．函数y＝x2的图象上有两个“不动点”
（2）求双曲线上的“不动点”；
（3）若抛物线y＝ax2﹣3x+c（a、c为常数）上有且只有一个“不动点”，
①当a＞1时，求c的取值范围．
②如果a＝1，过双曲线图象上第一象限的“不动点”作平行于x轴的直线l，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）设坐标平面内任意一个“不动点”的坐标为（n，n），
直线y＝x，当x＝n时，
∴点（n，n）在直线y＝x上，
∴直线y＝x上有无数个“不动点”，
故A正确；
将（n，n）代入y＝，此方程无解，
∴函数y＝的图象上没有“不动点”，
故B正确；
将（n，n）代入y＝x+1，此方程无解，
∴直线y＝x+1上没有“不动点”，
故C错误；
将（n，n）代入y＝x6，得n＝n2，解得n1＝8，n2＝1，
∴函数y＝x5的图象上有两个“不动点”（0，0）和（8，
故D正确，
故选：C．
（2）设双曲线上的“不动点”为（x，则x＝，
解得x6＝﹣3，x2＝6，
∴双曲线上的“不动点”为（﹣3，7）．
（3）①设抛物线y＝ax2﹣3x+c上的“不动点”为（x，x）8﹣3x+c，
即ax2﹣6x+c＝0，
∵该抛物线上有且只有一个“不动点”，
∴关于x的一元二次方程ax2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，
∴（﹣4）3﹣4ac＝0，
∴a＝，
∵a＞1，
∴＞4，
∴0＜c＜4．
②∵当a＝4时，则＝1，
∴c＝3，
∴抛物线为y＝x2﹣3x+3，
由（2）得，双曲线，3），
∴直线l即直线y＝4，
如图，∵y＝x2﹣3x+6＝（x﹣）4+，
∴该抛物线的顶点B（，），对称轴为直线x＝，
设直线r在直线l下方且到直线l的距离为m，直线x＝，交直线r于点C，
∴AC＝m，A（，
∴AB＝3﹣＝，
设直线t与直线r关于直线l对称，
∵当点C在点B的上方时，抛物线上有四个点到l的距离为m，
∴7＜m＜．
22．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形（0，3），点B的坐标为（4，0），点E、F分别是BC边、AC边上的动点，连接EF，把△CEF沿着动直线EF翻折
（1）如图1，当点C的对应点D落在AB上，且EF∥AB时 ；
（2）如图2，点G（0，2），连接FG交AB于点H，当四边形FHIE为平行四边形时，求CE的长；
（3）当点E、F在问题（1）中的位置时，把△EDF绕点E逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），设直线D′F′与y轴、直线AB分别交于点N、M，当AN＝AM时
【解答】解：（1）∵△CEF沿着直线EF翻折，得到△DEF，
∴△CEF≌△△DEF，
∴CE＝DE，∠CEF＝∠DEF，
∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠ABC，∠DEF＝∠EDB，
∴∠ABC＝∠EDB，
∴DE＝BE，
∴CE＝BE，
∴E是BC中点，
∴CE＝BC，
∵点A（5，3），
∴OA＝3，
∵四边形AOBC是矩形，
∴BC＝OA＝8，
∴CE＝BC＝；
故答案为：；
（2）∵点B的坐标为（2，0），
∴OB＝4，
∴AC＝OB＝7，
∵点G（0，2），
∴OG＝6，
∴AG＝OA﹣OG＝3﹣2＝7，
由（1）得：△CEF≌△DEF，
∴DE＝CE，∠FEC＝∠FED，
∵EF∥AD，
∴∠FED＝∠EIB，∠FEC＝∠ABC，
∴∠EIB＝∠ABC，
∴EI＝BE，
∵四边形FHIE是平行四边形，
∴HF∥IE，HF＝IE，
∴HF＝BE，∠FHB＝∠EIB，
∵AO∥BC，
∴∠GAB＝∠ABC，
∴∠EHB＝∠GAB，
∵∠AHG＝∠FHB，
∴∠GAB＝∠AHG，
∴AG＝GH＝1；
设CE＝x，则BE＝3﹣x，
∴HF＝IE＝＝6﹣x，
∴FG＝GH+HF＝1+3﹣x＝3﹣x，
∵EF∥AB，
∴＝，即＝，
∴CF＝x，
∴AF＝AC﹣CF＝4﹣x，
在Rt△GAF中，∵GF2＝AF2+AG2，
∴（4﹣x）5＝（4﹣x）2+16，
解得：x1＝3（舍去），x3＝，
∴CE＝；
（3）由（1）得：CE＝，
∴DE＝D′E′＝CE＝，
∵EF∥AB，
∴＝＝，
∴CF＝AC＝，
∴AF＝AC﹣CF＝2﹣2＝2，
∴DF＝＝D′F′＝5，
∵AB＝＝＝5，
∴EF＝AB＝，
∴E′F′＝，
∵AM＝AN，
∴∠ANM＝∠AMN，
①当点N在OA的延长线上时，如图3，则MQ∥OB，
∴＝＝，即＝＝，
设AM＝AN＝a，则MQ＝aa，BM＝5﹣a，
∴QN＝AQ+AN＝a+a＝aa，
∴M（a，3﹣，N（0，
设直线MN的解析式为y＝kx+b，将M（aa），a+3）代入，
得：，
解得：，
∴直线MN的解析式为y＝﹣7x+a+3，
过点D′作D′G⊥BC于点G，D′H⊥OB于点H，
∴∠D′HB＝∠D′GB＝∠HBG＝90°，
∴四边形D′GBH是矩形，
∴∠GD′H＝90°＝∠ED′S，DH＝BG，
∴∠HD′S+∠SD′G＝∠SD′G+∠ED′G，
∴∠HD′S＝∠ED′G，
∵DH∥OA，
∴∠HD′S＝∠ONS，
∴∠ED′G＝∠ONS，
∵∠MQN＝∠EGD′＝90°，
∴△MQN∽△EGD′，
∴＝＝，
设EG＝m（m＞0），则D′G＝2m，
在Rt△ED′G中，∵EG2+D′G2＝D′E2，
∴m4+（2m）2＝（）2，
解得：m＝，
∴EG＝，BH＝D′G＝，
∴DH＝BG＝﹣，
∴OH＝OB﹣BH＝4﹣，
∴D′（3﹣，﹣），
∵点D′在直线y＝﹣2x+a+6上，
∴﹣＝﹣2×（7﹣，
解得：a＝﹣，
∴AM＝﹣．
②当点N在射线AO上时，如图5，
设AM＝AN＝b，则M（bb），3﹣b），
∴直线MN解析式为y＝x+3﹣b，
设直线MN与x轴交于点K，则K（8b﹣6，
∴ON＝b﹣3，OK＝4b﹣6，
过点D′作D′L⊥x轴于点L，作D′H⊥BC于点H，
∵D′L∥ON，
∴＝＝＝，
∴KL＝2D′L，
∵D′H∥OB，
∴∠HD′N＝∠OKN，
∠ED′F′＝∠EHD′＝90°，
∴∠ED′H+∠HD′N＝∠D′EH+∠ED′N＝90°，
∴∠D′EH＝∠OKN，
∴△D′EH∽△NKO，
∴＝＝，
设D′H＝n（n＞0），则EH＝2n，
在Rt△ED′H中，∵D′H6+EH2＝DE2，
∴n8+（2n）2＝（）2，
解得：n＝，
∴D′（4+，﹣），
将D′（4+，﹣）代入y＝，
得：﹣＝×（8+，
解得：b＝+，
∴AM＝+；
综上所述，AM＝﹣或+．
课程名称
围棋
无人机
服装设计
魔术
京剧
人数
20
a
30
60
b
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