山东省滕州市第一中学2023-2024学年高一下学期3月单元过关考试（月考）数学试卷

这是一份山东省滕州市第一中学2023-2024学年高一下学期3月单元过关考试（月考）数学试卷，共8页。试卷主要包含了已知，则与平行的单位向量为，中，角所对的边分别为，若则，设是复数，则下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。
考试时间：3月
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，则与平行的单位向量为（ ）
A. B.或
C.或 D.
2.在平行四边形中，为一条对角线，若，则（ ）
A. B. C. D.
3.若为复数，则“是实数”是“互为共轭复数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则图形的周长是（ ）
A. B. C. D.
5.中，角所对的边分别为，若则（ ）
A. B. C. D.
6.正方形的边长为是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点为平面内一点，且满足，则的最小值为（ ）
A. B. C.-2 D.
7.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则（ ）
A.1 B.2 C. D.3
8.如图所示，在单位正方体的面对角线上存在一点使得取得最小值，则此最小值为（ ）
A.2 B. C. D.
二､多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分每选对1项得2分.
9.设是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A.若，则或
B.若且，则
C.若，则
D.若，则
10.已知的内角所对的边分别为，下列说法正确的是（ ）
A.若，则是钝角三角形
B.若，则
C.若，则是锐角三角形
D.若，则只有一解
11.在给出的下列命题中，正确的是（ ）
A.设是同一平面上的四个点，若，则点必共线
B.若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的
C.已知平面向量满足则为等腰三角形
D.已知平面向量满足，且，则是等边三角形
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在中，若，则__________.
13.在中，的角平分线交于，则__________.
14.已知球的两个平行截面的面积分别为和，球的半径为10，则这两个平行截面之间的距离为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知，
（1）当为何值时，与共线，
（2）若且三点共线，求的值.
16.（15分）已知复数为纯虚数，且为实数.
（1）求复数；
（2）设，若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.
17.（15分）在中，内角的对边分别为.
（1）若，证明：；
（2）若，求周长的最大值.
18.（17分）经过的重心的直线与分别交于点，设，.
（1）证明：为定值；
（2）求的最小值.
19.（17分）在Rt中，内角的对边分别为.已知.
（1）求角；
（2）已知，点是边上的两个动点（不重合），记.
①当时，设的面积为，求的最小值：
②记.问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由.
2023-2024学年第二学期3月单元过关考试
高一数学
考试时间：3月
一､单项选择题：
1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.B 8.D.
二､多选题
9.ABC 10.ABD 11.ACD
三､填空题
12. 13. 14.或17
四､解答题：
15.解：（1），
.
与共线，
，
即，得.
（2）三点共线，
，
即，
解得.
16.解析（1）设且，
则.
为实数，
，即.
（2）由（1）及已知得，故，
在复平面内对应的点位于第三象限，且，解得.
又，
，
，即的取值范围是.
17.【答案】（1）证明见解析
（2）6
【解析】（1）证明：由余弦定理知和，
得，
又，则，
结合正弦定理得，
；
（2）由（1）知，又，
故，即，
，所以，
则，故，当且仅当，即时取等号，
故，即周长的最大值为6.
18.（1）证明设.
由题意知
，
，
，
由三点共线得，
存在实数，使得，
即，
从而
消去得.
（2）解由（1）知，，
于是
.
当且仅当时，取得最小值，最小值为.
19.【答案】（1）（2）①；②存在，
【解析】（1）因为，所以由正弦定理可得，
所以，
所以，所以，
因为，
所以或或，
即或（舍去）或（舍去），又，所以；
（2）①因为，所以，又，所以.
如图，设，
则在中，由正弦定理，得，
所以
在中，由正弦定理，得，所以，
，
因为，所以，
故当，即时，；
②假设存在实常数，对于所有满足题意的，都有成立，
则存在实常数，对于所有满足题意的，
都有，
由题意，是定值，所以是定值，
对于所有满足题意的成立，
故有
因为，从而，即，
因为为的内角，所以，从而.
【点睛】关键点睛：含参数的等式恒成立问题，只需通过参数整理，此题的关键是得到
，则，变量多，技巧性较强.