中考数学一轮复习课件 第2章 方程与不等式第7课一元二次方程(含答案)
展开1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0): (1)常用的解法:配方法、因式分解法、公式法. (2)求根公式:____________________ .
2.b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式:(1)当b2-4ac>0时,方程有两个不等的实数根.(2)当b2-4ac=0时,方程____________________. (3)当b2-4ac<0时,方程________________.(4)当方程有两个实数根时,b2-4ac与0大小比较:__________.
3.方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1,x2,则
【例1】解下列方程:(1)4x2-2x-1=0; (2)(x+4)2=2x+8.
【考点1】解一元二次方程
解:(1) 提示:用求根公式法求解.(2)方法一:方程化为一般形式,得x2+6x+8=0. 配方得(x+3)2=1.开方得x+3=±1. 解得x1=-2, x2=-4. 方法二:用因式分解法求解.方程变形为(x+4)2=2(x+4). 移项,得(x+4)2-2(x+4)=0. 方程左边分解因式得(x+4)(x+4-2)=0. 解得x1=-2, x2=-4.
【变式1】解下列方程: (x+1)2-5(x+1)=0.
解:x1=-1 ,x2=4. 提示:用因式分解法求解.
【考点2】一元二次方程根的判别式
【例2】如果一元二次方程mx2-4x+1=0有两个不等的实数根,求m的取值范围.
解:方程有两个不相等的实数根, ∴(-4)2-4m>0,即-4m>-16. 解得m<4. 又∵二次项系数m≠0. ∴m的取值范围是m<4且m≠0.
【变式2】关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m2,m为实数.求证:该方程有两个不等的实数根.
解:方程化为一般形式x2-5x+(6-m2)=0, 根的判别式=(-5)2-4(6-m2)=1+4m2, ∵m为实数,∴1+4m2>0, ∴方程有两个不等的实数根.
【考点3】一元二次方程根与系数关系
【例3】关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数根是x1和x2.(1)求k的取值范围;(2)如果x1+x2-x1x2<-1且k为整数,求k的值.
解:(1)方程有实数根,∴根的判别式=22-4(k+1)≥0, 解得 k≤0. ∴k的取值范围是k≤0 (2)根据一元二次方程根与系数的关系, 得x1+x2=-2 , x1x2=k+1. ∴x1+x2-x1x2=-2-(k+1), 由已知,得-2-(k+1)<-1,解得k>-2. 由(1),得方程有两个实数根,则k≤0,∴-2<k≤0, ∵ k为整数,∴k的值为-1和0.
【变式3】已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个根为2, 求m的值和另一个根.
解:m=1,另一根x1=-3.方法一,把x=2代入方程,求出m的值,再利用两根和 或两根积的关系求出另一根;方法二,利用两根积的关系求出另一个根,再利用两根 和的关系或方程根的定义求m的值.
1. 一元二次方程x2-x+2=0的根的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.无实数根 C.有两个不等的实数根 D.无法确定
3.若x1,x2是方程x2+x-1=0的两根,则x1+x2的值为________,x1x2的值为__________.
2.关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根,则k的取值范围是__________.
4.解方程: (1)x2=2x; (2)2y2+2y-1=0; (3)(x-1)(x+2)=2(x+2).
解: x1=-2,x2=3. 提示:用因式分解法求解.
解: 提示:用求根公式法求解.
解: x1=0, x2=2 提示:用因式分解法求解.
5.若a,b是方程x2-5x+2=0的两个根.求下列各式的值: (1)ab2+a2b; (2) (3)(a+1)(b+1); (4)a2+b2.
解:由根与系数关系得a+b=5, ab=2. (1)ab2+a2b=ab(a+b)=2×5=10. (2) (3) (a+1)(b+1)=ab+a+b+1=2+5+1=8. (4)a2+b2=(a2+b2+2ab)-2ab=(a+b)2-2ab =52-2×2=21.
6.已知关于x的一元二次方程x2+(k+1)x-3=0.(1)求证:该方程一定有两个不等的实数根;(2)若方程的一根为2,求方程的另一根.
(1)证明:根的判别式=(k+1)2-4×(-3) =(k+1)2+12>0, 所以方程一定有两个不等的实数根.(2)解:设方程的另一根为x1,则2x1=-3. 解得 . 所以另一根为 .
7.已知关于x的一元二次方程mx2-(2m+1)x+m-1=0.(1)若方程有两个实数根,求m的取值范围;(2)若3是方程的一个根,求m的值和另一个根.
解:(1)方程根的判别式=(2m+1)2-4m(m-1)=8m+1, ∵方程有两个实数根,∴8m+1≥0,解得 , 又∵m≠0,∴m的取值范围是 且m≠0. (2)把x=3代入方程,得9m-3(2m+1)+m-1=0, 解得m=1. 所以把m=1代入原方程,得x2-3x=0, 设另一根为x1, 则根据根与系数关系得3x1=0. 解得x1=0. 所以m的值为1,方程的另一根为0.
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