2024年江西省九江市修水县中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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2．请将答案写在答题卡上，否则不给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18 分．每小题只有一个正确选项）
1. 将一元二次方程化成一般形式后，若二次项的系数是3，则一次项的系数是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；根据题意化为一般形式，进而即可求解．
【详解】解：
即
∴一次项系数是
故选：C．
2. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）

A. 当，平行四边形是矩形
B. 当，平行四边形是矩形
C. 当，平行四边形是菱形
D. 当，平行四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查菱形，矩形的判定，根据菱形，矩形的判定逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
当，平行四边形是矩形，正确，不符合题意，
当，平行四边形矩形，正确，不符合题意，
当，平行四边形是菱形，正确，不符合题意，
当，平行四边形是菱形，得不到正方形，错误，符合题意，
故选：D．
3. 某物体如图所示，其俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据俯视图的意义判断即可．
【详解】 的俯视图是
．
故选B．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，正确理解俯视图是解题的关键．
4. 下列说法中正确的是（ ）
A. 两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例
B. 对于反比例函数y随x的增大而减小
C. 关于x的方程 是一元二次方程
D. 正方形的每一条对角线平分一组对角
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例的性质、反比例函数的性质、一元二次方程的定义和正方形的性质．分别根据平行线分线段成比例的性质、反比例函数的性质、一元二次方程的定义和正方形的性质判断即可．
【详解】解：A、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，原说法错误，不符合题意；
B、对于反比例函数在每个象限内y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意；
C、关于x的方程 是一元二次方程，原说法错误，不符合题意；
D、正方形的每一条对角线平分一组对角，原说法正确，符合题意；
故选：D．
5. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A. 只有甲B. 丙和丁C. 甲和丁D. 乙和丙
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了把二次函数一般解析式化成顶点式，以及二次函数顶点式的图象和性质，观察每一项的变化，发现甲将老师给的式子等式右边缩小两倍，到了丁处根据丙的式子得出了错误的顶点坐标．
【详解】解：老师：，
可得顶点坐标为．
根据题中过程可知从甲开始出错，按照此步骤下去到了丁处可得顶点应为，所以错误的只有甲和丁．
故选：C．
6. 如图，半径为的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，证明四边形是正方形，进而得出，，然后根据扇形面积公式即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵，，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴图中阴影部分面积，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，求扇形面积，证明四边形是正方形是解题的关键．
二、填空题(本大题共6 小题，每小题3分，共18分)
7. 已知，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
【详解】解：，
．
故答案为：．
8. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有______．
【答案】
【解析】
【分析】利用频率估计概率得到摸到白球的概率为，然后根据概率公式计算出黄球，再求白球即可．
【详解】解：设袋子中白球有个，
根据题意，得：
，
解得：，
则，
即布袋中白球可能有个，
故答案为．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
9. 已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据该方程一个根为，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意可得：，
∴，
∵该方程一个根为，令，
∴，解得：．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程有两根为，，则，．
10. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示：
∵，
∴，
由题意得：，
在中，
，
∴，
即水的最大深度为，
故答案为：．
11. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴，，将沿所在的直线翻折后，点B落在点C处，且轴，反比例函数的图象经过点C，则k的值为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查翻折的性质、反比例函数的性质以及勾股定理，延长交x轴于点D，则，设，则，由翻折的性质得，，利用勾股定理求得，得到点C的坐标为，结合点C在反比例函数图象上，可求得，进一步求得，在中利用勾股定理求得a，即可求得答案．
【详解】解：延长交x轴于点D，如图所示：

设，则，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
由翻折的性质得：，，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴点C的坐标为，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
在中，，，，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，或（不合题意，舍去），
∴．
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，长方形ABCD按如图所示放置，O是AD的中点，且A、B、C的坐标分别为(5，0)，(5，4)，(－5，4)，点P是BC上的动点，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则点P的坐标为_______．
【答案】(－2，4)或(3，4)或(－3，4)
【解析】
【分析】先根据题意得到OD=OA=5，CD=4，然后分当时和当时进行讨论求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，A、B、C的坐标分别为(5，0)，(5，4)，(－5，4)，
∴OD=OA=5，CD=4，
如图所示，当时，过点作轴于E，
∴，
∴，
∴的坐标为（-3，4），
同理可求出的坐标为（3，4）；
如图所示，当时，设CD与y轴交于F，则CF=5，OF=4，
，
∴，
∴的坐标为（-2，4），
综上所述，点P的坐标为(－2，4)或(3，4)或(－3，4)，
故答案为：(－2，4)或(3，4)或(－3，4)．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的定义．
三、（本大题共5 小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：
（2）如图，为 的直径，C，D 是上的两点，且，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了实数混合运算，圆心角，弦，弧间的关系，平行线的性质，等腰三角形性质，熟练掌握各个性质是解答本题的关键．
（1）根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角三角函数，计算各项，再算加减法即可；
（2）利用平行线性质得到，，根据等边对等角得到，通过等量代换得，最后根据等角对等弧得证．
【详解】解：（1）原式；
（2）证明：，
，，
，
，
，
．
14. 如图，AE平分，D为AE上一点，．
（1）求证：；
（2）若D为AE中点，，求CD的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）CD的长为2．
【解析】
【分析】（1）由角平分线的定义可得，根据相似三角形的判定定理即可证明；
（2）由中点的定义可得，再由（1）中结论相似三角形的性质即可得．
【详解】解：（1）证明∵AE平分，
∴，
在与中，
∵，
，
∴；
（2）∵D为AE中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴CD的长为2．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，角平分线和线段中点的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
15. 已知抛物线与y轴交于点，它的顶点M，对称轴是直线．求此抛物线的表达式及点M的坐标．
【答案】；顶点．
【解析】
【分析】根据抛物线上点的坐标特征得到，再根据对称轴得到，即可求出此抛物线的表达式，然后将其化为顶点式，即可得到顶点M的坐标．
【详解】抛物线与y轴交于点，
，
对称轴是直线，
，
，
抛物线的表达式为，
，
顶点．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式抛物线上点的坐标特征，对称轴，顶点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
16. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”）
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
【答案】（1）随机 （2）
【解析】
【分析】（1）由确定事件与随机事件的概念可得答案；
（2）先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件；
【小问2详解】
画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为2，
所以选中两名同学恰好是甲，丁的概率．
【点睛】本题考查的是事件的含义，利用画树状图求解随机事件的概率，熟记事件的概念与分类以及画树状图的方法是解本题的关键．
17. 仅用无刻度的直尺，按要求画图(保留画图痕迹，不写作法)
(1)如图①，画出的一个内接矩形.
(2)如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形.
【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解.
【解析】
【分析】（1）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，画出圆的两条直径，即可得到⊙O的一个内接矩形；
【详解】（2）根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与AB互相垂直，即可得到⊙O的内接正方形．
解：（1）如图所示，过O作⊙O的直径AC与BD，连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD即为所求；
（2）如图所示，延长AC，BD交于点E，连接AD，BC交于点F，连接EF并延长交⊙O于G，H，连接AH，HB，BG，GA，则四边形AHBG即为所求．
【点睛】本题主要考查了复杂作图以及圆的性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
四、（本大题共3 小题，每小题8分，共24分）
18. 已知一个矩形的面积为6，长为x，宽为y．
（1）y与x之间的函数表达式为 ；
（2）在图中画出该函数的图象；
列表：
上面表格中m的值是 ；
描点：在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点；
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到该函数的图象．
（3）若点与点是该函数图象上的两点，试比较和的大小．
【答案】（1）
（2），画图见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数解析式，图象的画法以及性质，解决本题的关键是熟练掌握这些知识点并能灵活运用．
（1）利用矩形的面积公式可以得到与之间的函数关系式；
（2）将代入到（1）中的解析式即可得到答案；然后按照描点，再用光滑的曲线顺次连接即可画出图象；
（3）根据反比例函数的单调性即可得到答案．
【小问1详解】
根据题意得：，
所以，
则与之间函数表达式为．
故答案为：．
【小问2详解】
【小问3详解】
由图象可知，在第一象限内随着的增大而减小，
，
．
19. 2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是万件．
（1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价元，每天可多售出2件，为了推广宜传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）
（2）元．
【解析】
【分析】(1)设月平均增长率是，利用月份的销售量月份的销售量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低的钱数．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键
【小问1详解】
解：设月平均增长率是，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：月平均增长率是．
【小问2详解】
解：设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得： ，
整理得：，
解得：，．
又要尽量减少库存，
．
答：售价应降低元．
20. 图1为放在水平地面上的落地式话筒架实物图．图2为其示意图，支撑杆垂直于地面，，斜杆连接在支撑杆顶端处，，其中的长度可通过斜杆的滑动来进行调节，斜杆还可以绕着点旋转，且与支撑杆的夹角为．
（1）当时，求话筒到地面的高度；
（2）落地式话筒可以根据使用者的身高需要调节的长度和夹角的度数，某运动员使用落地式话筒的适合高度是，请问该话筒的高度能否满足这名运动员的需要，并说明理由．（参考数据：）
【答案】（1）
（2）该话筒的高度能满足这名运动员的需要，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键；
（1）过点作，于点，得出，进而根据筒到地面的高度为，即可求解；
（2）依题意，当，点重合时，，点离地面最高，此时如图所示，过点作，于点，进而根据（1）的方法，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，过点作，于点，
∵
∴,
又，
∴筒到地面的高度为；
【小问2详解】
解：依题意，当，点重合时，，点离地面最高，
此时如图所示，过点作，于点，
∴
∴
∴筒到地面的高度为
∵某运动员使用落地式话筒的适合高度是，
∴该话筒的高度能满足这名运动员的需要．
五、（本大题共2 小题，每小题9分，共18 分）
21. 课本改编
（1）如图1，四边形为的内接四边形，为的直径，则 度， 度．
（2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2，求证：圆内接四边形的对角互补．
知识运用
（3）如图3，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点 D，E，F 是线段的中点，连接，求证：是的切线．
【答案】（1）90，180；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理、切线的判定、圆内接四边形性质等知识，熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键.
（1）利用圆周角定理及四边形内角和进行解答即可；
（2）连接并延长，交于点E，连接根据（1）的 结论进行证明即可；
（3）证明，由四边形是圆内接四边形，进一步得到，，又由是的半径，即可证明结论．
【详解】（1）∵四边形为的内接四边形，为的直径，
∴度，
∵
∴
故答案为：90，180
(2)证明：如图，连接并延长，交于点E，连接
由(1)可知，，，
，
，
即圆内接四边形的对角互补
（3）证明:连接，如图所示.
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
是线段的中点，
是的半径，
是的切线
22. 如图1，、、、为矩形四个顶点，，．动点、分别从点、出发，点以的速度沿边向点移动，点以的速度沿边向点移动，点移动到点时，两点同时停止移动．以为边作正方形，点出发时，正方形的面积为．已知与的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）自变量的取值范围是_______；
（2）______，_______，________；
（3）出发多少秒时，正方形的面积为？
【答案】（1）
（2） ①. 3 ②. 2 ③. 25
（3）出发或秒时，正方形的面积为
【解析】
【分析】本题考查动点问题，涉及图形的面积，勾股定理，函数的最值．
（1）自变量的取值范围是点从点到点的运动时间，由时间距离速度，即可求；
（2）由图2知，正方形的面积的最小值是9，而正方形的面积最小时，根据两平行线间垂直线段最短的性质，得,当正方形的面积最小时，由和得，分别为的中点，即；当正方形的面积最大时，等于矩形的对角线，根据勾股定理，它为5，即；
（3）求出正方形的面积关于的函数关系式，即可求得出发或秒时，正方形的面积为．
【小问1详解】
，速度为
运动完的时间为
故自变量的取值范围为；
【小问2详解】
由图2知，正方形的面积的最小值是9，
根据两平行线间垂直线段最短的性质，得；
正方形的面积最小时，由和得，
分别为的中点，即；
当正方形的面积最大时，等于矩形的对角线，根据勾股定理，它为5，即；
【小问3详解】
过点作垂足为点,则四边形为矩形
∴，
∵
∴
在中，
∵是以为边长的正方形的面积
∴
当时，
解得
∴出发或秒时，正方形的面积为．
六、（本大题共12 分）
23. 【特例感知】如图1，点 是正方形 ABCD 对角线AC上一点，于点 ，于点
（1）求证：四边形是正方形．
（2） ；
【规律探究】将正方形 绕点A 旋转得到图2，连接 ，，
（3） 的比值是否会发生变化? 请说明理由．
【拓展应用】
如图3，在图2 的基础上，，，分别是 ，，的中点．
（4）求证：四边形． 是正方形．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）不变，理由见解析；（4）见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质和判定即可；
（2）根据正方形的性质求解即可；
（3）过作于点，过作交于点，证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，再根据性质证明是等腰直角三角形即可；
（4）根据正方形的性质和判定即可；
【详解】（1）四边形是正方形，
，平分，
，，
，
,四边形是矩形，
四边形是正方形；
（2）由（1）得：四边形是正方形，
四边形是正方形，
设正方形的边长为，正方形的边长为，
，，
，
，
故答案为：；
（3）不变，理由：
四边形是正方形，四边形是正方形，
，，
，
，
，
过作于点，过作交于点，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
易得：，
，，
，即是等腰直角三角形，
，
；
（4）四边形是正方形，理由：
由（3）得，
，
点，，分别是，，的中点，
，
，
，
，
四边形是正方形．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
x
…
1
2
3
4
6
…
y
…
6
3
m
1.5
1
…