重庆市丰都县2024届九年级上学期1月期末数学试卷(含解析)

这是一份重庆市丰都县2024届九年级上学期1月期末数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了下列事件中，是必然事件的是，估计的值应在，如图，是直径，若，则的度数是等内容，欢迎下载使用。
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．试卷的答案书写在答题卡（卷）上，不得在试卷上直接作答．
2．作答前认真阅读答题卡（卷）上的注意事项．
3．考试结束后，由监考人员将试题的答题卡（卷）收回．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号对应的正确答案的方框涂黑．
1．的倒数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列交通标志是中心对称图形的是（ ）
A． B． C．D．
3．如图是丰都一天（凌晨0时到深夜24时）的气温变化图，在这一天中，气温随着时间变化而变化，下列结论错误的是（ ）
A．在这一天中，气温在14时达到最高，最高温度是
B．凌晨2时气温达到最低
C．6时到12时，气温在逐渐上升
D．某旅行团这天想去爬山，登山的气温最好在以上，大约共有9个小时适宜登山
4．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．某校共名学生，则其中至少有两人在同一天过生日
B．某种彩票中奖的概率是，则买张该种彩票一定会中奖
C．丰都明天会下雨
D．如果，那么
5．估计的值应在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
6．如图，是直径，若，则的度数是（ ）．

A．B．C．D．
7．某夫妻计划生两个孩子，则两个都是男孩的概率是（ ）
A．B．C．D．1
8．关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口方向向下
B．当时，函数有最大值
C．当时，随的增大而减小
D．该抛物线可由经过平移得到
9．在“两学一做”活动中，某社区居民在一幅长，宽的矩形宣传画的四周加上宽度相同的边框，制成一幅挂图（如图），如果宣传画的面积占这个挂图面积的，所加边框的宽度为，则根据题意列出的方程是（ ）
A．B．
C．D．
10．对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算”．例如，对于1，2，3进行“绝对运算”，得到
①对1，3，5，8进行“绝对运算”的结果为23
②对x，，4进行“绝对运算”的结果为M，则M的最小值是12
③对a、b、c、c进行“绝对运算”，化简的结果可能存在6种不同的代数式以上说法正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
11．计算： ．
12．一元二次方程的根是 ．
13．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
14．当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为 cm．
15．从，1，2这三个数中随机抽取两个数分别记为x，y，把点M的坐标记为，则点M（x，y）在抛物线上的概率为 ．
16．如图，在矩形中，连接，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，已知，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
17．分式方程的解为非负数，且二次函数的图象在轴上方，则符合条件的所有整数的和为 ．
18．若一个三位自然的各个数位上的数字均不相同，且后一位减去前一位的差都是一个固定的常数，则称这个三位自然数为“等差数”．并且这个固定的常数为这个“等差数”的公差，如：123，，则123为．“等差数”，这个数的公差为1；如：321，，则321也是等差数，这个等差数的公差为；125，，则125不是等差数．能被9整除并且公差为正整数的最大三位“等差数”为 ．
三、解答题（本大题8个小题，第19小题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．解方程：
(1)；
(2)．
20．学了圆的切线这节内容后，小强设计了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．请根据他的思路完成以下作图及填空：
已知：如图，及外任意一点P．求作：过点P的的切线．
作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点M；
②以M为圆心，以为半径画圆，交于A，B两点；
③连接，直线即为圆的切线；
(1)尺规作图：在图中，使用直尺和圆规，按上述作法作图（保留作图痕迹）；
(2)将下面的证明过程补充完整．
求证：是的切线
证明：连接
∵为的直径，
∴①______（直径所对的②______）（填写推理依据）
∴．
又∵是的半径，
∴是的切线（经过半径外端与半径③______的直线是圆的切线）
21．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)画出绕点C按顺时针方向旋转后的；
(2)写出旋转后点和点的坐标；
(3)求点A旋转到点所经过的路线长（结果保留）．
22．为了解学生参加学校社团活动的情况，对报名参加：篮球，：舞蹈，：书法，：田径，：绘画这五项活动的学生（每人必选且只能参加一项）中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据所给的信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有______人，并把条形统计图补充完整；
(2)若该校共有名学生参加社团活动，请你估计这名学生中约有多少人参加书法社团；
(3)在田径社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人的平均成绩突出，现决定从他们中任选两名参加县级运动会．用树状图或列表的方法求恰好选中甲、乙两位同学参加的概率．
23．春节将至，某商场销售过年大礼包，经统计，月份销售了个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同．
(1)求该大礼包月份到月份销售量的月增长率；
(2)若此种大礼包的进价为元个，经测算，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到万元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该大礼包的实际售价应定为多少元个？
24．如图，正方形边长为，动点，均以每秒个单位长度的速度同时从点出发，沿折线方向运动，沿折线方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动的时间为秒，点，的距离为．
(1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出点，相距个单位长度时的值．
25．如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是上方抛物线上的一个动点（不与，重合），求的最大值以及此时点的坐标；
(3)判断在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出P点的坐标，如果不存在，说明理由．
26．如图，已知菱形边长为，是对角线，把一个含（的三角尺与这个菱形叠合；如果使三角尺（的顶点与点重合，两边分别与、重合．将三角尺绕点按逆时针方向旋转（旋转角小于）．旋转过程中三角尺的两边与菱形的两边、相交于点、．

(1)、有何数量关系，并证明你的结论．
(2)连接，求面积的最大值．
(3)连接，在旋转过程中三角尺的两边分别与相交于点、，是否存在以、、为边的直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．

参考答案与解析
1．C
解析：解：的倒数是，
故选：．
2．D
解析：解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选D．
3．B
解析：解：A．在这一天中，气温在14时达到最高，最高温度是，故本选项不符合题意；
B．由图象可知，24时气温达到最低，故本选项符合题意；
C．由图象可知，6时到12时，气温在逐渐上升，故本选项不符合题意；
D．由图象可知，9时到18时，气温在以上，所以某旅行团这天想去爬山，登山的气温最好在以上，大约共有9个小时适宜登山，故本选项不合题意．
故选：B．
4．A
解析：、某校共名学生，则其中至少有两人在同一天过生日，是必然事件，此选项符合题意；
、某种彩票中奖的概率是，则买张该种彩票一定会中奖，是随机事件，此选项不符合题意；
、丰都明天会下雨是随机事件，此选项不符合题意；
、如果，那么或，是随机事件，此选项不符合题意；
故选：．
5．C
解析：解：原式=
∵16＜18＜25，
∴，
∴，
∴，
即，
故选：．
6．B
解析：解：∵，，
∴，
∴，
故选：．
7．A
解析：画树状图得：
∵共有种等可能的结果，两个都是男孩的有种情况，
∴两个都是男孩的概率是：，
故选：．
8．B
解析：、由得，则抛物线开口方向向下，此选项正确，不符合题意；
、由得当时，函数有最大值，此选项错误，符合题意；
、由得当时，随的增大而减小，故当时，随的增大而减小，此选项正确，不符合题意；
、抛物线是由向左平移个单位，向下平移个单位得到，此选项正确，不符合题意；
故选：．
9．D
解析：设所加边框的宽度为，那么挂图的面积就应该为，
∴，
故选：．
10．D
解析：解：①对1，3，5，8进行“差绝对值运算”得：，
故①正确；
②对x，，4，
∵，表示的是数轴上点x到和4的距离之和，
∴的最小值为，
∴x，，4的“绝对运算”的最小值是：，故②正确；
对a，b，b，c进行“绝对运算”得：，
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
a，b，b，c的“绝对运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，
故③正确，
故选：D．
11．##
解析：原式，
，
故答案为：．
12．##，
解析：解：，
移项得，，
提取公因式得，，
∴，
故答案为：，．
13．
解析：解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
14．
解析：如图，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
∵OD⊥AB，
∴AD=AB=（9﹣1）=4．
设OA=r，则OD=r﹣3，
在Rt△OAD中，
OA2﹣OD2=AD2，
即r2﹣（r﹣3）2=42，
解得r=．
故答案为：
15．
解析：解：根据题意画图如下：
得到点M的坐标分别是，，，，，，共有6个等可能的结果，
当时，；
当时，；
当时，；
点M在直线l：上的结果有2个，
∴点M在直线l：上的概率为，
故答案为：．
16．
解析：如图，设与弧交于点，连接，作于，
由题意得，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：．
17．
解析：解：由，解得：，
又∵且，
解得：且，
又二次函数的图象在轴上方，
∴，解得：，
∴符合条件的的取值范围且，
∴符合条件的所有整数为：，，，
则它们的和为，
故答案为：．
18．
解析：解：设百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则等差数为，由题意得，
即，表示为，
∵为能被9整除的三位等差数，公差为正整数，
∴，，
∴b只能为3或6，
①当时，，
∵为三位等差数，且公差为正整数，
∴当时，，，此时等差数为，，
②当时，，
为三位等差数，且公差为正整数，
∴当时，，，，此时等差数为，，，
综上，能被9整除并且公差为正整数的所有三位“等差数”有：，，，，．
∴能被9整除并且公差为正整数的最大三位“等差数”为．
故答案为：．
19．(1)，；
(2)，．
解析：（1），
，
或，
∴，；
（2）
，
，
或，
∴，．
20．(1)见解析
(2)①；②圆周角是是直角；③垂直
解析：（1）解：如图所示，直线即为圆的切线；
（2）证明：连接，
∵为的直径，
∴ （直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．
∴ ，
又∵是的半径，
∴是的切线（经过半径外端与半径垂直的直线是圆的切线）（填推理的依据）．
故答案为：①；②圆周角是是直角；③垂直．
21．(1)画图见解析
(2)，
(3)
解析：（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由图可知，点和点的坐标分别为，；
（3）解：由题意得，点A旋转到点所经过的路线长即为的长，
∵，
∴，
由旋转的性质可得，
∴点A旋转到点所经过的路线长．
22．(1)，补全图形如图；
(2)约有人参加书法社团；
(3)．
解析：（1）被调查的学生共有（人），
参加田径的人数为（人），条形统计图补充完整如下图所示，
（2）解：参加社团活动（人），
答：这名学生中约有人参加书法社团；
（3）如图所示，
由图可知，甲乙两位同学参加有种情况，一共有种等可能情况，
则恰好选中甲，乙两位同学参加的概率为．
23．(1)该大礼包销售量的月增长率为；
(2)该大礼包的实际售价应定为元个．
解析：（1）设该大礼包销售量的月增长率为，
依题意得：，
解得，（不合题意，舍去），
答：该大礼包销售量的月增长率为；
（2）设大礼包的的实际售价为元个，
依题意得：，整理得，
解得，（不合题意，舍去），
由尽可能让顾客得到实惠，则舍去
答：该大礼包的实际售价应定为元个．
24．(1)关于的函数关系式；
(2)画图见解析，当 时，随的增大而增大 （答案不唯一）；
(3)或．
解析：（1）当点、分别在、上运动时，如图，
∴为直角边为、的等腰直角三角形，
此时，
∴，
∴当时，关于的函数表达式为；
当点、分别在、上运动时，如图，
∴为直角边为、的等腰直角三角形，
此时，，
∴，
∴当时，y关于t的函数表达式为；
∴关于的函数关系式；
（2）由（）中得到的函数表达式可知：当时，；当时，；
当时，；
分别描出三个点，，然后顺次连线, 如图，
根据函数图象可知这个函数的其中一条性质：当 时，随的增大而增大 （答案不唯一）；
（3）如图，
把分别代入和中，得：
，，
解得：或，
∴点，相距个单位长度时的值为或．
25．(1)；
(2)，的坐标为；
(3)或 或 或 ．
解析：（1）∵点，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
把和代入二次函数中得：
，解得： ，
∴二次函数的解析式为：；
（2）∵直线经过点和，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
如图，过点作轴交线段于点，
∴设点，则，
∴，
∴当时，的最大值为，
∴点的坐标为，
∴此时 最大，
；
（3）存在点，使得 是以为腰的等腰三角形，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，，
∴，
设，
当时，
，
解得：，
∴或 ；
当时，
，
解得：，
∴或 ，
综上所述：点坐标为或 或 或 ．
26．(1)；
(2)；
(3)或 ．
解析：（1）证明：∵菱形的边长为，，
∴，，
∴和为等边三角形，
∴，，，
∵，，，
∴
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵
∴，，
∵等边的边长为，且，，
∴，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴三角尺运动过程中，当时, 最小，最大，
∴当时，，，
此时；
（3）将绕点逆时针旋转得到 ，其中，，，
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴即为以，，为边的三角形，
∵，
所以为直角三角形的情况分为两种：
，如图所示，在中，，
∵，
∴，，
∴，
即，
∴，

，如图所示，在 中，，，
∴，，
∴，即，
∴，
综上所述，或 ．