2024年中考第一次模拟考试题：数学（北京卷）（学生用）

这是一份2024年中考第一次模拟考试题：数学（北京卷）（学生用），共10页。试卷主要包含了已知，化简求值等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题（共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的只有一个．
1．光在真空中的速度约为每秒30万千米，用科学记数法表示为（ ）千米/秒
A．B．C．D．
2．下列图形不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，， 交于点F，平分，已知，则的大小为（ ）
A． B．C． D．
4．已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）

A．B．C．D．
5．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，∠BAC=40°，则∠D的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．90°
6．若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图，从“矩”的一端望向树顶端的点，使视线通过“矩”的另一端，测得，．若“矩”的边，边，则树高为（ ）
A．B．C．D．
8．兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（ ）
A．，B．，C．，D．，
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题（共16分，每小题2分）
9．二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是 ．
10．已知，化简求值： ．
11．将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为 ．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果csA=，AC=2，那么AB的长为 ．
13．如图，已知点P是反比例函数上的一点，则矩形的面积为 ．
14．如图，，，三点在半径为的上，是的一条弦，且于点，若，则的长为 ．
15．如图，与关于点成中心对称，，则的长是 ．
16．某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，施工要求如下：
①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G；
②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行；
③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行；
④完成各道工序所需时间如下表所示：
（1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少 天完成；
（2）现因情况有变，需将工期缩短到80天，工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是 万元．
三、解答题（共68分，17~20题，每题5分，21题6分，22~23题，每题5分，24~26题，每题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组：.
19．（5分）已知，求代数式的值.
20．（5分）已知关于x的一元二次方程．
(1)当该方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围；
(2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值．
21．（6分）如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
22．（5分）为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组： ，，，， ，）：
b．甲学校学生成绩在这一组的是：
80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是_________（填“A”或“B”）；
（2）根据上述信息，推断______学校综合素质展示的水平更高，理由为____________________________（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；
（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到_________分的学生才可以入选．
23．（5分）在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点和点Q．
(1)求m的值及点Q的坐标；
(2)已知点，过点N作平行于x轴的直线交直线与双曲线分别为点和．当时，直接写出的取值范围是．
24．（6分）如图，为的直径，弦于，连接、，过点作的切线，的平分线相交于点，交于点，交于点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求长．
25．（6分）学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，(单位：克)．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录，与x的几组对应值如下：
(1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；
(2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系．场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系．请分别求出场景A，B满足的函数关系式；
(3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，则 (填“＞”，“=”或“＜”)．
26．（6分）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
(1)当时，求抛物线的对称轴；
(2)若抛物线经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
(3)当时，点，在抛物线上．若，请直接写出m的取值范围．
27．（7分）如图，在中，，．是边上一点（不与点B重合且），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
(1)求的度数；
(2)是的中点，连接并延长，交的延长线于点，依题意补全图形．若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
28．（7分）如图，在平面直角坐标系中，点，．对于一个角（），将一个图形先绕点顺时针旋转，再绕点逆时针旋转，称为一次“对称旋转”．
(1)点在线段上，则在点，，，中，有可能是由点经过一次“对称旋转”后得到的点是________；
(2)轴上的一点经过一次“对称旋转”得到点．
①当时，________；
②当时，若轴，求点的坐标；
(3)以点为圆心作半径为1的圆．若在上存在点，使得点经过一次“对称旋转”后得到的点在轴上，直接写出的取值范围．
工序
A
B
C
D
E
F
G
所需时间/天
11
15
28
17
16
31
25
平均数
中位数
众数
优秀率
83.3
84
78
x(分钟)
0
5
10
15
20
…
(克)
25
23.5
20
14.5
7
…
(克)
25
20
15
10
5
…