2023年贵州省黔东南州三穗中学中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年贵州省黔东南州三穗中学中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.有理数2，1，−1，0中，最小的数是( )
A. 2B. 1C. −1D. 0
2.如图是某几何体的侧面展开图，该几何体是( )
A. 长方体B. 圆柱C. 圆锥D. 三棱锥
3.某市制定推广新能源车实施方案，到2025年，全市新能源汽车累计保有量力争达到2000000辆，将2000000用科学记数法表示( )
A. 2×104B. 2×105C. 2×106D. 2×107
4.如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF=DE，连接FC.若FC/​/AB，AB=5，CF=3，则BD的长等于( )
A. 1B. 2C. 3D. 5
5.若分式|x|−2x+2的值为零，则x的值等于( )
A. −2B. ±2C. 0D. 2
6.如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，若∠1=∠B，ADAC=12，△ADE的面积等于2，则△ABC的面积为( )
A. 4
B. 8
C. 10
D. 12
7.从一副扑克牌中任意抽取1张．估计下列事件发生的可能性大小：①这张牌是“A”；②这张牌是“红心”；③这张牌是“大王”；④这张牌是“红色的”这些事件中发生可能性最小的是事件( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
8.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)2=24，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
9.如图，已知∠A=70°，∠APC=65°，AC2=AP⋅AB，则∠B的度数为( )
A. 45°
B. 50°
C. 55°
D. 60°
10.若一次函数y=x−2和反比例函数y=2x交于点A(a,b)，则a2b−ab2的值( )
A. −2B. 2C. −4D. 4
11.据统计，观山湖区4月4日至10日每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是( )
A. 众数是20°CB. 中位数是21°C
C. 平均数约是20.9°CD. 8日至9日最高气温下降幅度最大
12.如图，直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=x2−2x+c交于A，B两点，且点A的横坐标是−1，点B的横坐标是4，有以下结论：①若点A在x轴上，则抛物线y=x2−2x+c与x轴的另一个交点坐标为(3,0)；②当x>1时，一次函数y=kx+b(k≠0)与二次函数y=x2−2x+c的函数值y都随x的增大而增大；③AB的长度可以等于5，其中正确的结论有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.因式分解：a3−ab2= ．
14.如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖(每次飞镖均落在纸板上)，击中阴影区域的概率是______．
15.《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，音hú，是古代一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛．根据题意，可列方程组为______．
16.如图，正方形ABCD的边长是6，对角线的交点为O，点E在边CD上且CE=2，CF⊥BE，连接OF，则：
(1)∠OFB ______；
(2)OF=______．
三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)计算： 8−2sin45°+(−12)−2+| 2−2|．
(2)下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
2x−13x+6=x−1x+2−2．
解：2x−13(x+2)=x−1x+2−第一步，
2x−1=3(x−1)−第二步，
2x−1=3x−3−第三步，
−x=−第四步，
x=第五步，
经检验：x=4是原方程的解．
任务一：以上解方程步骤中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：直接写出该分式方程的正确结果为______．
18.(本小题10分)
某校为了解学生在“五⋅一”小长假期间参与家务劳动的时间t(小时)，随机抽取了本校部分学生进行问卷调查．要求抽取的学生在A，B，C，D，E五个选项中选且只选一项，并将抽查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答问题：
(1)求所抽取的学生总人数；
(2)若该校共有学生1200人，请估算该校学生参与家务劳动的时间满足3≤t<4的人数；
(3)请你根据调查结果，对该校学生参与家务劳动时间的现状作简短评述．
19.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+b的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y=kx(x>0)的图像交于点C，连接OC.已知点B(0,4)，△BOC的面积是2．
(1)求b、k的值；
(2)求△AOC的面积．
20.(本小题10分)
某商店用6000元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了50%，同样用6000元购进的数量比第一次少了40件．
(1)求第一次每件的进价为多少元？
(2)若两次购进的玩具售价均为80元，且全部售完，求两次的总利润为多少元？
21.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)若AB=6，AD=8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．
22.(本小题12分)
如图所示，九(1)班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB=15°，∠BCD=120°，∠ADC=30°．
(1)求河的宽度；
(2)求古树A、B之间的距离．(结果保留根号)
23.(本小题12分)
如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥DC，连接AC，BC．
(1)求证：BC是∠ABD的角平分线；
(2)若BD=3，AB=4，求BC的长；
(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积．
24.(本小题12分)
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(−1,0)，B(3,0)，且与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为直角三角形，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．
25.(本小题12分)
综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8.直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．
猜想证明：
(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
(2)如图②，在三角板旋转过程中，当∠B=∠MDB时，求线段CN的长；
(3)如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据有理数比较大小的方法，可得
−1<0<1<2，
∴在2，1，−1，0这四个数中，最小的数是−1．
故选：C．
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.【答案】C
【解析】解：该几何体的侧面展开图是扇形，所以这个几何体是圆锥．
故选：C．
由图可知展开侧面为扇形，则该几何体为圆锥．
此题主要考查几何体的展开图，熟记圆锥的侧面展开图是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：2000000=2×106．
故选：C．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵FC/​/AB，
∴∠DAE=∠FCE，
在△DAE与△FCE中，
∠DAE=∠FCE∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△DAE≌△FCE(AAS)，
∴AD=CF，
∵CF=3，
∴AD=CF=3，
又∵AB=5，
∴BD=AB−AD=5−3=2，
故选B．
由FC/​/AB得，∠DAE=∠FCE，再利用AAS证明△DAE≌△FCE，得AD=CF，从而解决问题．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明△DAE≌△FCE是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：由分式|x|−2x+2的值为0，得
|x|−2=0且x+2≠0．
解得x=2，
故选：D．
根据分子为零，分母不为零分式的值为零，可得答案．
本题考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠1=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∵ADAC=12，
∴S△ADES△ACB=14，
∵△ADE的面积等于2，
∴△ACB的面积等于8．
故选：B．
根据相似三角形的判定和性质解答即可．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解答本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵①这张牌是“A”的概率为454=227；
②这张牌是“红心”的概率为1354；
③这张牌是“大王”的概率为154；
④这张牌是“红色的”的概率为2654=1327，
∴这些事件中发生可能性最小的是事件③．
故选：C．
分别求出抽出各种扑克牌的概率，比较大小即可求解．
本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】C
【解析】解：设大正方形的边长为c，
则c2=14=a2+b2，
∵(a+b)2=24，
∴a2+2ab+b2=24，
解得ab=5，
∴小正方形的面积是：14−ab2×4=14−2×5=14−10=4，
故选：C．
根据题意和勾股定理，可以求得ab的值，再根据图形可知：小正方形的面积=大正方形的面积−4个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可．
本题考查勾股定理的证明、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，求出ab的值．
9.【答案】A
【解析】解：∵∠A=70°，∠APC=65°，
∴∠ACP=180°−70°−65°=45°．
∵AC2=AP⋅AB，
∴ACAB=APAC．
∵∠B=∠B，
∴△BAC∽△CPA．
∴∠B=∠ACP=45°．
故选：A．
先用三角形内角和定理求出∠ACP，再说明△BAC∽△CPA然后再根据相似三角形的性质解答即可．
本题主要考查了三角形内角和定理，相似三角形的判断与性质，得到△BAC∽△CPA成为解答本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵一次函数y=x−2和反比例函数y=2x交于点A(a,b)，
∴ab=2，a−b=2，
∴a2b−ab2=ab(a−b)=2×2=4．
故选：D．
由一次函数y=x−2和反比例函数y=2x交于点A(a,b)，可得出ab=2，a−b=2，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征找出ab=2、a−b=2是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：A、7个数据中出现次数最多的为20，所以众数为20℃，正确，不符合题意；
B、7个数排序后为16，20，20，21，22，23，24，位于中间位置的数为21，所以中位数为21℃，正确，不符合题意；
C、平均数为17(16+20+20+21+22+23+24)≈20.9℃，正确，不符合题意；
D、观察统计图知：4日至5日最高气温下降幅度较大，错误，符合题意，
故选：D．
分别确定7个数据的中位数、众数及平均数后即可确定正确的选项．
考查了统计的知识，解题的关键是了解如何确定一组数据的中位数、众数及平均数，难度不大．
12.【答案】C
【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=−−22=1，
设抛物线y=x2−2x+c与x轴的另一个交点坐标为(m,0)，
则−1+m2=1，
∴m=3，
∴若点A在x轴上，则抛物线y=x2−2x+c与x轴的另一个交点坐标为(3,0)；
故①正确；
根据图象得：直线y=kx+b(k≠0)为增函数，抛物线y=x2−2x+c当x>1时为增函数，
∴当x>1时，一次函数y=kx+b(k≠0)与二次函数y=x2−2x+c的函数值y都随x的增大而增大；
故②正确；
由A、B的横坐标为−1，4，若AB=5时，则直线AB/​/x轴，则k=0，与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，
故③不正确．
综上所述，正确的有①②．
故选：C．
先求出抛物线的对称轴为直线x=1，若点A在x轴上，根据对称性可求抛物线与x轴的另一交点为(3,0)，即可判断①；根据一次函数和二次函数的性质即可判断②；由A、B的横坐标求出AB为5时，可得直线AB/​/x轴，则k=0，与已知矛盾，即可判断③．
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
13.【答案】a(a+b)(a−b)
【解析】【分析】
先提取公因式，然后再应用平方差公式即可．
本题主要考查提公因式与公式法因式分解，掌握因式分解的常见方法是解题的关键．
【解答】
解：a3−ab2=a(a2−b2)=a(a+b)(a−b)．
故答案为a(a+b)(a−b)．
14.【答案】13
【解析】解：设图中每个小正方形的面积为1，则大正方形的面积为9，
根据题意图中阴影部分的面积为3，
则P(击中阴影区域)=39=13．
故答案为：13．
设图中每个小正方形的面积为1，则大正方形的面积为9，根据题意图中阴影部分的面积为3，应用几何概率的计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法进行求解是解决本题的关键．
15.【答案】5x+y=3x+5y=2
【解析】解：设1个大桶可以盛酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛，
由题意得：5x+y=3x+5y=2，
故答案为：5x+y=3x+5y=2．
根据题意列出二元一次方程组即可．
本题考查的是由实际问题抽象出二元一次方程组，找等量关系是列方程组的关键和难点．
16.【答案】45° 6 55
【解析】解：(1)在BE上截取BG=CF，
∵在正方形ABCD，AC⊥BD，∠ABC=∠BCD=90°，AC=BD，BO=12BD，CO=12AC，AC、BD分别平分∠ABC、∠BCD，
∴BO=CO，∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=45°，
∵CF⊥BE，
∴∠CFE=90°，
∴∠FEC+∠ECF=90°，
∵∠EBC+∠FEC=90°，
∴∠EBC=∠ECF，
∴∠OBC−∠EBC=∠OCD−∠ECF，
∴∠OBG=∠FCO，
∴△OBG≌△OCF(SAS)，
∴∠BOG=∠FOC，OG=OF，
∴∠GOC+∠COF=90°，
∴∠OFG=∠OGF=45°，
故答案为：45°；
(2)在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BE=2 10，
∴CF=BG=BC×CEBE=3 105，
在Rt△FCE中，根据勾股定理，得EF= 105，
∴GF=BE−BG−EF=6 105，
在Rt△FCE中，根据勾股定理，得OF=6 55，
故答案为：6 55．
(1)在BE上截取BG=CF，根据正方形性质，得BO=CO，∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=45°，再根据同角的余角相等，得∠OBG=∠FCO，从而证明△OBG≌△OCF(SAS)，进而得到∠OFG=∠OGF=45°；
(2)在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BE=2 10，再根据等面积法求出CF=BG=3 105，再通过两次勾股定理的应用得出OF=6 55．
本题主要考查了正方形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，掌握这三个性质定理的综合应用，其中勾股定理的应用是解题关键．
17.【答案】二 −2忘乘3(x+2) x=−145
【解析】解：(1)原式=2 2−2× 22+4+2− 2
=2 2− 2+4+2− 2
=6
(2)任务一：以上解方程步骤中，第二步开始出现错误，这一步错误的原因是−2忘乘3(x+2)，
任务二：2x−13(x+2)=x−1x+2−2，
两边都乘以3(x+2)，得
2x−1=3(x−1)−2×3(x+2)
解得x=−145．
经检验：x=−145是原方程的解．
故答案为：任务一：二；−2忘乘3(x+2)；任务二：x=−145．
(1)原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；
(2)任务一：查找方程出错的步骤，分析其原因即可；任务二：按照正确的解法求出方程的解，写出正确的结果即可．
此题考查了解分式方程，实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则及分式方程的解法是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)18÷36%=50(人)，
故所抽取的学生总人数为50人；
(2)1200×50−5−18−15−250=240(人)，
答：估算该校学生参与家务劳动的时间满足3≤t<4的人数为240人；
(3)由题意可知，该校学生在“五⋅一”小长假期间参与家务劳动时间在1≤t<2占最多数，中位数位于2≤t<3这一组(答案不唯一)．
【解析】(1)用B类别的人数除以B类别所占百分比即可；
(2)用1200乘D所占比例即可；
(3)根据统计图的数据解答即可．
本题主要考查了用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图的综合应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
19.【答案】解：(1)∵一次函数y=2x+b的图象过点B(0,4)，
∴b=4，
∴一次函数为y=2x+4，
∵OB=4，△BOC的面积是2．
∴12OB⋅xC=2，即12×4⋅xC=2，
∴xC=1，
把x=1代入y=2x+4得，y=6，
∴C(1,6)，
∵点C在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=1×6=6；
(2)把y=0代入y=2x+4得，2x+4=0，解得x=−2，
∴A(−2,0)，
∴OA=2，
∴S△AOC=12×2×6=6．
【解析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出C的坐标是解题的关键．
(1)由点B(0,4)在一次函数y=2x+b的图象上，代入求得b=4，由△BOC的面积是2得出C的横坐标为1，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值；
(2)根据一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可．
20.【答案】解：(1)设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为(1+50%) x元，
根据题意得：6000x−6000(1+50%)x=40，
解得：x=50，
经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，
答：第一次每件的进价为50元；
(2)80×(600050+60001.5×50)−6000×2=4000(元)，
答：两次的总利润为4000元．
【解析】(1)设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为(1+20%)x元，由题意：第二次购进时，同样用6000元购进的数量比第一次少了40件．列出分式方程，即可求解；
(2)根据总利润=总售价−总成本，列出算式，即可求解．
本题主要考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，DO=BO，
∴∠EDO=∠FBO，
又∵EF⊥BD，
∴∠EOD=∠FOB=90°，
在△DOE和△BOF中，
∠EDO=∠FBODO=BO∠EOD=∠FOB=90°，
∴△DOE≌△BOF(ASA)；
(2)解：∵由(1)可得，ED/​/BF，ED=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BO=DO，EF⊥BD，
∴ED=EB，
∴四边形BFDE是菱形，
根据AB=6，AD=8，设AE=x，可得BE=ED=8−x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2=AB2+AE2，
即(8−x)2=x2+62，
解得：x=74，
∴BE=8−74=254，
∴四边形BFDE的周长=254×4=25．
【解析】本题主要考查了矩形的性质的应用，结合菱形的判定与性质、全等三角形的判定进行求解是解题的关键．
(1)根据矩形的性质可得BO=DO，∠EOD=∠FOB，∠EDO=∠FBO，即可证得两个三角形全等；
(2)设AE=x，根据已知条件可得BE=8−x，由(1)可得ED=EB，可证得四边形EBFD是菱形，根据勾股定理可得BE的长，即可求得周长；
22.【答案】解：(1)过点A作AE⊥l，垂足为E，

设CE=x米，
∵CD=60米，
∴DE=CE+CD=(x+60)米，
∵∠ACB=15°，∠BCD=120°，
∴∠ACE=180°−∠ACB−∠BCD=45°，
在Rt△AEC中，AE=CE⋅tan45°=x(米)，
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，
∴tan30°=AEED=xx+60= 33，
∴x=30 3+30，
经检验：x=30 3+30是原方程的根，
∴AE=(30 3+30)米，
∴河的宽度为(30 3+30)米；
(2)过点B作BF⊥l，垂足为F，

则CE=AE=BF=(30 3+30)米，AB=EF，
∵∠BCD=120°，
∴∠BCF=180°−∠BCD=60°，
在Rt△BCF中，CF=BFtan60∘=30 3+30 3=(30+10 3)米，
∴AB=EF=CE−CF=30 3+30−(30+10 3)=20 3(米)，
∴古树A、B之间的距离为20 3米．
【解析】(1)过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE=x米，则DE=(x+60)米，先利用平角定义求出∠ACE=45°，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答；
(2)过点B作BF⊥l，垂足为F，CE=AE=BF=(30 3+30)米，AB=EF，先利用平角定义求出∠BCF=60°，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：连接OC，如图1，
∵CD与⊙O相切于点C，OC为半径，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥CD，
∴OC/​/BD，
∴∠OCB=∠DBC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠DBC=∠OBC，
∴BC平分∠ABD；
(2)解：如图2，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵BD⊥DC，
∴∠D=90°，
∴∠ACB=∠D，
∴△ABC∽△CBD，
∴ABCB=BCBD，
∴BC2=AB⋅BD，
∵BD=3，AB=4，
∴BC2=3×4=12，
∴BC=2 3或−2 3(不符合题意，舍去)，
∴BC的长为2 3；
(3)解：如图3，作CE⊥AO于E，连接OC，
∵AB是直径，AB=4，
∴OA=OC=2，
在Rt△ABC中，BC=2 3
∴ AC= AB2−BC2= 42−(2 3)2=2，
∴AO=CO=AC=2，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∵CE⊥OA，AC=CO
∵OE=12OA=1，
∴CE= CO2−OE2= 22−12= 3，
∴阴影部分的面积为：S=S扇形OAC−SΔOAC=60×π×22360−12×2× 3=2π3− 3．
【解析】(1)连接OC，先证明OC/​/BD，然后由平行线的性质和等腰三角形的性质，即可证明结论成立；
(2)根据题目中的条件，可以得到∠ABC=∠CBD，∠ACB=∠D，从而可以得到△ABC∽△CBD，利用相似三角形的性质即可求出BC的长度；
(3)先证明△AOC是等边三角形，然后求出扇形OAC和△OAC的面积，即可得到答案．
本题考查了圆的综合应用，掌握切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，角平分线定义等知识是解决问题的关键．
24.【答案】解：(1)由题意设二次函数表达式为：y=a(x+1)⋅(x−3)，
∴a×(−3)=−3，
∴a=1，
∴y=(x+1)⋅(x−3)=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴D(1,−4)；
(2)存在点E，使△ACE是直角三角形，过程如下：
∵y=(x+1)⋅(x−3)=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴对称轴为直线x=1，
设点E(1,m)，
∵A(−1,0)，C(0,−3)，
∴AC2=10，AE2=4+m2，CE2=1+(m+3)2，
①当∠EAC=90°时，
AE2+AC2=CE2，
∴14+m2=1+(m+3)2，
∴m=23，
∴E1(1,23)，
②当∠ACE=90°时，
AC2+CE2=AE2，
∴11+(m+3)2=4+m2，
∴m=−83，
∴E2(1,−83)，
③当∠AEC=90°时，
AE2+CE2=AC2，
∴5+m2+(m+3)2=10，
∴m=−1或−2，
∴E3(1,−1)，E4(1,−2)，
综上所述：点E(1,23)或(1,−83)或(1,−1)或(1,−2)；
(3)设AD的中点为I，
∵A(−1,0)，D(1,−4)，
∴AD= 22+42=2 5，I(0,−2)，
∵PA⊥PD，
∴∠APD=90°，
∴点P在以AD的中点I为圆心， 5为半径的圆上，
∵BI= 32+22= 13，
∴PB最小= 13− 5．
【解析】(1)设二次函数的表达式为交点式，将点C坐标代入，进而求得结果；
(2)先把AC，CE，AE的平方求出或表示出来，然后分为∠EAC=90°，∠ACE=90°及∠AEC=90°，然后根据勾股定理逆定理列出方程，解方程，进而求得结果；
(3)根据∠APD=90°确定点P在以AD的中点为圆心，12AD为半径的圆上，进一步求得结果．
本题考查了求二次函数的表达式，勾股定理及其逆定理，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌握直角三角形分类及“定弦对定角”等知识．解：(1)由题意设二次函数表达式为：y=a(x+1)⋅(x−3)，
∴a×(−3)=−3，
∴a=1，
∴y=(x+1)⋅(x−3)=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴D(1,−4)；
(2)存在点E，使△ACE是直角三角形，过程如下：
∵y=(x+1)⋅(x−3)=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴对称轴为直线x=1，
设点E(1,m)，
∵A(−1,0)，C(0,−3)，
∴AC2=10，AE2=4+m2，CE2=1+(m+3)2，
①当∠EAC=90°时，
AE2+AC2=CE2，
∴14+m2=1+(m+3)2，
∴m=23，
∴E1(1,23)，
②当∠ACE=90°时，
AC2+CE2=AE2，
∴11+(m+3)2=4+m2，
∴m=−83，
∴E2(1,−83)，
③当∠AEC=90°时，
AE2+CE2=AC2，
∴5+m2+(m+3)2=10，
∴m=−1或−2，
∴E3(1,−1)，E4(1,−2)，
综上所述：点E(1,23)或(1,−83)或(1,−1)或(1,−2)；
(3)设AD的中点为I，
∵A(−1,0)，D(1,−4)，
∴AD= 22+42=2 5，I(0,−2)，
∵PA⊥PD，
∴∠APD=90°，
∴点P在以AD的中点I为圆心， 5为半径的圆上，
∵BI= 32+22= 13，
∴PB最小= 13− 5．
25.【答案】解：(1)四边形AMDN是矩形，理由如下：
∵点D是BC的中点，点M是AB的中点，
∴MD//AC，
∴∠A+∠AMD=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠AMD=90°，
∵∠A=∠AMD=∠MDN=90°，
∴四边形AMDN是矩形；
(2)如图2，过点N作NG⊥CD于G，
∵AB=6，AC=8，∠BAC=90°，
∴BC= AB2+AC2=10，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD=5，
∵∠MDN=90°=∠A，
∴∠B+∠C=90°，∠BDM+∠1=90°，
∴∠1=∠C，
∴DN=CN，
又∵NG⊥CD，
∴DG=CG=52，
∵csC=CGCN=ACBC，
∴52CN=810，
∴CN=258；
(3)如图③，连接MN，AD，过点N作HN⊥AD于H，

∵AM=AN，∠MAN=90°，
∴∠AMN=∠ANM=45°，
∵∠BAC+∠EDF=90°，
∴点A，点M，点D，点N四点共圆，
∴∠ADN=∠AMN=45°，
∵NH⊥AD，
∴∠ADN=∠DNH=45°，
∴DH=HN，
∵BD=CD=5，∠BAC=90°，
∴AD=CD=5，
∴∠C=∠DAC，
∴tanC=tan∠DAC=HNAH=ABAC=34，
∴AH=43HN，
∵AH+HD=AD=5，
∴DH=HN=157，AH=207，
∴AN= AH2+HN2= 22549+40049=257．
【解析】(1)由三角形中位线定理可得MD//AC，可证∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可求解；
(2)由勾股定理可求BC的长，由中点的性质可得CG的长，由锐角三角函数可求解；
(3)通过证明点A，点M，点D，点N四点共圆，可得∠ADN=∠AMN=45°，由直角三角形的性质可求HN的长，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．