2023年上海市浦东新区澧溪中学中考数学调研试卷（5月份）（含解析）

这是一份2023年上海市浦东新区澧溪中学中考数学调研试卷（5月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 13B. 5b3C. x−yD. x2+2x+1
2.将抛物线y=−x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是( )
A. (3,−2)B. (−3,−2)C. (3,2)D. (−3,2)
3.设a是一个不为零的实数，下列式子中，一定成立的是( )
A. 3−a>2−aB. 3a>2aC. −3a>−2aD. 3a>2a
4.下列命题中，假命题的是( )
A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形B. 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
C. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D. 对角线平分一组对角的矩形是正方形
5.某校足球社团有50名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是( )
A. 平均数、中位数B. 平均数、方差C. 众数、中位数D. 众数、方差
6.已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，如果以A为圆心r为半径的⊙A和以BC为直径的⊙D相交，那么r的取值范围( )
A. 1二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.−8的立方根是______．
8.在实数范围内分解因式：3x−6= ______．
9.方程 2x−1=x的解是______．
10.已知关于x的方程x2+4x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值为______．
11.如果抛物线y=ax2−3的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是______．
12.已知一次函数的图象经过点(1,3)，且与直线y=2x+6平行，那么这个一次函数的解析式是______．
13.毕业典礼上，李明、王红、张立3位同学合影留念，3人随机站成一排，那么王红恰好站在中间的概率是______．
14.如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，且AD：DC=2：1.设BA=a，BC=b，那么BD= ______.(用a、b表示)
15.一辆客车从甲地驶往乙地，同时一辆私家车从乙地驶往甲地.两车之间的距离s(千米)与行驶的时间x(小时)之间的函数关系如图所示，已知私家车的速度是90千米/时，客车的速度是60千米/时，那么点A的坐标是______．
16.如图，已知⊙O的内接正方形ABCD，点F是CD的中点，AF与边DC交于点E，那么EFAE= ______．
17.如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，已知∠CEA=45°，DE=7，OE=3 2，那么ct∠ABD的值为______．
18.在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB=4cm，AD=8cm.Q为直线BC上一动点，如果以5cm为半径的⊙Q与矩形ABCD的各边有4个公共点，那么线段OQ长的取值范围是______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：|1− 3|−412×(1 3)−1+2 3−1．
20.(本小题8分)
解不等式组：5x>3x−8x+24≥x−1，并把解集在数轴上表示出来．
21.(本小题8分)
如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y(千瓦时)，关于已行驶路程x(千米)的函数图象．
(1)根据图象，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已经行驶的路程为______千米．当0≤x≤150时，消耗1千瓦时的电量，汽车能行驶的路程为______千米．
(2)当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量．
22.(本小题8分)
如图，在梯形ABCD中，CD/​/AB，AB=10，以AB为直径的⊙O经过点C、D，且点C、D三等分弧AB．
(1)求CD的长；
(2)已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．
23.(本小题8分)
已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，M是边DC延长线上的一点，联结AM，与边BC交于F，与对角线BD交于点G．
(1)求证：AG2=GF⋅GM；
(2)联结CG，如果∠BAG=∠BCG，求证：平行四边形ABCD是菱形．
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy(如图)中，二次函数f(x)=ax2−2ax+a−1(其中a是常数，且a≠0)的图象是开口向上的抛物线．
(1)求该抛物线的顶点P的坐标；
(2)我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f(x)=ax2−2ax+a−1与y轴的交点记为A，如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围；
(3)如果f(−1)、f(0)、f(3)、f(4)这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图象，求a的取值范围．
25.(本小题8分)
在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD=3，CD=5，csC=35(如图).M是边BC上一个动点(不与点B、C重合)，以点M为圆心，CM为半径作圆，⊙M与射线CD、射线MA分别相交于点E、F．
(1)设CE=185，求证：四边形AMCD是平行四边形；
(2)联结EM，设∠FMB=∠EMC，求CE的长；
(3)以点D为圆心，DA为半径作圆，⊙D与⊙M的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时⊙M的半径长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解： 13的被开方数是分数，因此它不是最简二次根式；
5b3的被开方数中含有能开得尽方的因式，因此它不是最简二次根式；
x−y符合最简二次根式的定义，因此它是最简二次根式；
x2+2x+1= (x+1)2的被开方数中含有能开得尽方的因式，因此它不是最简二次根式；
故选：C．
根据最简二次根式的意义进行判断即可．
本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的定义是正确判断的前提．
2.【答案】A
【解析】解：将抛物线y=−x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，得y=−(x−3)2−2，
∴顶点坐标为(3,−2)．
故选：A．
本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握函数图像的平移规律：左加右减，上加下减．
根据平移规律，可得顶点式解析式，即得顶点．
3.【答案】A
【解析】解：A.3−a>2−a，故本选项符合题意；
B.若a=−1，则3a<2a，故本选项不符合题意；
C.若a=1，则−3a<−2a，故本选项不符合题意；
D.若a=−1，则3a<2a，故本选项不符合题意．
故选：A．
举出反例进行判断即可求解．
本题考查了实数大小比较，反例法是解题的一种方法．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据菱形、等腰梯形、正方形的判定定理判断即可．
【解答】
解：A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意；
B.对角线相等的梯形是等腰梯形，故本选项说法是假命题，符合题意；
C.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意；
D.对角线平分一组对角的矩形是正方形，是真命题，不符合题意；
故选B．
5.【答案】C
【解析】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+14−x=14，而14岁人数有15人，
故该组数据的众数为14岁，
中位数为：(14+14)÷2=14(岁)．
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数．
故选：C．
由频数分布表可知年龄15岁和年龄16岁的两组的频数和为14，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第25、26个数据的平均数，可得答案．
本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由题意得：BD=DC=3，
AB=AC=5，
由勾股定理得：AD=4，
设⊙A的半径为r，
根据两圆相交得：
r−3<4解答：1故选：C．
过等腰三角形的顶点作底边的垂线，根据“三线合一”得到垂足为底边的中点，得到BD的长，在直角三角形ABD中，由AB与BD的长，利用勾股定理求出AD的长，然后找两个特殊位置：一个是以点A为圆心，AD长为半径的圆与底边BC相切，此时圆的半径为AD的长；一个是以点A为圆心，AB长为半径的圆与BC边有两个交点，此时圆的半径为AB的长，由两特殊位置求出的圆的半径，写出满足题意的r的取值范围即可．
本题考查了两圆的位置关系，解题的关键是正确的作出图形，难度不算很大．
7.【答案】−2
【解析】解：−8的立方根是−2．
故答案为：−2．
根据立方根的定义解答即可．
本题考查的是立方根，熟知如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根是解题的关键．
8.【答案】3(x−2)
【解析】解：3x−6=3(x−2)．
故答案为：3(x−2)．
提公因式3可得结论．
此题主要考查了分解因式，熟练利用提公因式法分解因式是解题关键．
9.【答案】x=1
【解析】解： 2x−1=x，
两边都平方得x2−2x+1=0，
即(x−1)2=0，
∴x=1．
本题要先平方化简后才能求出x的值．
本题要先平方化简后，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．
才能求出x的值．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
10.【答案】4
【解析】解：由题意得，Δ=42−4m=0，
解得m=4，
故答案为：4．
由题意得，Δ=42−4m=0，计算求解即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ=0．
11.【答案】a<0
【解析】解：∵顶点是抛物线y=ax2−3的最高点，
∴a<0．
故答案为：a<0．
由于顶点是抛物线y=ax2−3的最高点，这要求抛物线必须开口向下，由此可以确定a的范围．
本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点，本题比较基础．
12.【答案】y=2x+1
【解析】解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b，
∵该一次函数的图象与直线y=2x+6平行，
∴k=2，即函数表达式为y=2x+b，
将点(1,3)代入表达式得，
3=2×1+b，
b=1，
函数表达式为：y=2x+1，
故答案为：y=2x+1．
本题通过已知与直线y=2x+6平行，可知要求的函数解析式为y=2x+b，将点(1,3)代入表达式，求出b值，就求出了函数解析式．
本题考查一次函数图象平行时，k值相等，通过代入经过的点来求出函数表达式．
13.【答案】13
【解析】解：设李明、王红、张立3位同学分别记为A，B，C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中王红恰好站在中间的结果有：ABC，CBA，共2种，
∴王红恰好站在中间的概率为26=13．
故答案为：13．
画树状图得出所有等可能的结果数以及王红恰好站在中间的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14.【答案】23b+13a
【解析】解：∵BA=a，BC=b，
∴AC=b−a，
∵AD：DC=2：1，
∴AD=23AC=23b−23a，
∴BD=BA+AD=a+23b−23a=23b+13a．
故答案为：23b+13a．
由题意可得AC=b−a，则AD=23AC=23b−23a，再根据BD=BA+AD可得答案．
本题考查平面向量，熟练掌握三角形法则是解答本题的关键．
15.【答案】(4,0)
【解析】解：A点的纵坐标为0，说明此时客车和私家车相遇，
∴两车相遇的时间为60090+60=4(小时)，
∴点A的坐标是(4,0)．
故答案为：(4,0)．
根据路程、速度、时间的关系计算即可．
本题考查一次函数的应用，关键是从图形中读取信息得出结论．
16.【答案】 2−12
【解析】解：如图，作直线OF交CD，AB分别为M，N，
∵点F是CD的中点，
∴OF⊥CD，
∵正方形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴OF⊥AB，
设⊙O的半径为r，
则AB= 2r，
∴ON=OE= 22r，
∴EF=r− 22r，
∵EM//AN，
∴EFAE=EFEN=r− 22r 2r= 2−12．
故答案为： 2−12．
作直线OF交CD，AB分别为M，N，点F是CD的中点，根据垂径定理得OF⊥CD，根据正方形ABCD是⊙O的内接正方形，所以OF⊥AB，设⊙O的半径为r，则AB= 2r，ON=OE= 22r，EF=r− 22r，根据EM/​/AN，所以EFAE=EFEN=r− 22r 2r= 2−12．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质以及正多边形和圆，熟练掌握相似三角形的判定和性质，正方形的性质以及正多边形和圆的性质是解题的关键．
17.【答案】5 2−17
【解析】解：作OF⊥CD于F，连接OD，
∵∠CEA=45°，
∴∠OEF=45°，
∵OE=3 2，
∴OF=EF=3，
∵DE=7，
∴DF=4，
∴OD= 32+42=5，
∴OB=5，BE=5+3 2，
作DH⊥OB于H，
∴△DEH为等腰直角三角形，
∵DE=7，
∴EH=DH=7 22，
∴BH=5+3 2−7 22=5− 22，
∴ct∠ABD=BHDH=5− 227 22=5 2−17．
故答案为：5 2−17．
作OF⊥CD于F，连接OD，根据勾股定理求出OF，再求出DF，再用勾股定理求出圆的半径，作DH⊥OB，再利用勾股定理求出DH、EH，用三角函数解答即可．
本题考查了三角函数的应用，正确的辅助线及勾股定理的运用是解题关键．
18.【答案】2≤OQ< 5
【解析】解：临界情况，如图所示，⊙Q1与CD切于点C，⊙Q2与AB切于点B，
当Q在Q1Q2上移动时⊙Q与AB有一个交点，与AD有2个交点，与CD有1个交点，
∴CQ1=5，BQ1=BC−CQ1=3，AB=4，
∴AQ1= AB2+BQ12=5，即A在⊙Q1上，
同理，D在Q2上，
临界条件下，圆与矩形存在三个交点，
当OQ⊥BC时，OQ取最小值，OQ=122，
当Q在Q1或Q2时，OQ取最大值，
OQ1=OQ2= (82−3)2+22= 5，
∴2≤OQ< 5．
故答案为：2≤OQ< 5．
根据题意，画出对应的图形，当Q在Q1Q2上移动时⊙Q与AB有一个交点，与AD有2个交点，与CD有1个交点，根据勾股定理得到AQ1的长，当OQ⊥BC时，OQ取最小值，当Q在Q1或Q2时，OQ取最大值，由此可得答案．
本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
19.【答案】解：|1− 3|−412×(1 3)−1+2 3−1
= 3−1−(22)12× 3+2( 3+1)( 3−1)( 3+1)
= 3−1−2× 3+ 3+1
=0．
【解析】先分别计算绝对值，幂的乘方的逆运算与幂的乘方，负整数指数幂，分母有理化，然后进行加减运算即可．
本题主要考查了绝对值，幂的乘方的逆运算与幂的乘方，负整数指数幂，分母有理化．解题的关键在于正确的运算．
20.【答案】解：5x>3x−8①x+24≥x−1②，
解不等式①得：x>−4，
解不等式②得：x≤2，
故不等式组的解集为−4将解集表示在数轴上如下：

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21.【答案】解：(1)150 ，6；
(2)设y=kx+b(k≠0)，把点(150,35)，(200,10)代入，
得150k+b=35200k+b=10，解得k=−0.5b=110，
∴y=−0.5x+110，
当x=160时，y=−0.5×160+110=30，
答：当150≤x≤200时，函数表达式为y=−0.5x+110，当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量为30千瓦时．
【解析】解：(1)由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．
1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：15060−35=6(千米)，
故答案为：150；6．
(2)见答案。
(1)由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；
(2)运用待定系数法求出y关于x的函数表达式，再把x=160代入即可求出当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键：(1)熟练运用待定系数法就解析式；(2)找出剩余油量相同时行驶的距离．本题属于基础题，难度不大，解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
22.【答案】解：(1)∵AB为直径，点C、D三等分弧AB，
∴AD=CD=BC=60°
∴∠AOD=∠COD=∠BOC=60°．
∵OC=OD，
∴△OCD为等边三角形．
∴CD=OD=12AB=5．
(2)∵点E是劣弧DC的中点，
∴DE=EC．
∵AD=BC，
∴AE=BE．
∴OF⊥CD．
∵OC=OD，
∴∠DOF=12∠DOC=30°．
在Rt△ODF中，cs∠FOD=OFOD．
∴OF=OD⋅cs∠FOD=5× 32=5 32．
∵OE=OD=5，
∴EF=OE−OF=5−5 32．

【解析】(1)通过点C、D三等分弧AB，可得∠AOD=∠COD=∠BOC=60°，所以，△COD为等边三角形，CD可求；
(2)由点E是劣弧DC的中点，根据垂径定理的推论可得OF⊥CD，CF=12CD；解直角三角形△ODF，OF可得，OE−OF=EF．
本题主要考查了垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形的知识点，通过解直角三角形求出OF的长是解题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/DM，AD//BC．
∴△ABG∽△MDG，△ADG∽△FBG．
∴AGGM=BGDG，GFAG=BGDG．
∴AGGM=GFAG．
∴AG2=GF⋅GM．
(2)∵AB//DM，
∴∠BAG=∠M．
∵∠BAG=∠BCG，
∴∠M=∠BCG．
∵∠MGC=∠FGC，
∴△GCF∽△GMC．
∴CGGM=GFCG，即CG2=GF⋅GM．
∵AG2=GF⋅GM，
∴CG2=AG2．
∴CG=AG．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE=CE．
∴GE⊥AC，即BD⊥AC．
∴平行四边形ABCD是菱形．
【解析】(1)由平行线的性质和相似三角形的平行判定法，可得到△ABG∽△MDG、△ADG∽△FBG，再利用相似三角形的性质得结论；
(2)利用“两角对应相等”先说明△GCF∽△GMC，再利用等腰三角形的三线合一说明BD⊥AC，最后利用菱形的判定方法得结论．
本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的判定方法、等腰三角形的判定和性质等知识点是解决本题的关键．
24.【答案】解：(1)抛物线的方程为f(x)=ax2−2ax+a−1=a(x−1)2−1，
∴抛物线的顶点坐标为(1,−1)；
(2)A为抛物线与y轴的交点，
∴A点坐标为(0,a−1)，
线段OA上的整点个数小于4，
则可知a−1<4，a<5，
故a的取值范围为0(3)已知f(−1)、f(0)、f(3)、f(4)有且只有一个大于0，(即其余的小于或等于0)
由题可知该函数对称轴为x=1，开口方向向上，
故有f(4)>f(3)=f(−1)>f(0)，
∴f(4)>0，
∴得16a−8a+a−1>0，
得a>19，
f(3)≤0，
得9a−6a+a−1≤0，
得a≤14，
取a=16，
f(x)=16x2−13x−56，
∴a的取值范围为19
【解析】(1)把抛物线代入顶点式为f(x)=a(x−1)2−1，即可求顶点坐标；
(2)抛物线与y轴的交点，横坐标为O，即A坐标为(0,a−1)，根据已知条件a−1<4，即可求a的取值范围为0(3)根据已知f(−1)、f(0)、f(3)、f(4)有且只有一个大于0，即其余的小于或等于0，由对称轴为x=1开口向上，可以得出f(4)>f(3)=f(−1)>f(0)，根据f(4)>0，f(3)≤0可以求a的范围，19本题考查二次函数的应用，解本题关键熟练掌握二次函数由一般式转为顶点式，抛物线的性质解不等式等．
25.【答案】(1)证明：如图1中，连接EM，过点M作MG⊥CD于G，则EG=CG=95，
在Rt△CGM中，CM=CGcsC=9535=3，
∴AD=CM，
∵AD//CM，
∴四边形AMCD是平行四边形．
(2)解：如图2中，过点E作EH⊥BC于H，过点M作MT⊥EC于T．
∵ME=MC，MT⊥EC，
∴CT=ET，
∴csC=CTCM=35，
设EC=6k，则CT=ET=3k，MC=ME=5k，
在Rt△CEH中，EH=45CE=245k，CH=35EC=185k，
∴MH=CM−CH=75k，
∴tan∠EMH=247，
∵∠FMB=∠EMC，
∴tan∠FMB=ABBM=4BM=247，
∴BM=76，
∴CM=BC−BM=296=5k，
∴CE=6k=295．
(3)如图3−1中，当公共弦经过点A时，过点D作DP⊥BC于P，则四边形ABPD是矩形．
∴AD=BP=3，
在Rt△CDP中，csC=PCCD=35，
∵CD=5，
∴PC=3，AB=PD=4，
∴BC=3+3=6，
设CM=AM=x，
在Rt△ABM中，则有x2=42+(6−x)2，
解得x=133，
∴⊙M的半径为133．
如图3−2中，当公共弦经过点D时，连接MD，MP，过点M作MN⊥AD于N．
设CM=ME=MP=x，则DN=x−3，
∵DM2=MN2+DN2=MP2−DP2，
∴42+(x−3)2=x2−32，
∴x=173，
综上所述，满足条件的⊙M的半径为133或173．
【解析】(1)如图1中，连接EM，过点M作MG⊥CD于G，则EG=CG=95，通过计算证明AD=CM，可得结论．
(2)如图2中，过点E作EH⊥BC于H，过点M作MT⊥EC于T.由csC=CTCM=35，设EC=6k，则CT=ET=3k，MC=ME=5k，在Rt△CEH中，EH=45CE=245k，CH=35EC=185k，想办法构建方程，求解即可．
(3)分两种情形：如图3−1中，当公共弦经过点A时，过点D作DP⊥BC于P，则四边形ABPD是矩形．如图3−2中，当公共弦经过点D时，连接MD，MP，过点M作MN⊥AD于N.分别求解即可．
本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，直角梯形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．年龄(单位：岁)
13
14
15
16
17
频数(单位：名)
12
15
x
14−x
9