2024学年广西南宁市西乡塘区第二十四中学八年级下学期3月数学月考试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每题3分，满分36分）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．=，故不是最简二次根式；
B．=，故不是最简二次根式；
C．是最简二次根式；
D．=，故不是最简二次根式；
故选C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式．
2. 以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 3，4，5C. 4，5，6D. 5，6，7
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项分析判断即可．
【详解】 不能构成直角三角形，故A选项错误；
可以构成直角三角形，故B选项正确；
不能构成直角三角形，故C选项错误；
不能构成直角三角形，故D选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
3. 如图，在平行四边形中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质得出，再由平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵平行四边形中， ，，
∴
∴
∴
∴
故选：B．
4. 如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 处， 旗杆折断之前的高度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出的长，再由旗杆折断之前的高度是求解即可．
【详解】解：由题意得，
，
，
米，
旗杆折断之前的高度是18米，
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意并能灵活运用知识是解题的关键．
5. 如图，四边形两条对角线相交于点，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
【详解】解：四边形两条对角线相交于点，且互相平分，
四边形是平行四边形，
，
当或时，均可判定四边形是菱形；
当时，可判定四边形是矩形；
当时，
由得：，
，
，
四边形是菱形；
故选：C．
【点睛】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．
6. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
根据平行四边形的性质得出，再由三角形中位线的判断和性质求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴；
又∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴；
故选：B．
7. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式加减法运算法则判断A和B，根据二次根式乘除法运算法则判断C和D．
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式乘除法运算法则是解题关键．
8. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】平行四边形的对角线相互平分，故的长度可知，且在中，运用勾股定理可求的长度，且平行四边形中对边对应相等，长度可求．
【详解】解：∵平行四边形的对角线相互平分，
∴，
又∵，故为直角三角形，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
且平行四边形中，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理，解题的关键在于掌握平行四边形的对角线相互平分．
9. 如图，在中，将折叠，使点 B 恰好落在边 上，与点重合， 为折痕，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设未知数利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】∵在中，
∴
∵将折叠，使点 B 恰好落在边 上，与点重合，
∴，
∴
设，则
∴在中，
即，解得
∴
故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是设未知数列出方程．
10. 如图，从一个大正方形中裁去面积为6cm2和15cm2的两个小正方形，则留下阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据小正方形的面积得到边长即可得到大正方形的边长，根据阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣两个小正方形的面积即可得出答案．
【详解】解：∵两个小正方形的面积为15和6，
∴两个小正方形的边长为，，
∵大正方形的边长为：+，
∴阴影部分的面积＝（+）2﹣6﹣15
＝15+2××+6﹣6﹣15
＝6（cm2），
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的应用，根据小正方形的面积得到边长，进而得到大正方形的边长是解题的关键．
11. 如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A. 2c﹣bB. ﹣bC. bD. ﹣2a﹣b
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据数轴可以得到a＜b＜0＜c，然后根据绝对值的性质，以及算术平方根的性质化简即可．
【详解】根据数轴可以得到：a＜b＜0＜c，且|a|＞|c|，则a+c＜0，c﹣b＞0，则原式=﹣a+（a+c）+（c﹣b）=﹣a+a+c+c﹣b=2c﹣b．
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，解答此题，要弄清以下问题：
（1）定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根，当a=0时，0，当a小于0时，二次根式无意义．
（2）性质：|a|．
12. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM＝AP，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利用面积相等求出AP的长，即可得AM．
【详解】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴，
∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，
又∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF为矩形，
∵M 为 EF 中点，
∴M 也是 AP中点，即AM＝AP，
故当AP⊥BC时，AP有最小值，此时AM最小，
由，可得AP＝，
AM＝AP＝；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，确定出AP⊥BC时AM最小是解题关键．
二、填空题（每题2分，满分12分）
13. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
由题意知，，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
故答案为：．
14. 菱形的一条对角线长为，面积是，则菱形的另一条对角线长为___cm．
【答案】2
【解析】
【分析】根据菱形的面积等于两条对角线的积的一半，即可求得．
【详解】解：设菱形的另一条对角线长为xcm，则
×6×x=6cm2，
∴x=2cm．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查菱形的性质，属于基础题，注意掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．
15. 如图，在中，，点D是的中点，，则_____．
【答案】4
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求解．
【详解】∵，D为中点，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
16. 如图，点P是平分线上一点，于B，且，，，则的面积是______．
【答案】18
【解析】
【分析】根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：过P作于D，
点P是的平分线上一点，于B，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
故答案为18．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
17. 数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．请你利用公式解答下列问题：在中，已知，，，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，先求得三角形周长的一半的值，然后代入公式，化简即可求解．
【详解】解：∵为三角形周长的一半，，，，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
18. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，和，和是这个台阶的两个端点，点上有一只蚂蚁想到点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为_________.

【答案】
【解析】
【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．
【详解】解：展开图为：

则AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，
在Rt△ABC中，AB==125cm．
所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．
故答案为：125．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．
三、解答题（满分66分）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查实数的混合运算，负整数指数幂，零次幂，绝对值化简，熟练掌握运算法则是解题关键．
先计算负整数指数幂，零次幂，绝对值化简，然后计算加减法即可．
【详解】解：
20. 先化简，再求值：，其中
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把括号内的式子通分，再把除法变成乘法，然后约分化简，最后代值计算即可．
详解】解；
，
当时，原式．
21. 如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形格点上．
（1）求的长；
（2）判断是否为直角三角形，并说明理由；
（3）求点C到边的距离．
【答案】（1） （2）不是；理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，组合图形求面积，观察图形，确定合适的直角三角形运用勾股定理是解题的关键．
（1）利用网格及勾股定理求解即可；
（2）根据勾股定理在网络图直角三角形中，求三角形三边的平方，根据勾股定理逆定理判断是否构成直角三角形；
（3）由面积法：运用组合图形求出三角形面积，利用三角形面积公式构建方程求解．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
不是；理由如下：
由勾股定理，
，，
∴
∴三角形不是直角三角形．
【小问3详解】
根据图象得：，
∵
∴设点C到边的距离为，
则，
解得．
∴点C到边的距离为．
22. 如图，在中，点E，F分别在上，且，连接交于点O，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先利用平行四边形的性质证明，再利用证明即可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质，证明是解题的关键．
23. 下面是夏红同学对题目的计算过程，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：已知，求的值．
原式…………………第一步
………………………………第二步
………………………………………第三步
将代入上式，得
原式………………………………第四步
………………………第五步
．………………………………………第六步
任务一：填空：
①在化简步骤中，第 步是进行分式的通分．
②第 步开始出错，错误的原因是 ．
任务二：请写出该题计算的正确过程．
【答案】任务一：①一；②五，分子没有乘；任务二：．
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．根据分式的化简求值，分母有理化进行计算即可求解．
【详解】解：任务一：①在化简步骤中，第一步是进行分式的通分，
故答案为：一．
②第五步开始出错，错误的原因是：分子没有乘．
故答案为：五，分子没有乘．
任务二：原式
=．
24. 已知：如图，是的角平分线，交于点E，交于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，试求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）120
【解析】
【分析】（1）证明四边形是平行四边形，，再证，即，即可得出结论；
（2）连接交于点O，根据菱形的性质得出，，，利用勾股定理求得，从而可得，再利用菱形的面积公式计算即可．本题考查平行四边形的判定、勾股定理、菱形的判定与性质、菱形的面积公式及角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
【小问2详解】
解：如图，连接交于点O，

由（1）可知，四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
25. 在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h（即），并在离该公路100 m处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．另外一条公路在y轴上，AO为其中的一段．
(1)求点B和点C的坐标；
(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15 s，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速．(参考数据：≈1.7)
【答案】见解析
【解析】
【详解】试题分析:根据方位角的概念,得出∠BAO=60°,∠CAO=45°,由∠BAO=60°可得∠ABO=30°,进而可得AB的值,然后在Rt△ABO中由勾股定理可求出OB的值,（2）判断是否超速就是求BC的长,然后比较即可.
解：(1)在Rt△AOB中，
∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴OA＝AB.
∵OA＝100 m，∴AB＝200 m.
由勾股定理，得OB＝＝100(m)．
在Rt△AOC中，∵∠CAO＝45°，∴∠OCA＝∠OAC＝45°.
∴OC＝OA＝100 m．∴B(－100，0)，C(100，0)．
(2)∵BC＝BO＋CO＝(100＋100)m，≈18>，
∴这辆汽车超速了．
26. （1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的；①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是 ；（只填序号）
（2）【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点O，，，，之间的数量关系为，请你给出证明；
（3）【性质应用】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长．
【答案】（1）③④；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊平行四边形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定：
（1）根据菱形和正方形的性质即可得到答案；
（2）先根据勾股定理得到，，，，即可推算出；
（3）先根据正方形的性质证明，再证明，得到四边形是垂美四边形，再结合（2）的结论即可求出．
【详解】解：（1）∵菱形和正方形的对角线相互垂直，矩形和平行四边形的对角线不一定垂直，
∴只有正方形和菱形时垂美四边形，
故答案：③④；
（2）∵，
∴，，，，
∴，，
∴；
（3）如下图所示，设，交于点M，，交于点N，连接，
由正方形的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是垂美四边形，
根据（2）得，
∵，，
∴，
∵正方形和正方形，
∴，
∴，
∴．