河南省平顶山市汝州市2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟．
2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上．
3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 计算（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了0指数幂的计算，根据任何非零数的0指数幂都为1即可求解．
【详解】解：，
故选：A．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘运算法则解答即可．
【详解】解：
故答案为C．
【点睛】本题考查了同底数幂的运算法则，掌握同底数幂相乘，底数不变、指数相加是解答本题的关键．
3. 下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及单项式的乘方法则逐一计算可得．
【详解】A．b4•b4=b8，此选项计算错误；
B．（x3）3=x9，此选项计算错误；
C．a10÷a9=a，此选项计算正确；
D．（﹣3pq）2=9p2q2，此选项计算错误．
故选C．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
4. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式特点逐项分析即可．
【详解】解：A、由于两个括号中含x项的符号相反，含y项的符号相同，故能使用平方差公式，不符合题意；
B、由于两个括号中含x项的符号相同，含y项的符号相反，故能使用平方差公式，不符合题意；
C、由于两个括号中含x项符号相反，含y项的符号相同，故能使用平方差公式，不符合题意；
D、由于两个括号中含x项的符号相反，含y项的符号相反，故不能使用平方差公式，符合题意；
故选：D．
5. 若，则p、q的值是（ ）
A. 2，B. ，C. ，8D. 2，8
【答案】A
【解析】
【分析】首先把根据多项式乘法法则展开，然后根据多项式的各项系数即可确定p、q的值．
【详解】解：∵，
而，
∴，．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了多项式的乘法法则和多项式各项系数的定义，解题关键就是利用它们确定p、q的值．
6. 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查列代数式，根据不同的方法表示出阴影部分的面积即可．
【详解】解：A、三个阴影部分的面积分别为、、，所以阴影部分面积为，故该选项符合题意；
B、上半部分阴影面积为：，下半部分阴影面积为：，所以阴影部分面积为：，故该选项不符合题意；
C、左半部分阴影面积为：，右半部分阴影面积为：，所以阴影部分面积为：，故该选项不符合题意；
D、大长方形面积：，空白处小长方形面积：，所以阴影部分面积为：，故该选项不符合题意；
故选：A．
7. 若二次三项式是一个完全平方式，则的可能值是（ ）
A. B. 12C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方式的概念进行判断即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴m= 2×2×3=，
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方式，掌握完全平方式为或是解题关键．
8. 若乘积中不含项，则p的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据多项式乘以多项式计算，然后令项的系数为0，即可求得p的值
【详解】解：∵
∵不含项
∴
即
故选B
【点睛】本题考查了多项式乘法中无关类型，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
9. 如图，点B是线段CG上一点，以BC，BE为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设CG＝6，两个正方形的面积之和S1+S2＝16，则阴影部分△BCE的面积为（ ）
A. 4B. 5C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】设BE=a，BC=b，则由题意得，，，然后根据进行求解即可．
【详解】解：设BE=a，BC=b，
∴，，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方公式是解题的关键．
10. 我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（ ）
A. 15B. C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据上面规律，先找出的展开式中各项系数，再确定展开后的各项系数，即可确定展开后的各项系数，从而得出答案．
【详解】解：由题意可知：每个数等于上方两数之和，
∴的展开式中系数从左向右分别是1，5，10，10，5，1，
∴的展开式中系数从左向右分别是1，6，15，20，15，6，1，
∴展开后的各项系数为：1，，15，，15，，1．
∵含项的b是奇数次方，
∴含项的系数是．
故选：B．
【点睛】本题考查了二项和的乘方的展开，运用杨辉三角来确定展开式中各项系数是解决本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 科学家发现一种病毒的直径为0.00045微米，则用科学记数法表示为_____微米．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12. 若，则_________．
【答案】6
【解析】
【分析】利用单项式乘多项式的运算法则展开，再根据等式的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了单项式乘多项式，等式的性质，掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
13. 已知，则代数式的值为 _______．
【答案】14
【解析】
【分析】根据，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
即：，
∴；
故答案为：14．
【点睛】本题考查分式的求值．解题的关键是将进行平方运算．
14. 对于实数a，b，c，d，规定一种运算，如，那么当时，则______．
【答案】22
【解析】
【分析】由题中的新定义可知，此种运算为对角线乘积相减的运算，化简所求的式子得到关于x的方程，然后解方程即可求出x的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：22．
【点睛】本题考查了新定义运算，及灵活运用新定义的能力，根据新定义把所给算式转化为一元一次方程是解答本题的关键．
15. 设，计算A所得结果的数的个位数字是______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据平方差公式，算出结果，进而即可得到答案．
【详解】解：
=
=
=
=
=
=1024×64-1
=65535，
∴A个位数字是：5．
故答案是：5．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．
三、解答题（共8题，共75分）
16. 计算下列各题．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）先算积的乘方，再算单项式乘单项式，然后合并同类项即可；
（2）先算积的乘方，再算单项式除以单项式，然后合并同类项即可；
（3）根据平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
（4）根据完全平方公式和多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式和平方差公式的应用．
17. 先化简，再求值： 其中.
【答案】4
【解析】
【分析】先化简，再将a、b的值代入计算即可．
【详解】解：原式
；
，
．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的运算是解题的关键．
18. 已知x+y=3，xy=2． 求下列各式的值．
（1）x2+y2
（2）(x-1)(y-1)
【答案】（1）5；（2）0
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式可得x2+y2=（x+y）2-2xy，然后再代入数据进行计算即可；
（2）先根据多项式乘以多项式法则展开，再代入求出即可．
【详解】解：（1）∵x+y=3，xy=2，
∴x2+y2=（x+y）2-2xy=32-2×2=9-4=5；
（2）∵x+y=3，xy=2，
∴（x-1）（y-1）=xy-x-y+1=xy-（x+y）+1=2-3+1=0．
【点睛】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式，能熟记多项式乘以多项式法则和乘法公式是解此题的关键．
19. 小明想把一张长为、宽为的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形．

（1）若设小正方形的边长为，求图中阴影部分的面积；
（2）当时，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）当时，阴影部分的面积为
【解析】
【分析】（1）由题意知，阴影部分的长为，宽为，则；
（2）当时，．
【小问1详解】
解：由题意知，阴影部分长为，宽为，
∴，
答：图中阴影部分的面积为；
【小问2详解】
解：当时，，
答：当时，阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了列代数式，多项式乘多项式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
20. 已知关于的多项式，当时，完成下列各小题．
（1）求多项式A；
（2）①若，求多项式的值；
②若，求多项式的值．
【答案】（1）；（2）①3；②3．
【解析】
【分析】（1）由减法的意义可得：再按照单项式乘以多项式，完全平方公式计算整式的乘法，再合并同类项即可得到结论；
（2）①由，可得可得： 再代入代数式求值即可得到答案；②由再整体代入求值即可得到答案．
【详解】解：（1） ，



（2）① ，





②

【点睛】本题考查的是乘方的含义，整式的乘法运算，完全平方公式的运用，零次幂的含义，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．
21. 将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
（1）已知，，求：
①的值；
②的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据幂的运算逆向思维方法即可求解；②根据幂的运算逆向思维方法即可求解；
（2）将变形为底数都为的形式，根据幂的运算法则，再根据解一元一次方程得方法即可求解．
【小问1详解】
解：已知，，
∵，
∴；
∴的值是；
②，
∴的值是．
【小问2详解】
解：变形得，，
∴，
∴，解方程得，，
∴的值是．
【点睛】本题主要考查整式的乘法，除法运算法则，解一元一次方程，掌握整式的混合运算法则，解一元一次方程的方法是解题的关键．
22. 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式图将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式： ；
（2）如果图中的、满足，，求的值；
（3）已知，求．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）依据该图形的总面积为或可得结果；
（2）由（1）题结果可得，将，可求得即的值；
（3）设，，则，依据代入计算可求得即可求出．
【小问1详解】
解：该图形的总面积为：或
故答案为：；
【小问2详解】
由（1）题结果可得，
∴当，时，
，
∴；
【小问3详解】
设，，
∴，
则，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的证明及应用；解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
23. 配方法是数学中重要的一种思想方法． 它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）①已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式 ；
②若可配方成（m、n为常数），则 ；
探究问题：
（2）①已知，则 ；
②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由．
拓展结论：
（3）已知实数x、y满足，求的最值．
【答案】（1）①；②；
（2）①；②详见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键．
（1）①把29分为两个整数的平方即可；
5原式利用完全平方公式配方后，确定出与的值，即可求出的值；
（2）①已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值；
②根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可；
（3）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．
【详解】解：（1）①根据题意得：；
故答案为：；
②根据题意得：，
，，
∴；
故答案为：；
（2）①∵，
∴，
∴，
，，
，，
解得：，，
∴；
故答案为：；
②当时，为“完美数”，理由如下：
，
，是整数，
，也是整数，
一个“完美数”；
（3），
，即，
，
，
∵，
∴，
∴
∴当时，最大，最大值为．