辽宁省大连市第五十五中学2023-2024学年八年级下学期数学3月份月考试题（原卷版+解析版）

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第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【详解】解：A．，因此不是最简二次根式，故A不符合题意；
B．，因此不是最简二次根式，故B不符合题意；
C．是最简二次根式，故C符合题意；
D．，因此不是最简二次根式，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则计算，进而得出答案．
【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，故此选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3. 在二次根式中．x的值可以是（ ）
A. B. 2C. 1D. 0.5
【答案】A
【解析】
【分析】根据被开方数是非负数和分母不等于0列式求解即可．
【详解】解：由题意得
，
∴或，
∴或，
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，以及不等式组的解法，熟练掌握二次根式有意义被开方数大于或等于0、分式有意义分母不等于0是解答本题的关键．
4. 下列化简正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的除法运算可判断A，根据二次根式的性质与化简可判断B，C，D，从而可得答案．
【详解】解：A、，运算正确，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选A．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质及化简，二次根式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5. 如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为（ ）
A. 225B. 200C. 150D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，正方形和正方形的面积和．
【详解】在中，．
正方形和正方形的面积和．
故选：A
6. 如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意得，，
故选B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键：在一个直角三角形中，两直角边为a、b，斜边为c，那么．
7. 海伦–秦九韶公式告诉我们，若一个三角形三边长分别为a、b、c，记，三角形的面积为，如图，请你利用海伦–秦九韶公式计算的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题目所给公式代值计算即可．
【详解】解∶由题意得，
故选∶C．
8. 如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理计算出的长度，进而求得该点与点A的距离，再根据点A表示的数为，可得该点表示的数．
【详解】解：在长方形中，，
∴，
则点A到该交点的距离为，
∵点A表示的数为，
∴该点表示的数为：，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．
9. 为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的小明正对门缓慢走到离门1.2米处时（即米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离等于（ ）
A. 0.5米B. 1.2米C. 1.3米D. 1.7米
【答案】C
【解析】
【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可．
【详解】解：如图，过点D作于点E，
∵米，米，米，
∴（米）．
在中，由勾股定理得到：（米），
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．
10. 如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则a＋b的值是（ ）
A. 6B. 5C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据即可求解．
【详解】解：因为大正方形的面积是，小正方形的面积是，
所以一个小三角形的面积是，三角形的斜边为，
所以，，
所以，
所以．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、完全平方式等知识点，正确根据图形的关系求得和ab的值是解答本题的关键．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. ___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式定义可得，解方程即可得．
【详解】解：∵，
又最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得：，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式，熟记相关概念是解题关键．
13. 如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为_______________.
【答案】##
【解析】
【分析】连接AD，根据半径相等，得出，再根据勾股定理即可求出DE的长，即可得出CD的长．
【详解】连接AD，
∵以点A为圆心，AB长为半径作弧，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了在格点图中勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并作出正确的辅助线是本题的关键．
14. 已知：在中，，，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点A作交延长线于H，利用平角的定义和三角形内角和定理求出，则，，利用勾股定理得到，代值计算即可．
【详解】解：如图所示，过点A作交延长线于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，即，
∴（负值舍去），
故答案：．
15. 如图所示，已知中，，，，点P是边上的一个动点，点P从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，设运动的时间为（），若是以为腰的等腰三角形，则运动时间____．
【答案】或或
【解析】
【分析】分情况讨论：，，画出图形分别求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
如图1，，
∴；
如图2，，
∴，
∴；
如图3，，
过点B作于D，则，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
综上所述，t的值是或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题共7小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后化简二次根式并计算二次根式除法，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：
17. 已知：如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，且，据此根据进行求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，且，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
18. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，点、分别为、的中点，连接、．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质证明，问题即解决．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点、分别为、中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这两个知识点是解题的关键．
19. 如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．
（1）求证：DF⊥AB；
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）首先证明△ABC和△DEC全等，从而得出∠BAC=∠EDC，根据∠EDC+∠CED=90°，∠CED=∠AEF，从而得出∠AEF+∠BAC=90°，即垂直；
（2）根据，然后将各线段的长度代入即可得出答案.
【详解】解：（1）∵△ABC≌△DEC，
∴∠BAC=∠EDC，
∵∠EDC+∠CED=90°，∠CED=∠AEF，
∴∠AEF+∠BAC=90°，
∴∠AFE=90°，
∴DF⊥AB．
（2）∵S△BCE+S△ACD=S△ABD﹣S△ABE，
∴a2+b2=•c•DF﹣•c•EF=•c•（DF﹣EF）=•c•DE=c2，
∴a2+b2=c2
【点睛】本题主要考查的就是全等三角形的判定、角度之间的关系和阴影部分面积的两种不同的求法.解决这个问题的关键就是根据全等得出角度之间的关系以及对顶角的性质的应用，在利用面积求等量关系的时候，我们经常会利用面积相等的法则，运用两种不同的计算方法得出等量关系．
20. 观察、思考、解答：
反之
（1）仿上例，化简：______，______．
（2）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由；
【答案】（1），
（2）；理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；
（1）仿照例子，根据完全平方公式的特点化简即可；
（2）由题意知，，用完全平方公式，再进行比较即可确定m、n与a、b关系．
【小问1详解】
解：；
；
故答案为：，；
【小问2详解】
∵，
∴
即，
∴
21. 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，试判断和、之间的数量关系．
小明发现，利用轴对称做一个变化，在上截取，连接，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）．
请回答：
（1）在图2中，小明得到的全等三角形是 ；
（2）和、之间的数量关系是 ．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形中，平分，．求的长．
【答案】（1），；（2）；解决问题：
【解析】
【分析】（1）由容易证明；
（2）由，得出，再求出，得出，即可得出结论；
解决问题：在上截取，连接，先证明，得出，，过点C作于点F，设，在和中，根据勾股定理求出x，即可得出结果．
【详解】解：（1）平分，
，
又，
，
故答案为：，；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
解决问题
如下图，在上截取，连接，
平分，
，
又 ，
，
，
过点C作于点F，
，
设，
中，，由勾股定理得，
在中，，由勾股定理得，
，
解得，
，
的长为21．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，勾股定理、等腰三角形的判定与性质，通过作辅助线证明三角形全等是解答本题的关键．
22. 在四边形中，，，．
（1）为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处），当点落在边上时，利用尺规作图，在图中作出满足条件的图形（不写作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑）．并直接写出此时_______；
（2）点为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长．
【答案】（1）图形见解析，
（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理：
（1）以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求；设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案；
（2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时．
【小问1详解】
如图所示，以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求．
设，则．
根据图形折叠的性质可知
，．
在中
．
则．
在中
，即
．
解得
．
即．
【小问2详解】
①如图所示，当点在线段上时．
设，则．
根据图形折叠的性质可知
，，．
在中
．
则．
在中
，即
解得．
即．
②如图所示，当点在线段的延长线上时．
根据图形折叠的性质可知．
∵，
∴．
∴．
∴．
在中
．
∴．
综上所述，或．
23. 已知：等腰，，．
（1）如图1，直线过点，过点作于，连接．
①填空：_______°；
②求的值．
（2）如图2，，连接，求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、多边形内角和定理、等腰三角形的性质及判定：
（1）①根据，，即可求得答案；②延长至点，使，先证得，进而可求得；
（2）过点作的垂线，使得，可知，可得，证得，可得．
【小问1详解】
①∵，，，
∴．
故答案为：
②如图所示，延长至点，使，连接．
∵，，
∴．
在和中
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
【小问2详解】
如图所示，过点作的垂线，使得，连接，可知．
在中
．
∵，，，，
∴．
在和中
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．