上海市位育中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

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（考试时间100分钟，总分100分命题：薛晓燕）
一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.
1. 把时钟拨快1小时，则时针走过的弧度数是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求得角度，结合角度和弧度的相互转化，即可求得结果.
【详解】始终拨快1小时，则时针顺时针旋转，
故走过的弧度数为.
故答案为：.
【点睛】本题考查角度和弧度的转化，属简单题.
2. 若角的终边经过点，且，则________.
【答案】
【解析】
【分析】借助三角函数定义计算即可得.
【详解】由三角函数定义可知，
即，解得.
故答案为：.
3. 已知扇形的面积为9，圆心角为2rad，则扇形的弧长为______．
【答案】6
【解析】
分析】联立公式和，即可得到本题答案.
【详解】设半径为，弧长为，
由题得，，，
②代入①得，，所以，则.
故答案为：6
4. 把化为，的形式：________
【答案】
【解析】
【分析】利用辅助角公式将转化为即可.
【详解】因为，
所以形式即为.
故答案为：.
【点睛】本题考查辅助角公式简单应用，难度较易.注意.
5. 已知，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】借助弦切互化计算即可得.
【详解】由，故，
故.
故答案为：.
6. 已知，则_______ .
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式直接求解即可.
【详解】.
故答案为：
7. 已知，则可用k表示为____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据同角关系即可求解.
【详解】由可得，
故，且，
又，
故，
故答案为：
8. 已知，且，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意利用两角和差公式分析求解.
【详解】因为，
由题意可得，即，
且，可知.
故答案为：.
9. 已知点P是直线上一点，将绕坐标原点逆时针旋转至，此时点恰好在直线上，则实数_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数的定义，结合正切的和差角公式即可求解.
【详解】设是终边上一点，是终边上一点，则，且，
故，
故，
故答案为：
10. 在中，，，要使被唯一确定，那么的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据利用正弦定理，结合三角形有1个解的条件即可求解.
【详解】根据题意，，，
由正弦定理得：，则，
三角形只有一个解，则或，
则或，即或，
所以的取值范围是.
故答案为：.
11. 已知x，y均为正数，，且满足，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：因为，所以而所以由得，因此或∵x、y为正数， ∴
考点：同角三角函数关系，消参数
12. 在角、、、…、的终边上分别有一点、、、…、，如果点的坐标为，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式将点的坐标变为，然后根据三角函数定义可得，再利用诱导公式及两角差的正弦即可得到结果.
【详解】，即
由三角函数定义知
=
.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查的是诱导公式，三角函数定义的理解和应用，两角和的正弦公式，考查学生的分析问题和解决问题的能力，是中档题.
二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.
13. 已知 {第二象限角}，{钝角}，{大于90°角}，那么关系是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用任意角象限角的概念逐一分析判断得解.
【详解】对A，如在集合里，但是并不是钝角，所以不在集合里，所以选项A错误；
对B，钝角大于90°，小于180°，故，故选项B正确；
对C，错误，如在第二象限，但是并不大于，所以选项C错误；
对D，错误. 如在第二象限，但是并不在集合中，故D错误.
故选：B
14. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质和充分和必要条件的概念即可判断．
【详解】在中，，且，则，
即等价于，
因为是的真子集，
所以在中，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A．
15. 若，则化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二倍角公式化简，结合三角函数的性质判断正负即可求解.
【详解】，
由于，所以，故，,
故，
进而，
故选：D
16. 已知、、均为锐角，在、、三个值中，大于的个数的最大值为，小于的个数的最大值为，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得，，从而可求的m的值，举例可得n的值，即可得出答案.
【详解】因为、、为锐角，
则，当且仅当时取等号，
同理可得，
故不可能有3个数都大于，所以最多2个数大于，
所以，例如；
例如，则，
即三个数均可能小于，则；
所以.
故选：C.
三、解答题（本大题共有5题，满分42分）
17. 化简：
【答案】
【解析】
【分析】根据题意利用诱导公式和两角和差公式分析求解.
【详解】由题意可得：原式.
18. 已知，，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】借助降幂公式与辅助角公式，同角三角函数的基本关系与二倍角公式计算即可得.
【详解】，
即，由，故，
故，
则.
19. 已知，，，求.
【答案】
【解析】
【分析】观察可得,根据角的范围分别得到和,解得后即可得到的值
【详解】,
,
由题,,
又
【点睛】本题考查和（差）角公式,考查已知值求值,需注意用角的范围来确定三角函数值的符号
20. 记的内角所对的边分别是，且满足.
（1）证明：；
（2）若的面积为，求；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两角和、差正弦公式化简后可证.
（2）根据正弦定理可将面积转化为角的三角函数关系式，化简后可得，结合（1）中结果可求.
【小问1详解】
由得，
则，
得， 若，则，
则均为直角，与题设矛盾， 故，故，
故，故.
【小问2详解】
，
所以，则，
，
从而，
又，从而，，
所以.
21. 已知，其中，都是常数，且满足.
（1）当，时，求的取值范围；
（2）是否存在，，使的值是与无关的定值?若存在，求出，的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，，
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，代入，，结合余弦函数的有界性分析求解；
（2）根据题意结合（1）的解析式分析可得，结合，的取值范围分析求解.
【小问1详解】
由题意可得：
，
若，，
则，
因为，可得，
所以的取值范围为.
【小问2详解】
存在，，，理由如下：
由（1）可知：，
若是一个与无关的定值，
可知，此时为常数．
即，两式平方相加得：，
且，则，
可得或，
①若，即，
由得，
则，且，可得或，
可得(经检验满足方程)，或（舍去），
②若，即，
由得，
则，且，可得或，
可得或（舍去），
将代入检验不成立；
综上所述：，.
【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换化简，结合题意可得，进而求方程组即可.