期末试卷02-高二数学同步精品讲义（人教A版选择性必修第二、三册）

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选择题（1-8每小题5分，共计40分）
1．设函数，则＝（ ）
A．0B．1C．D．以上均不正确
【答案】A
【解析】
【分析】
先求的值再求导，实质是常数的导数为0.
【详解】
因为为常数，所以.
故选：A.
2．已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（ ）
A．－34B．－672C．84D．672
【答案】B
【解析】
由二项式系数公式求得，再根据通项公式令指数为0解出参数然后代回公式求得常数项.
【详解】
由已知，，则，所以.
令，得，所以常数项为，
故选：B．
【点晴】
方法点晴：求二项式展开式的指定项问题，一般由通项公式建立方程求参数，再代回公式求解.
3．某校得到北京大学给的10个推荐名额现准备将这10个推荐名额分配给高三年级的6个班级(每班至少一个名额)，则高三（1）班恰好分到3个名额的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用隔板法，结合古典概型即可得到结果.
【详解】
将10个名额分给6个班，每班至少一个名额，
即从9个分段中选择5个段分开，共有种方法，
若三（1）班恰好分到3个名额，则只需将剩下的7个名额分给5个班，共有方法，
从而概率为.
故选：B
4．如图所示，函数的图象在点处的切线方程是则（ ）
A．B．1C．2D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
由导数的几何意义得出，再求.
【详解】
由题中图象知，
由导数的几何意义知，
．
故选：B
5．已知等比数列的前项积为，若，，则当取最大值时，的值为（ ）
A．10B．8C．6D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为，由已知求得，写出通项公式，然后求得积，确定在为偶数时，计算出（），再说明且为偶数时，即得．
【详解】
解：设等比数列的公比为，则，解得，所以，
所以，所以当取得最大值时，可得为偶数，
而在上单调递减，；；，则，且，
当且为偶数时，，
，所以，所以时，取得最大值．
故选：D．
6．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出全部的结果总数为，再求出琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的基本事件总数为，再利用古典概型的概率求解.
【详解】
从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为.从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为.
所以所求的概率，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.
7．若函数在上无极值，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求，由分析可得恒成立，利用即可求得实数的取值范围.
【详解】
由可得
，
恒成立，为开口向上的抛物线，
若函数在上无极值，
则恒成立，所以，
解得：，
所以实数的取值范围为，
故选：D.
8．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
令，可得，可得出，利用展开式通项可知当为奇数时，，当为偶数时，，然后令可得出的值.
【详解】
令，可得，则，
二项式的展开式通项为，则.
当为奇数时，，当为偶数时，，
因此，.
故选：A.
【点睛】
结论点睛：一般地，若.
（1）；
（2）展开式各项系数和为；
（3）奇数项系数之和为；
（4）偶数项系数之和为.
多项选择题（9-12每小题5分，共计20分）
9．现有6位同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每位同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数错误的是（ ）.
A．B．C．D．6×5×4×3×2
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据题意，每位同学都有5种选择，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】
根据题意，每位同学都有5种选择，共有（种）不同的选法，
所以A正确，B，C，D错误．
故选：BCD.
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝0，a4＝8，则（ ）
A．Sn＝2n2－6nB．Sn＝n2－3n
C．an＝4n－8D．an＝2n
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据已知条件求得，由此求得，从而确定正确选项，
【详解】
依题意，
，
所以.
故选：AC
11．下列命题为真命题的是（ ）
A．对具有线性相关关系的变量、，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是
B．从数字、、、、、、、中任取个数，则这个数的和为奇数的概率为
C．已知样本数据、、、的方差为，则数据、、、的标准差是
D．已知随机变量，若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】
利用回归直线过样本中心点可判断A选项的正误；利用古典概型的概率公式可判断B选项的正误；利用随机变量的方差性质可判断C选项的正误；利用正态密度曲线的对称性可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，由已知条件可得，，所以，回归直线过样本中心点，
将其代入线性回归方程中，得，解得，故A错误；
对于B，若任取个数，使得这个数的和为奇数，则这个数中一个为奇数，一个为偶数，
即所求的概率为，故B正确；
对于C，设离散型随机变量的取值为、、、，则随机变量的取值为、、、，
由已知条件可得，则，
所以，数据、、、的标准差是，故C正确；
对于D，由随机变量知，
由正态分布密度曲线的轴对称性可知，则，所以，，故D错误．
故选：BC．
【点睛】
方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.
12．下列等式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
选项A， 选项B， 选项D，利用排列数公式和组合数公式的阶乘形式表示并整理即可说明；选项C，由组合数性质还原化简即可判定.
【详解】
选项A，左边= =右边，正确；
选项B，右边左边，正确；
选项C，右边左边，错误；
选项D，右边左边，正确.
故选：ABD
【点睛】
本题考查排列数公式和组合数公式的运算，还考查了组合数公式的性质，属于中档题.
填空题（13-16每小题5分，共计20分）
13．在的展开式中，常数项为________.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】
利用二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】
二项式的通项公式为，
令，所以常数项为，
故答案为：
14．某照明单元按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则照明单元正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该照明单元的使用寿命超过2000小时的概率为________．
【答案】##0.375
【解析】
【分析】
根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及相互独立事件的概率公式，即可求解．
【详解】
解：设元件1，2，3的使用寿命超过2000小时的事件分别记为，，，显然，
则该照明单元的使用寿命超过2000的事件为，
故该照明单元的使用寿命超过2000小时的概率为．
故答案为：．
15．已知是上的减函数，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题知，解不等式组即可得答案.
【详解】
解：当时，为减函数，故
又因为是上的减函数，
所以，解得.
所以实数的取值范围为
故答案为：
16．甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，如果比赛采用“五局三胜”制（先胜三局者获胜），则甲获胜的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
甲胜这个事件拆分成三个互斥事件：前三局甲全胜，前三局甲胜2局第四局甲胜，前4局甲胜2局第5局甲胜，然后由互斥事件概率公式计算可得．
【详解】
“五局三胜”制，甲胜这个事件拆分成三个互斥事件：前三局甲全胜，前三局甲胜2局第四局甲胜，前4局甲胜2局第5局甲胜，
所以甲胜的概率为．
故答案为：．
解答题（17-22共计70分）
17.（本题10分）为研究质量x（g）对弹簧拉伸长度y（cm）的影响，将不同质量的砝码悬挂在竖直弹簧下端，静止时测量弹簧长度，得到如下数据：
(1)画出散点图；
(2)若散点图中的各点大致在一条直线的附近，求y关于x的回归直线方程.
【线性回归方程参考公式】
对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，其中和的均值分别为和，其中
.
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】
（1）根据表中的数据在直角坐标系描点即可，
（2）根据表中的数据和公式求解即可
【解析】
(1)散点图如图所示
(2)因为，
，
，
，
所以，
，
所以y关于x的回归直线方程为
18. （本题10分）在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间（单位：h），将样本数据分成[3，4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]五个组，并整理得到如图所示的频率分布直方图．
(1)已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数；
(2)已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记抽到的甲班学生人数为，求的分布列和均值；
(3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较与的大小．（只需写出结论）
【答案】(1)480；
(2)的分布列为
均值为1；(3)
【分析】
（1）从频率分布直方图中求出甲班每天学习时间达到5小时及以上的频率，进而求出该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为多少；（2）利用超几何分布求分布列和均值；（3）从甲、乙两个班学生每天的学习时间的频率分布直方图上看两个班的数据集中情况，进行判断方差的大小.
【解析】
(1)由甲班频率分布直方图知，甲班每天学习时间达到5小时及以上的频率为．
故该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为．
(2)甲班每天学习时间不足4小时的人数约为，乙班每天学习时间不足4小时的人数约为，
所以两个班每天学习时间不足4小时的学生共6人．从中随机抽取3人．则抽到的甲班学生人数的可能取值为0，1，2，且服从超几何分布，
，，，
所以的分布列为
方法一：．
方法二：．
(3)从甲、乙两个班学生每天的学习时间的频率分布直方图上来看，甲班的数据比较集中，乙班的数据相比甲班较为分散，故．
19. （本题12分）设为数列的前项和，已知，对任意，都有.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为.
①求；
②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）①；②.
【解析】
【分析】
（1）由递推公式，可得时，，两式相减，进而可得结果.
（2）①,用裂项相消法可得结果.
②由函数的单调性可得时，取最小值，进而可得结果.
【详解】
（1）因为，当时，，
两式相减，得，即，
所以当时，，所以.因为，所以.
（2）因为，令，，
所以.
①所以.
②因为在上是递减函数，所以在上是递增的，
所以当时，取最小值.
所以原不等式恒成立可得
20. （本题12分）4个男同学，3个女同学站成一排．
(1)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？
(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
(3)3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？
(4)其中甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，则有多少种不同的排法？
(5)若3个女同学身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？
【答案】(1)720；(2)1440；(3)144；(4)960；(5)840
【分析】
小问1：我们可视排好的女同学为一整体有种排法，再与男同学排队即可；
小问2：先将男同学排好，共有种排法，再利用插空法即可；
小问3：根据分步乘法计数原理先排男生再排女生即可；
小问4：先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，再把甲、乙看一整体排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中即可；
小问5：从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．再在余下的3个空位置中排女生按身高排列有一种排法，即可求解．
【解析】
(1)3个女同学是特殊元素，她们排在一起，共有种排法．我们可视排好的女同学为一整体，
再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有种排法．由分步乘法计数原理，得共
有（种）不同的排法；
(2)先将男同学排好，共有种排法，再在这4个男同学之间及两头的5个空当中插入3个女
同学有种方案，故符合条件的不同的排法共有（种）；
(3)3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有（种）；
(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有种排法；
由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有种排法；
最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中有种排法．
故总共有（种）不同的排法；
(5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．再在余下的3个空位置中排女
生，由于女生要按身高排列，故仅有1种排法．故总共有（种）不同的排法．
21. （本题12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和浓度（单位：），得下表：
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的列联表：
单位：
(3)根据（2）中的列联表，依据的独立性检验，分析该市一天空气中PM2.5浓度是否与浓度有关．
附：，
【答案】(1)
(2)列联表见解析
(3)认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关
【分析】
（1）利用古典概型的概率求解；
（2）根据抽查数据，完成列联表；
（3）根据（2）中的列联表的数据，求得，再结合求解.
【解析】
(1)根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150的天数为，
因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150的概率的估计值为．
(2)根据抽查数据，可得列联表：
(3)零假设为：该市一天空气中PM2.5浓度与浓度无关．
根据（2）中的列联表得．
依据的独立性检验，推断不成立，即认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关．
22. （本题14分）设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1），，，证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；
（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．
【详解】
（1）
［方法一］【最优解】：通性通法
由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即．
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.
则对任意的，都有成立；
［方法二］：构造法
由题意可得，．由得．，则，两式相减得．令，且，所以，两边同时减去2，得，且，所以，即，又，因此是首项为3，公差为2的等差数列，所以．
［方法三］：累加法
由题意可得，．
由得，即，，……．以上各式等号两边相加得，所以．所以．当时也符合上式．综上所述，．
［方法四］：构造法
，猜想．由于，所以可设，其中为常数．整理得．故，解得．所以．又，所以是各项均为0的常数列，故，即．
（2）由（1）可知，
［方法一］：错位相减法
，①
，②
由①②得：
，
即.
［方法二］【最优解】：裂项相消法
，所以．
［方法三］：构造法
当时，，设，即，则，解得．
所以，即为常数列，而，所以．
故．
［方法四］：
因为，令，则
，
，
所以．
故．
【整体点评】
（1）方法一：通过递推式求出数列的部分项从而归纳得出数列的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；
方法二：根据递推式，代换得，两式相减得，设，从而简化递推式，再根据构造法即可求出，从而得出数列的通项公式；
方法三：由化简得，根据累加法即可求出数列的通项公式；
方法四：通过递推式求出数列的部分项，归纳得出数列的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成，求出，从而可得构造数列为常数列，即得数列的通项公式．
（2）
方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；
方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；
方法三：由时，，构造得到数列为常数列，从而求出；
方法四：将通项公式分解成，利用分组求和法分别求出数列的前项和即可，其中数列的前项和借助于函数的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了运算．
x
5
10
15
20
25
30
y
7.25
8.02
8.92
9.91
10.9
11.7
0
1
2
0
1
2
PM2.5
32
18
4
6
8
12
3
7
10
PM2.5
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
PM2.5
64
16
10
10