2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第43讲利用空间向量求空间角和距离（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第43讲利用空间向量求空间角和距离（教师版），共23页。试卷主要包含了异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角，利用空间向量求距离等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．异面直线所成角
设异面直线a，b所成的角为θ，则cs θ＝eq \f(|a·b|,|a||b|)， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量．
2．直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cs〈a，n〉|＝eq \f(|a·n|,|a||n|)
3．二面角
(1)若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(CD,\s\up7(―→))的夹角，如图(1)．
(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α ­l ­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cs φ|＝|cs θ|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)，如图(2)(3)．
4．利用空间向量求距离
(1)两点间的距离
设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22＋z1－z22).
(2)点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|eq \(BO,\s\up7(―→))|＝eq \f(|\(AB,\s\up7(―→))·n|,|n|).
题型归纳
题型1 异面直线所成的角
【例1-1】已知直角梯形中，，，，将直角梯形（及其内部）以所在直线为轴顺时针旋转，形成如图所示的几何体，其中为的中点．
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角的大小．
【分析】（1）建立空间坐标系，得出，的坐标，根据向量的数量积为0得出直线垂直；
（2）计算和的夹角，从而得出异面直线所成角的大小．
【解答】（1）证明：，，，
平面，
以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：
设，则，1，，，0，，，0，，，，，
，，，，，，
，
．
（2）解：，0，，故，0，，
，，
设异面直线与所成角为，则，，
故．
【例1-2】在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值．
【分析】建立空间直角坐标系，只要证明，即可证明结论．
（Ⅱ），，，利用向量夹角公式即可得出．
【解答】证明：如图所示，，0，，，0，，，0，，，2，，，1，，，1，，
，2，，，1，，
由，
，
；
（Ⅱ）解：，，，
，．
异面直线与所成角的余弦值为．
【跟踪训练1-1】如图，四边形为平行四边形，且，点，为平面外两点，且，．
（1）证明：；
（2）若，求异面直线与所成角的余弦值．
【分析】（1）设与相交于点，连接，从而，推导出，从而平面，由此能证明．
（2）过作的垂线，交于点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：设与相交于点，连接，
由题意可得四边形为菱形，
所以，，
在和中，，，，
所以，
所以，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以．
（2）解：如图，在平面内，过作的垂线，交于点，
由（1）可知，平面平面，
所以平面，故直线，，两两互相垂直，
分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
因为，
则，，，，，，
所以，，
异面直线与所成角的余弦值为：
．
【名师指导】
用向量法求异面直线所成角的一般步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值．
题型2 直线与平面所成的角
【例2-1】如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．
（1）证明：平面；
（2）已知，为上的点，，求与平面所成角的正弦值．
【分析】（1）过在平面内作直线，推得为平面和平面的交线，由线面垂直的判定和性质，即可得证；
（2）以为坐标原点，直线，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求出，1，，运用向量法，求得平面的法向量，结合向量的夹角公式求解即可．
【解答】（1）证明：过在平面内作直线，
由，可得，即为平面和平面的交线，
平面，平面，，
又，，平面，
，平面；
（2）解：如图，以为坐标原点，直线，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
，为上的点，，
，，
则，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，作，则为平面与平面的交线为，
取，0，，则，0，，，1，，，1，，
设平面的法向量为，，，
则，，取，可得，0，，
，，
与平面所成角的正弦值为．
【例2-2】如图，在正方体中，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）根据正方体的性质可证得，再利用线面平行的判定定理即可得证；
（Ⅱ）解法一：以为原点，、、分别为、和轴建立空间直角坐标系，设直线与平面所成角为，先求出平面的法向量，再利用，以及空间向量数量积的坐标运算即可得解．
解法二：设正方体的棱长为，易知，结合勾股定理和余弦定理可求得，再求得；设点到平面的距离为，根据等体积法，可求出的值，设直线与平面所成角为，则，从而得解．
【解答】解：（Ⅰ）由正方体的性质可知，中，且，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，平面．
（Ⅱ）解法一：以为原点，、、分别为、和轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则，0，，，0，，，0，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，，，
设直线与平面所成角为，则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
解法二：设正方体的棱长为，则，，，，
由余弦定理知，，
，
，
设点到平面的距离为，
，
，，
设直线与平面所成角为，则．
故直线与平面所成角的正弦值为．
【跟踪训练2-1】如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．
（1）证明：平面；
（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
【分析】（1）过在平面内作直线，推得为平面和平面的交线，由线面垂直的判定和性质，即可得证；
（2）以为坐标原点，直线，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，设，，，运用向量法，求得平面的法向量，结合向量的夹角公式，以及基本不等式可得所求最大值．
【解答】解：（1）证明：过在平面内作直线，
由，可得，即为平面和平面的交线，
平面，平面，，
又，，平面，
，平面；
（2）如图，以为坐标原点，直线，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，
设，0，，，0，，，1，，，1，，
设平面的法向量为，，，
则，，取，可得，0，，
，，
与平面所成角的正弦值为
，当且仅当取等号，
与平面所成角的正弦值的最大值为．
【名师指导】
利用向量求线面角的2种方法
(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与平面所成的角．
题型3 二面角
【例3-1】在三棱锥中，已知，，为的中点，平面，，为中点．
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）若点在上，满足，设二面角的大小为，求的值．
【分析】（1）由题意画出图形，连接，由已知可得，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到，，设直线与所成角为，由两向量所成角的余弦值，可得直线与所成角的余弦值；
（2）由，得，设，，，由向量等式求得，，，进一步求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得，再由同角三角函数基本关系式求解．
【解答】解：（1）如图，连接，，为的中点，．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
，，则．
，0，，，0，，，2，，，0，，
是的中点，，1，，
，．
设直线与所成角为，
则，
即直线与所成角的余弦值为；
（2），，
设，，，则，，，，，，，．
，，．
设平面的一个法向量为，
由，取，得；
设平面的一个法向量为，
由，取，得．
．
．
【例3-2】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【分析】（1）设圆的半径为1，求出各线段的长度，利用勾股定理即可得到，，进而得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面及平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．
【解答】解：（1）不妨设圆的半径为1，，，，，
，
在中，，故，
同理可得，又，故平面；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，1，，
故，
设平面的法向量为，则，可取，
同理可求得平面的法向量为，
故，即二面角的余弦值为．
【跟踪训练3-1】如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．
（1）证明：点在平面内；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
【分析】（1）在上取点，使得，连接，，，，由已知证明四边形和四边形都是平行四边形，可得，且，，且，进一步证明四边形为平行四边形，得到，且，结合，且，可得，且，则四边形为平行四边形，从而得到点在平面内；
（2）在长方体中，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值，再由同角三角函数基本关系式求得二面角的正弦值．
【解答】（1）证明：在上取点，使得，连接，，，，
在长方体中，有，且．
又，，，．
四边形和四边形都是平行四边形．
，且，，且．
又在长方体中，有，且，
且，则四边形为平行四边形，
，且，
又，且，，且，
则四边形为平行四边形，
点在平面内；
（2）解：在长方体中，以为坐标原点，
分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
，，，，，
，1，，，0，，，1，，，1，，
则，，．
设平面的一个法向量为．
则，取，得；
设平面的一个法向量为．
则，取，得．
．
设二面角为，则．
二面角的正弦值为．
【跟踪训练3-2】如图，平面，，，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长．
【分析】（Ⅰ）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求得，，，，的坐标，设，得，2，．可得是平面的法向量，再求出，由，且直线平面，得平面；
（Ⅱ）求出，再求出平面的法向量，利用数量积求夹角公式得直线与平面所成角的余弦值，进一步得到直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为列式求线段的长．
【解答】（Ⅰ）证明：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
可得，0，，，0，，，2，，，1，，，0，．
设，则，2，．
则是平面的法向量，又，可得．
又直线平面，平面；
（Ⅱ）解：依题意，，，．
设为平面的法向量，
则，令，得．
．
直线与平面所成角的正弦值为；
（Ⅲ）解：设为平面的法向量，
则，取，可得，
由题意，，解得．
经检验，符合题意．
线段的长为．
【跟踪训练3-3】如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【分析】（1）过作，证明，再证明，可得，再由线面平行的判定可得平面；
（2）以为坐标原点，以垂直于得直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，过作，则，且，
又，，四边形为平行四边形，则，
由，为中点，得为中点，而为中点，
，，则四边形为平行四边形，则，
，
平面，平面，
平面；
（2）解：以为坐标原点，以垂直于得直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，1，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
又平面的一个法向量为，
．
二面角的正弦值为．
【名师指导】
利用空间向量计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．
(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
题型4 求空间距离
【例4-1】如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
【分析】法一：
（1）连结，，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面．
（2）过作的垂线，垂足为，推导出，，从而平面，，进而平面，故的长即为到平面的距离，由此能求出点到平面的距离．
法二：（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面．
（2）求出，，，平面的法向量，0，，利用向量法能求出点到平面的距离．
【解答】解法一：
证明：（1）连结，，，分别是，的中点，
，又为的中点，，
由题设知，，，
四边形是平行四边形，
，
又平面，平面．
解：（2）过作的垂线，垂足为，
由已知可得，，
平面，故，
平面，故的长即为到平面的距离，
由已知可得，，
，故，
点到平面的距离为．
解法二：
证明：（1）直四棱柱的底面是菱形，
，，，，，分别是，，的中点．
平面，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，0，，，0，，，，，，，，
，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，0，，
，平面，平面．
解：（2），，，，，，平面的法向量，0，，
点到平面的距离：．
【跟踪训练4-1】如图，中，，，，分别是，的中点，将沿折起，连结，，得到多面体．
（1）证明：在多面体中，；
（2）在多面体中，当时，求点到平面的距离．
【分析】（1）推导出，，得到平面，由此能证明．
（2）推导出平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．
【解答】解：（1）证明：中，，，，分别是，的中点，
将沿折起，连结，，得到多面体．
，，
，平面，
平面，在多面体中，．
（2）由（1）得平面，
又平面，，
中，，，，分别是，的中点，，
，，，
，平面，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，0，，，1，，，1，，
，0，，，1，，，1，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
点到平面的距离为：
．
【名师指导】
求点面距一般有以下三种方法
(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．
(2)等体积法．
(3)向量法．其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．