2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第57讲二项式定理（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第57讲二项式定理（教师版），共5页。试卷主要包含了二项式定理，二项式系数的性质等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋ Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
2．二项式系数的性质
题型归纳
题型1二项展开式中特定项及系数问题
【例1-1】二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(x),2)－\f(2,x)))10的展开式中，eq \r(x)项的系数是( )
A.eq \f(15,2) B．－eq \f(15,2)
C．15 D．－15
【解析】选B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(x),2)－\f(2,x)))10的二项展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,10)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(x),2)))10－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x)))r＝(－1)r22r－10Ceq \\al(r,10)x，令5－eq \f(3r,2)＝eq \f(1,2)，得r＝3，所以eq \r(x)项的系数是(－1)3·2－4·Ceq \\al(3,10)＝－eq \f(15,2).故选B.
【例1-2】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,8x3)))8的展开式中的常数项为________．
【解析】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,8x3)))8的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x))8－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8x3)))r＝Ceq \\al(r,8)28－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)))r·x8－4r.
令8－4r＝0，得r＝2，∴ 常数项为T3＝Ceq \\al(2,8)26eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)))2＝28.
【答案】28
【跟踪训练1-1】在二项式(eq \r(2)＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．
【解析】由二项展开式的通项公式可知Tr＋1＝Ceq \\al(r,9)·(eq \r(2))9－r·xr，r∈N,0≤r≤9，
当项为常数项时，r＝0，T1＝Ceq \\al(0,9)·(eq \r(2))9·x0＝(eq \r(2))9＝16eq \r(2).
当项的系数为有理数时，9－r为偶数，
可得r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.
【答案】16eq \r(2) 5
【跟踪训练1-2】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))6的展开式的常数项为160，则实数a＝________.
【解析】法一：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))6的展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)(ax)6－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))r＝Ceq \\al(r,6)a6－rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，所以Ceq \\al(3,6)a6－3＝160，解得a＝2.
法二：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))6＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(1,x)))，要得到常数项，则需ax与eq \f(1,x)的个数相同，各为3个，所以从6个因式中选择3个ax的系数，即Ceq \\al(3,6)a3＝160，解得a＝2.
【答案】2
【名师指导】
求二项展开式中的项的方法
求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n).
题型2二项式系数的性质及各项系数和
【例2-1】(1)已知(ax＋b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与－18，则(ax＋b)6的展开式中所有项系数之和为( )
A．－1 B．1
C．32 D．64
(2)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝( )
A．0 B．1
C．32 D．－1
(3)在(1＋x)n(x∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝________.
【解析】 (1)由二项展开式的通项公式可知x4项的系数为Ceq \\al(2,6)a4b2，x5项的系数为Ceq \\al(1,6)a5b，则由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(C\\al(2,6)a4b2＝135，,C\\al(1,6)a5b＝－18，))解得a＋b＝±2，故(ax＋b)6的展开式中所有项的系数之和为(a＋b)6＝64.
(2)由(1－x)5的展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(－x)r＝Ceq \\al(r,5)(－1)rxr，可知a1，a3，a5都小于0.则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.在原二项展开式中令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0.
(3)二项式中仅x5的系数最大，其最大值必为Ceq \f(n,2)n，即得eq \f(n,2)＝5，解得n＝10.
【答案】 (1)D (2)A (3)10
【跟踪训练2-1】若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )
A．6eq \r(3,x)B.eq \f(4,\r(x))
C．4xeq \r(6,x)D.eq \f(4,\r(x)) 或4xeq \r(6,x)
【解析】选A 令x＝1，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式中各项系数之和为2n，即8