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2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题25同角三角函数的基本关系及诱导公式（教师版）
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这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题25同角三角函数的基本关系及诱导公式（教师版），共21页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。
【考纲要求】
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cs2x＝1，eq \f(sin x,cs x)＝tan x.
2.能利用单位圆中的对称性推导出eq \f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
【考点预测】
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2.三角函数的诱导公式
【常用结论】
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α；sin α＝tan α·cs α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【方法技巧】
1.利用sin2α＋cs2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化．
2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二．
3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
4.诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
5.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cs(5π－α)＝cs(π－α)＝－cs α.
6.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形；注意角的范围对三角函数符号的影响．
二、【题型归类】
【题型一】“知一求二”问题
【典例1】已知α是第四象限角，且tan α＝－eq \f(3,4)，则sin α＝( )
A．－eq \f(3,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(4,5) D．－eq \f(4,5)
【解析】因为tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4)，
所以cs α＝－eq \f(4,3)sin α ①.
sin2α＋cs2α＝1 ②，由①②得sin2α＝eq \f(9,25)，又α是第四象限角，所以sin α<0，则sin α＝－eq \f(3,5)，故选A.
【典例2】已知α是三角形的内角，且tan α＝－eq \f(1,3)，则sin α＋cs α的值为________．
【解析】由tan α＝－eq \f(1,3)，
得sin α＝－eq \f(1,3)cs α，且sin α>0，cs α<0，
将其代入sin2α＋cs2α＝1，得eq \f(10,9)cs2α＝1，
所以cs α＝－eq \f(3\r(10),10)，sin α＝eq \f(\r(10),10)，
故sin α＋cs α＝－eq \f(\r(10),5).
【典例3】已知cs α＝－eq \f(5,13)，则13sin α＋5tan α＝ .
【解析】∵cs α＝－eq \f(5,13)<0且cs α≠－1，
∴α是第二或第三象限角．
①若α是第二象限角，
则sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))2)＝eq \f(12,13)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(12,13),－\f(5,13))＝－eq \f(12,5).
此时13sin α＋5tan α＝13×eq \f(12,13)＋5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,5)))＝0.
②若α是第三象限角，
则sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))2)
＝－eq \f(12,13)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(－\f(12,13),－\f(5,13))＝eq \f(12,5)，
此时，13sin α＋5tan α＝13×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＋5×eq \f(12,5)＝0.
综上，13sin α＋5tan α＝0.
【题型二】sin α，cs α的齐次式问题
【典例1】已知eq \f(tan α,tan α－1)＝－1，求下列各式的值：
(1)eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)；
(2)sin2α＋sin αcs α＋2.
【解析】由已知得tan α＝eq \f(1,2).
(1)eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)＝eq \f(tan α－3,tan α＋1)＝－eq \f(5,3).
(2)sin2α＋sin αcs α＋2＝eq \f(sin2α＋sin αcs α,sin2α＋cs2α)＋2＝eq \f(tan2α＋tan α,tan2α＋1)＋2＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋1)＋2＝eq \f(13,5).
【典例2】已知sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，θ∈(0，π)，则tan θ＝ .
【解析】方法一 由sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，得sin θcs θ＝－eq \f(60,169)，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cs θ<0，
所以sin θ－cs θ＝eq \r(1－2sin θcs θ)＝eq \f(17,13)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ＝\f(7,13)，,sin θ－cs θ＝\f(17,13)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(12,13)，,cs θ＝－\f(5,13)，))
所以tan θ＝－eq \f(12,5).
方法二 因为sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，
所以sin θcs θ＝－eq \f(60,169)，
由根与系数的关系，知sin θ，cs θ是方程x2－eq \f(7,13)x－eq \f(60,169)＝0的两根，所以x1＝eq \f(12,13)，x2＝－eq \f(5,13).
又sin θcs θ＝－eq \f(60,169)<0，θ∈(0，π)，
所以sin θ>0，cs θ<0.
所以sin θ＝eq \f(12,13)，cs θ＝－eq \f(5,13).
所以tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)＝－eq \f(12,5).
方法三 由sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，得sin θcs θ＝－eq \f(60,169)，
所以eq \f(sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)＝－eq \f(60,169).
齐次化切，得eq \f(tan θ,tan2θ＋1)＝－eq \f(60,169)，
即60tan2θ＋169tan θ＋60＝0，
解得tan θ＝－eq \f(12,5)或tan θ＝－eq \f(5,12).
又θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)>0，sin θcs θ＝－eq \f(60,169)<0，
所以θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，所以tan θ＝－eq \f(12,5).
【典例3】已知tan α＝eq \f(1,2)，则eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)＝ ；sin2α＋sin αcs α＋2＝ .
【解析】已知tan α＝eq \f(1,2)，
所以eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)＝eq \f(tan α－3,tan α＋1)＝－eq \f(5,3).
sin2α＋sin αcs α＋2
＝eq \f(sin2α＋sin αcs α,sin2α＋cs2α)＋2
＝eq \f(tan2α＋tan α,tan2α＋1)＋2
＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\f(1,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋1)＋2＝eq \f(13,5).
【题型三】sin α±cs α，sin αcs α之间的关系
【典例1】已知α∈(－π，0)，sin α＋cs α＝eq \f(1,5).
(1)求sin α－cs α的值；
(2)求eq \f(sin 2α＋2sin2α,1－tan α)的值．
【解析】(1)由sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，
平方得sin2α＋2sin αcs α＋cs2α＝eq \f(1,25)，
整理得2sin αcs α＝－eq \f(24,25).
所以(sin α－cs α)2＝1－2sin αcs α＝eq \f(49,25).
由α∈(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cs α>0，
所以cs α>0，则sin α－cs α<0，
故sin α－cs α＝－eq \f(7,5).
(2)eq \f(sin 2α＋2sin2α,1－tan α)＝eq \f(2sin α（cs α＋sin α）,1－\f(sin α,cs α))＝
eq \f(2sin αcs α（cs α＋sin α）,cs α－sin α)＝eq \f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq \f(24,175).
【典例2】已知tan α＝－eq \f(3,4)，则sin α(sin α－cs α)＝( )
A.eq \f(21,25) B.eq \f(25,21)
C.eq \f(4,5) D.eq \f(5,4)
【解析】sin α(sin α－cs α)＝sin2α－sin αcs α＝eq \f(sin2α－sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α－tan α,tan2α＋1)，将tan α＝－eq \f(3,4)代入得原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))\s\up12(2)＋1)＝eq \f(21,25).
故选A.
【题型四】诱导公式
【典例1】已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值为( )
A.eq \f(2\r(2),3) B．－eq \f(2\r(2),3)
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
【解析】cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))))
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－eq \f(1,3).
故选D.
【典例2】eq \f(tanπ－αcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs－α－πsin－π－α)的值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【解析】原式＝eq \f(－tan α·cs α·－cs α,csπ＋α·[－sinπ＋α])
＝eq \f(tan α·cs2α,－cs α·sin α)
＝－eq \f(sin α,cs α)·eq \f(cs α,sin α)＝－1.
故选B.
【典例3】已知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α))＋sin 2α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin－π－α)等于( )
A.eq \f(2,3) B．－eq \f(2,3)
C.eq \f(3,2) D．－eq \f(3,2)
【解析】易知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P(2,3)，
故tan α＝eq \f(3,2)，则
eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α))＋sin 2α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin－π－α)
＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＋sin 2α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin α)
＝eq \f(－sin αcs α＋2sin αcs α,－sin αsin α)
＝－eq \f(cs α,sin α)
＝－eq \f(1,tan α)＝－eq \f(2,3).
故选B.
【题型五】基本关系式与诱导公式的综合应用
【典例1】已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A．eq \f(3\r(5),5) B．eq \f(3\r(7),7)
C．eq \f(3\r(10),10) D．eq \f(1,3)
【解析】由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，又α为锐角，故sin α＝eq \f(3\r(10),10).
故选C.
【典例2】已知α是第三象限角，且f(α)＝eq \f(sin（－α－π）cs（5π－α）tan（2π－α）,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))tan（－α－π）).
①化简f(α)；
②若tan(π－α)＝－2，求f(α)的值；
③若α＝－420°，求f(α)的值．
【解析】①由题可得，
f(α)＝eq \f(sin（－α－π）cs（5π－α）tan（2π－α）,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))tan（－α－π）)
＝eq \f(sin α（－cs α）（－tan α）,sin α（－tan α）)＝－cs α.
②因为tan(π－α)＝－2，所以tan α＝2.
所以sin α＝2cs α.
所以(2cs α)2＋cs2α＝1.所以cs2α＝eq \f(1,5).
因为α是第三象限角，所以cs α＝－eq \f(\r(5),5)，
所以f(α)＝eq \f(\r(5),5).
③因为cs (－420°)＝cs 420°＝cs 60°＝eq \f(1,2)，
所以f(α)＝－cs α＝－eq \f(1,2).
【典例3】已知tan(－2 019π＋θ)＝－2，则2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝( )
A．－2 B．eq \f(2\r(3)＋1,5)
C．eq \f(2\r(3)＋3,5) D．eq \f(3,5)
【解析】因为tan(－2 019π＋θ)＝－2，
所以tan θ＝－2.
则2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))
＝(eq \r(3)sin θ－cs θ)(sin θ＋cs θ)
＝eq \r(3)sin2θ－cs2θ＋(eq \r(3)－1)sin θcs θ
＝eq \f(\r(3)sin2θ－cs2θ＋（\r(3)－1）sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)
＝eq \f(\r(3)tan2θ－1＋（\r(3)－1）tan θ,tan2 θ＋1)
＝eq \f(4\r(3)－1－2（\r(3)－1）,4＋1)
＝eq \f(2\r(3)＋1,5).故选B．
三、【培优训练】
【训练一】已知α为第二象限角，则cs αeq \r(1＋tan2α)＋sin αeq \r(1＋\f(1,tan2α))＝________.
【解析】原式＝cs αeq \r(\f(sin2α＋cs2α,cs2α))＋sin αeq \r(\f(sin2α＋cs2α,sin2α))＝cs αeq \f(1,|cs α|)＋sin αeq \f(1,|sin α|)，
因为α是第二象限角，
所以sin α＞0，cs α＜0，
所以cs αeq \f(1,|cs α|)＋sin αeq \f(1,|sin α|)＝－1＋1＝0，即原式等于0.
【训练二】如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是eq \f(1,25)，则sin2θ－cs2θ的值是________.
【解析】由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为cs θ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cs θ－sin θ，
∵小正方形的面积是eq \f(1,25)，∴(cs θ－sin θ)2＝eq \f(1,25)，
∵θ为直角三角形中较小的锐角，
∴cs θ＞sin θ ，∴cs θ－sin θ＝eq \f(1,5)，
又∵(cs θ－sin θ)2＝1－2sin θcs θ＝eq \f(1,25)，
∴2sin θcs θ＝eq \f(24,25)，∴1＋2sin θcs θ＝eq \f(49,25)，
即(cs θ＋sin θ)2＝eq \f(49,25)，∴cs θ＋sin θ＝eq \f(7,5)，
∴sin2θ－cs2θ＝(cs θ＋sin θ)(sin θ－cs θ)＝－eq \f(7,25).
【训练三】(多选)已知f(α)＝eq \f(2sin αcs α－2,sin α＋cs α＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤α≤\f(π,2)))，则下列说法正确的是( )
A．f(α)的最小值为－eq \r(2)
B．f(α)的最小值为－1
C．f(α)的最大值为eq \r(2)－1
D．f(α)的最大值为1－eq \r(2)
【解析】设t＝sin α＋cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，
由0≤α≤eq \f(π,2)，
得eq \f(π,4)≤α＋eq \f(π,4)≤eq \f(3π,4)，
则1≤t≤eq \r(2)，
又由(sin α＋cs α)2＝t2，
得2sin αcs α＝t2－1，
所以f(α)＝g(t)＝eq \f(t2－1－2,t＋1)＝t－1－eq \f(2,t＋1)，
又因为函数y＝t－1和y＝－eq \f(2,t＋1)在[1，eq \r(2)]上单调递增，
所以g(t)＝t－1－eq \f(2,t＋1)在[1，eq \r(2)]上单调递增，
g(t)min＝g(1)＝－1，
g(t)max＝g(eq \r(2))＝1－eq \r(2).
【训练四】已知关于x的方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cs θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
【解析】(1)原式＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－\f(sin θ,cs θ))
＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs2θ,cs θ－sin θ)
＝eq \f(sin2θ－cs2θ,sin θ－cs θ)
＝sin θ＋cs θ.
由已知得sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，
所以eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)＝eq \f(\r(3)＋1,2).
(2)由已知得sin θcs θ＝eq \f(m,2)，
因为1＋2sin θcs θ＝(sin θ＋cs θ)2，
所以1＋m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)＋1,2)))2，
解得m＝eq \f(\r(3),2).
(3)联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ＝\f(\r(3)＋1,2)，,sin θcs θ＝\f(\r(3),4)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(3),2)，,cs θ＝\f(1,2)))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(1,2)，,cs θ＝\f(\r(3),2).))
因为θ∈(0,2π)，所以θ＝eq \f(π,3)或eq \f(π,6).
【训练五】已知sin α＝1－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))，求sin2α＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))＋1的取值范围．
【解析】因为sin α＝1－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＝1－cs β，
所以cs β＝1－sin α.因为－1≤cs β≤1，
所以－1≤1－sin α≤1,0≤sin α≤2，
又－1≤sin α≤1，所以sin α∈[0,1]．
所以sin2α＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))＋1＝sin2α＋cs β＋1＝sin2α－sin α＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin α－\f(1,2)))2＋eq \f(7,4).(*)
又sin α∈[0,1]，所以当sin α＝eq \f(1,2)时，(*)式取得最小值eq \f(7,4)；当sin α＝1或sin α＝0时，(*)式取得最大值2，故所求取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,4)，2)).
【训练六】在△ABC中，
(1)求证：cs2eq \f(A＋B,2)＋cs2 eq \f(C,2)＝1；
(2)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋B))tan(C－π)＜0，
求证：△ABC为钝角三角形．
【解析】(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
所以eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2)，
所以cseq \f(A＋B,2)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝sin eq \f(C,2)，
所以cs2eq \f(A＋ B,2)＋cs2eq \f(C,2)＝1.
(2)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋B))tan(C－π)＜0，
所以(－sin A)(－cs B)tan C＜0，
即sin Acs Btan C＜0.
因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sin A＞0，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs B＜0，,tan C＞0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs B＞0，,tan C＜0，))
所以B为钝角或C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．
四、【强化测试】
【单选题】
1. 已知α∈(0，π)，cs α＝－eq \f(3,5)，则tan α＝( )
A.eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4)
C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
【解析】∵cs α＝－eq \f(3,5)且α∈(0，π)，∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(4,5)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(4,3).故选D.
2. 已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))的值是( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(2\r(2),3)
【解析】∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝－eq \f(1,3)，故选A.
3. lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7π,4)))的值为( )
A．－1 B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(2),2)
【解析】lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7π,4)))＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)))＝lg2eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(1,2).故选B.
4. 若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－eq \f(3,5)，且α∈eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))eq \f(π,2)，πeq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(,,,,))，则sin(π－2α)＝( )
A．－eq \f(24,25) B．－eq \f(12,25)
C.eq \f(12,25) D.eq \f(24,25)
【解析】∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α＝－eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴sin α＝eq \f(4,5)，∴sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcs α＝2×eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(24,25).故选A.
5. 若eq \f(1＋cs α,sin α)＝2，则cs α－3sin α＝( )
A．－3 B．3
C．－eq \f(9,5) D.eq \f(9,5)
【解析】∵eq \f(1＋cs α,sin α)＝2，∴cs α＝2sin α－1，又sin2α＋cs2α＝1，
∴sin2α＋(2sin α－1)2＝1,5sin2α－4sin α＝0，解得sin α＝eq \f(4,5)或sin α＝0(舍去)，
∴cs α－3sin α＝－sin α－1＝－eq \f(9,5).故选C.
6. 已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(17π,12)))等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2\r(2),3)
C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(2\r(2),3)
【解析】 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(17π,12)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3).故选A.
7. 已知sin 2α＝eq \f(2,3)，则tan α＋eq \f(1,tan α)＝( )
A.eq \r(3) B.eq \r(2)
C．3 D．2
【解析】tan α＋eq \f(1,tan α)＝eq \f(sin α,cs α)＋eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(1,sin αcs α)＝eq \f(2,sin 2α)＝eq \f(2,\f(2,3))＝3.故选C.
8. 已知α∈R，sin α＋2cs α＝eq \f(\r(10),2)，则tan 2α＝( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4)
C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(4,3)
【解析】因为sin α＋2cs α＝eq \f(\r(10),2)，sin2α＋cs2α＝1，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝\f(3\r(10),10)，,cs α＝\f(\r(10),10)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝－\f(\r(10),10)，,cs α＝\f(3\r(10),10).))
所以tan α＝3或－eq \f(1,3).所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×3,1－32)＝－eq \f(3,4)或tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))2)＝－eq \f(3,4).故选C.
【多选题】
9. 在△ABC中，下列结论正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin eq \f(B＋C,2)＝cs eq \f(A,2)
C．tan(A＋B)＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C≠\f(π,2)))
D．cs(A＋B)＝cs C
【解析】在△ABC中，有A＋B＋C＝π，
则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确．
sin eq \f(B＋C,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝cs eq \f(A,2)，B正确．
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C≠\f(π,2)))，
C正确．
cs(A＋B)＝cs(π－C)＝－cs C，D错误．
故选ABC.
10. 已知α∈(0，π)，且sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，则( )
A.eq \f(π,2)<α<π
B．sin αcs α＝－eq \f(12,25)
C．cs α－sin α＝eq \f(7,5)
D．cs α－sin α＝－eq \f(7,5)
【解析】∵sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，
等式两边平方得
(sin α＋cs α)2＝1＋2sin αcs α＝eq \f(1,25)，
解得sin αcs α＝－eq \f(12,25)，故B正确；
∵α∈(0，π)，sin αcs α＝－eq \f(12,25)<0，
∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，故A正确；
cs α－sin α<0，
且(cs α－sin α)2＝1－2sin αcs α
＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,25)))＝eq \f(49,25)，
解得cs α－sin α＝－eq \f(7,5)，故D正确．
故选ABD.
11. 已知角α满足sin α·cs α≠0，则表达式eq \f(sinα＋kπ,sin α)＋eq \f(csα＋kπ,cs α)(k∈Z)的取值可能为( )
A．－2 B．－1或1
C．2 D．－2或2或0
【解析】当k为奇数时，原式＝eq \f(－sin α,sin α)＋eq \f(－cs α,cs α)＝(－1)＋(－1)＝－2；
当k为偶数时，原式＝eq \f(sin α,sin α)＋eq \f(cs α,cs α)＝1＋1＝2.
∴原表达式的取值可能为－2或2.
故选AC.
12. 若sin α＝eq \f(4,5)，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )
A．tan α＝eq \f(4,3)
B．cs α＝eq \f(3,5)
C．sin α＋cs α＝eq \f(8,5)
D．sin α－cs α＝－eq \f(1,5)
【解析】∵sin α＝eq \f(4,5)，且α为锐角，
∴cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝eq \f(3,5)，故B正确，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(4,5),\f(3,5))＝eq \f(4,3)，故A正确，
∴sin α＋cs α＝eq \f(4,5)＋eq \f(3,5)＝eq \f(7,5)≠eq \f(8,5)，故C错误，
∴sin α－cs α＝eq \f(4,5)－eq \f(3,5)＝eq \f(1,5)≠－eq \f(1,5)，故D错误．
故选AB.
【填空题】
13. 若eq \f(sin（π－θ）＋cs（θ－2π）,sin θ＋cs（π＋θ）)＝eq \f(1,2)，则tan θ＝________.
【解析】因为eq \f(sin（π－θ）＋cs（θ－2π）,sin θ＋cs（π＋θ）)＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝eq \f(1,2)，
所以2(sin θ＋cs θ)＝sin θ－cs θ，
所以sin θ＝－3cs θ，所以tan θ＝－3.
14. 若tan α＝－2，则cs2α＋2sin 2α＝________.
【解析】原式＝eq \f(cs2α＋2sin 2α,cs2α＋sin2α)
＝eq \f(cs2α＋4sin αcs α,cs2α＋sin2α)
＝eq \f(1＋4tan α,1＋tan2α)＝eq \f(1－8,1＋4)＝－eq \f(7,5).
15. 已知－eq \f(π,2)＜α＜0，sin α＋cs α＝eq \f(1,5)， 则eq \f(1,cs2α－sin2α)的值为________.
【解析】由题意，因为sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，所以1＋2sin αcs α＝eq \f(1,25)，
所以2sin αcs α＝－eq \f(24,25)，
所以(cs α－sin α)2＝1－2sin αcs α＝eq \f(49,25)，
又因为－eq \f(π,2)＜α＜0，所以sin α＜0，cs α＞0，
所以cs α－sin α＝eq \f(7,5)，
所以eq \f(1,cs2α－sin2α)＝
eq \f(1,（cs α＋sin α）（cs α－sin α）)＝eq \f(25,7).
16. 已知θ是第四象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝________.
【解析】由题意，得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,4).
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)－\f(π,2)))
＝－eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝－eq \f(4,3).
【解答题】
17. (1)已知cs α是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))tan2π－α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))的值；
(2)已知sin x＋cs x＝－eq \f(7,13)(0【解析】(1)因为方程3x2－x－2＝0的根为x1＝1，x2＝－eq \f(2,3)，
又α是第三象限角，所以cs α＝－eq \f(2,3)，
所以sin α＝－eq \f(\r(5),3)，tan α＝eq \f(\r(5),2).
所以原式＝eq \f(－cs αsin αtan2α,－sin αcs α)＝tan2α＝eq \f(5,4).
(2)∵sin x＋cs x＝－eq \f(7,13)(0∴cs x<0，sin x>0，即sin x－cs x>0，
把sin x＋cs x＝－eq \f(7,13)，
两边平方得1＋2sin xcs x＝eq \f(49,169)，
即2sin xcs x＝－eq \f(120,169)，
∴(sin x－cs x)2＝1－2sin xcs x＝eq \f(289,169)，
即sin x－cs x＝eq \f(17,13)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x＋cs x＝－\f(7,13)，,sin x－cs x＝\f(17,13)，))
解得sin x＝eq \f(5,13)，cs x＝－eq \f(12,13)，
∴cs x－2sin x＝－eq \f(22,13).
18. 已知角α的终边经过点P(3m，－6m)(m≠0)．
(1)求eq \f(sinα＋π＋csα－π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＋2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))))的值；
(2)若α是第二象限角，求sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＋sin(π－α)cs α－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))的值．
【解析】(1)∵m≠0，∴cs α≠0，
即eq \f(sinα＋π＋csα－π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＋2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))))
＝eq \f(－sin α－cs α,cs α＋2sin α)
＝eq \f(－tan α－1,1＋2tan α).
又∵角α的终边经过点P(3m，－6m)(m≠0)，
∴tan α＝eq \f(－6m,3m)＝－2，
故eq \f(sinα＋π＋csα－π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＋2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))))
＝eq \f(－tan α－1,1＋2tan α)
＝eq \f(2－1,1＋2×－2)＝－eq \f(1,3).
(2)∵α是第二象限角，∴m<0，
则sin α＝eq \f(－6m,\r(3m2＋－6m2))
＝eq \f(－6m,3\r(5)|m|)
＝eq \f(2\r(5),5)，
cs α＝eq \f(3m,\r(3m2＋－6m2))
＝eq \f(3m,3\r(5)|m|)
＝－eq \f(\r(5),5)，
∴sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＋sin(π－α)cs α－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))
＝cs2α＋sin αcs α＋sin α
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))2＋eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))＋eq \f(2\r(5),5)
＝eq \f(－1＋2\r(5),5).
19. 已知f(α)＝eq \f(sinπ－αcs2π－αtanα＋π,tan－α－πsin－α－π).
(1)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，α是第三象限角，求f(α)的值；
(2)若α＝－eq \f(31π,3)，求f(α)的值．
【解析】f(α)＝eq \f(sin α·cs α·tan α,－tan α·sin α)＝－cs α.
(1)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝－sin α＝eq \f(1,5)，
∴sin α＝－eq \f(1,5).
∵α是第三象限角，
∴cs α＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)))2)＝－eq \f(2\r(6),5).
f(α)＝－cs α＝eq \f(2\r(6),5).
(2)f(α)＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－eq \f(1,2).
20. 已知－eq \f(π,2)<α<0，且函数f(α)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－sin α·eq \r(\f(1＋cs α,1－cs α))－1.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝eq \f(1,5)，求sin αcs α和sin α－cs α的值．
【解析】(1)f(α)＝sin α－sin α·eq \r(\f(1＋cs α2,1－cs2α))－1
＝sin α＋sin α·eq \f(1＋cs α,sin α)－1＝sin α＋cs α.
(2)方法一 由f(α)＝sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，
平方可得sin2α＋2sin α·cs α＋cs2α＝eq \f(1,25)，
即2sin α·cs α＝－eq \f(24,25).
∴sin α·cs α＝－eq \f(12,25).
又－eq \f(π,2)<α<0，∴sin α<0，cs α>0，
∴sin α－cs α<0，
∵(sin α－cs α)2＝1－2sin α·cs α＝eq \f(49,25)，
∴sin α－cs α＝－eq \f(7,5).
方法二 联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＋cs α＝\f(1,5)，,sin2α＋cs2α＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝－\f(3,5)，,cs α＝\f(4,5)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝\f(4,5)，,cs α＝－\f(3,5).))
∵－eq \f(π,2)<α<0，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝－\f(3,5)，,cs α＝\f(4,5)，))
∴sin αcs α＝－eq \f(12,25)，sin α－cs α＝－eq \f(7,5).
21. 已知α为第三象限角，
f(α)＝eq \f(sin（α－\f(π,2)）·cs（\f(3π,2)＋α）·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）).
(1)化简f(α)；
(2)若cs(α－eq \f(3π,2))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值．
【解析】(1)f(α)＝eq \f(sin（α－\f(π,2)）·cs（\f(3π,2)＋α）·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）)
＝eq \f(（－cs α）·sin α·（－tan α）,（－tan α）·sin α)＝－cs α.
(2)因为cs(α－eq \f(3π,2))＝eq \f(1,5)，
所以－sin α＝eq \f(1,5)，
从而sin α＝－eq \f(1,5).
又α为第三象限角，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(6),5)，
所以f(α)＝－cs α＝eq \f(2\r(6),5).
22. 是否存在α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，π))使等式sin(3π－α)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))，eq \r(3)cs(－α)＝－eq \r(2)cs(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
【解析】假设存在角α，β满足条件．
由已知条件可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin α＝\r(2)sin β，①,\r(3)cs α＝\r(2)cs β，②))
由①2＋②2，得sin2α＋3cs2α＝2.
所以sin2α＝eq \f(1,2)，所以sin α＝±eq \f(\r(2),2).
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以α＝±eq \f(π,4).
当α＝eq \f(π,4)时，由②式知cs β＝eq \f(\r(3),2)，
又β∈(0，π)，所以β＝eq \f(π,6)，此时①式成立；
当α＝－eq \f(π,4)时，由②式知cs β＝eq \f(\r(3),2)，又β∈(0，π)，
所以β＝eq \f(π,6)，此时①式不成立，故舍去．
所以存在α＝eq \f(π,4)，β＝eq \f(π,6)满足条件．
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cs__α
cs__α
余弦
cs α
－cs__α
cs__α
－cs__α
sin__α
－sin__α
正切
tan α
tan__α
－tan__α
－tan__α
口诀
奇变偶不变，符号看象限
【考纲要求】
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cs2x＝1，eq \f(sin x,cs x)＝tan x.
2.能利用单位圆中的对称性推导出eq \f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
【考点预测】
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2.三角函数的诱导公式
【常用结论】
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α；sin α＝tan α·cs α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【方法技巧】
1.利用sin2α＋cs2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化．
2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二．
3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
4.诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
5.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cs(5π－α)＝cs(π－α)＝－cs α.
6.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形；注意角的范围对三角函数符号的影响．
二、【题型归类】
【题型一】“知一求二”问题
【典例1】已知α是第四象限角，且tan α＝－eq \f(3,4)，则sin α＝( )
A．－eq \f(3,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(4,5) D．－eq \f(4,5)
【解析】因为tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4)，
所以cs α＝－eq \f(4,3)sin α ①.
sin2α＋cs2α＝1 ②，由①②得sin2α＝eq \f(9,25)，又α是第四象限角，所以sin α<0，则sin α＝－eq \f(3,5)，故选A.
【典例2】已知α是三角形的内角，且tan α＝－eq \f(1,3)，则sin α＋cs α的值为________．
【解析】由tan α＝－eq \f(1,3)，
得sin α＝－eq \f(1,3)cs α，且sin α>0，cs α<0，
将其代入sin2α＋cs2α＝1，得eq \f(10,9)cs2α＝1，
所以cs α＝－eq \f(3\r(10),10)，sin α＝eq \f(\r(10),10)，
故sin α＋cs α＝－eq \f(\r(10),5).
【典例3】已知cs α＝－eq \f(5,13)，则13sin α＋5tan α＝ .
【解析】∵cs α＝－eq \f(5,13)<0且cs α≠－1，
∴α是第二或第三象限角．
①若α是第二象限角，
则sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))2)＝eq \f(12,13)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(12,13),－\f(5,13))＝－eq \f(12,5).
此时13sin α＋5tan α＝13×eq \f(12,13)＋5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,5)))＝0.
②若α是第三象限角，
则sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))2)
＝－eq \f(12,13)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(－\f(12,13),－\f(5,13))＝eq \f(12,5)，
此时，13sin α＋5tan α＝13×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＋5×eq \f(12,5)＝0.
综上，13sin α＋5tan α＝0.
【题型二】sin α，cs α的齐次式问题
【典例1】已知eq \f(tan α,tan α－1)＝－1，求下列各式的值：
(1)eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)；
(2)sin2α＋sin αcs α＋2.
【解析】由已知得tan α＝eq \f(1,2).
(1)eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)＝eq \f(tan α－3,tan α＋1)＝－eq \f(5,3).
(2)sin2α＋sin αcs α＋2＝eq \f(sin2α＋sin αcs α,sin2α＋cs2α)＋2＝eq \f(tan2α＋tan α,tan2α＋1)＋2＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋1)＋2＝eq \f(13,5).
【典例2】已知sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，θ∈(0，π)，则tan θ＝ .
【解析】方法一 由sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，得sin θcs θ＝－eq \f(60,169)，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cs θ<0，
所以sin θ－cs θ＝eq \r(1－2sin θcs θ)＝eq \f(17,13)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ＝\f(7,13)，,sin θ－cs θ＝\f(17,13)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(12,13)，,cs θ＝－\f(5,13)，))
所以tan θ＝－eq \f(12,5).
方法二 因为sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，
所以sin θcs θ＝－eq \f(60,169)，
由根与系数的关系，知sin θ，cs θ是方程x2－eq \f(7,13)x－eq \f(60,169)＝0的两根，所以x1＝eq \f(12,13)，x2＝－eq \f(5,13).
又sin θcs θ＝－eq \f(60,169)<0，θ∈(0，π)，
所以sin θ>0，cs θ<0.
所以sin θ＝eq \f(12,13)，cs θ＝－eq \f(5,13).
所以tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)＝－eq \f(12,5).
方法三 由sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，得sin θcs θ＝－eq \f(60,169)，
所以eq \f(sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)＝－eq \f(60,169).
齐次化切，得eq \f(tan θ,tan2θ＋1)＝－eq \f(60,169)，
即60tan2θ＋169tan θ＋60＝0，
解得tan θ＝－eq \f(12,5)或tan θ＝－eq \f(5,12).
又θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)>0，sin θcs θ＝－eq \f(60,169)<0，
所以θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，所以tan θ＝－eq \f(12,5).
【典例3】已知tan α＝eq \f(1,2)，则eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)＝ ；sin2α＋sin αcs α＋2＝ .
【解析】已知tan α＝eq \f(1,2)，
所以eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)＝eq \f(tan α－3,tan α＋1)＝－eq \f(5,3).
sin2α＋sin αcs α＋2
＝eq \f(sin2α＋sin αcs α,sin2α＋cs2α)＋2
＝eq \f(tan2α＋tan α,tan2α＋1)＋2
＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\f(1,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋1)＋2＝eq \f(13,5).
【题型三】sin α±cs α，sin αcs α之间的关系
【典例1】已知α∈(－π，0)，sin α＋cs α＝eq \f(1,5).
(1)求sin α－cs α的值；
(2)求eq \f(sin 2α＋2sin2α,1－tan α)的值．
【解析】(1)由sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，
平方得sin2α＋2sin αcs α＋cs2α＝eq \f(1,25)，
整理得2sin αcs α＝－eq \f(24,25).
所以(sin α－cs α)2＝1－2sin αcs α＝eq \f(49,25).
由α∈(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cs α>0，
所以cs α>0，则sin α－cs α<0，
故sin α－cs α＝－eq \f(7,5).
(2)eq \f(sin 2α＋2sin2α,1－tan α)＝eq \f(2sin α（cs α＋sin α）,1－\f(sin α,cs α))＝
eq \f(2sin αcs α（cs α＋sin α）,cs α－sin α)＝eq \f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq \f(24,175).
【典例2】已知tan α＝－eq \f(3,4)，则sin α(sin α－cs α)＝( )
A.eq \f(21,25) B.eq \f(25,21)
C.eq \f(4,5) D.eq \f(5,4)
【解析】sin α(sin α－cs α)＝sin2α－sin αcs α＝eq \f(sin2α－sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α－tan α,tan2α＋1)，将tan α＝－eq \f(3,4)代入得原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))\s\up12(2)＋1)＝eq \f(21,25).
故选A.
【题型四】诱导公式
【典例1】已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值为( )
A.eq \f(2\r(2),3) B．－eq \f(2\r(2),3)
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
【解析】cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))))
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－eq \f(1,3).
故选D.
【典例2】eq \f(tanπ－αcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs－α－πsin－π－α)的值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【解析】原式＝eq \f(－tan α·cs α·－cs α,csπ＋α·[－sinπ＋α])
＝eq \f(tan α·cs2α,－cs α·sin α)
＝－eq \f(sin α,cs α)·eq \f(cs α,sin α)＝－1.
故选B.
【典例3】已知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α))＋sin 2α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin－π－α)等于( )
A.eq \f(2,3) B．－eq \f(2,3)
C.eq \f(3,2) D．－eq \f(3,2)
【解析】易知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P(2,3)，
故tan α＝eq \f(3,2)，则
eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α))＋sin 2α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin－π－α)
＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＋sin 2α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin α)
＝eq \f(－sin αcs α＋2sin αcs α,－sin αsin α)
＝－eq \f(cs α,sin α)
＝－eq \f(1,tan α)＝－eq \f(2,3).
故选B.
【题型五】基本关系式与诱导公式的综合应用
【典例1】已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A．eq \f(3\r(5),5) B．eq \f(3\r(7),7)
C．eq \f(3\r(10),10) D．eq \f(1,3)
【解析】由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，又α为锐角，故sin α＝eq \f(3\r(10),10).
故选C.
【典例2】已知α是第三象限角，且f(α)＝eq \f(sin（－α－π）cs（5π－α）tan（2π－α）,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))tan（－α－π）).
①化简f(α)；
②若tan(π－α)＝－2，求f(α)的值；
③若α＝－420°，求f(α)的值．
【解析】①由题可得，
f(α)＝eq \f(sin（－α－π）cs（5π－α）tan（2π－α）,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))tan（－α－π）)
＝eq \f(sin α（－cs α）（－tan α）,sin α（－tan α）)＝－cs α.
②因为tan(π－α)＝－2，所以tan α＝2.
所以sin α＝2cs α.
所以(2cs α)2＋cs2α＝1.所以cs2α＝eq \f(1,5).
因为α是第三象限角，所以cs α＝－eq \f(\r(5),5)，
所以f(α)＝eq \f(\r(5),5).
③因为cs (－420°)＝cs 420°＝cs 60°＝eq \f(1,2)，
所以f(α)＝－cs α＝－eq \f(1,2).
【典例3】已知tan(－2 019π＋θ)＝－2，则2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝( )
A．－2 B．eq \f(2\r(3)＋1,5)
C．eq \f(2\r(3)＋3,5) D．eq \f(3,5)
【解析】因为tan(－2 019π＋θ)＝－2，
所以tan θ＝－2.
则2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))
＝(eq \r(3)sin θ－cs θ)(sin θ＋cs θ)
＝eq \r(3)sin2θ－cs2θ＋(eq \r(3)－1)sin θcs θ
＝eq \f(\r(3)sin2θ－cs2θ＋（\r(3)－1）sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)
＝eq \f(\r(3)tan2θ－1＋（\r(3)－1）tan θ,tan2 θ＋1)
＝eq \f(4\r(3)－1－2（\r(3)－1）,4＋1)
＝eq \f(2\r(3)＋1,5).故选B．
三、【培优训练】
【训练一】已知α为第二象限角，则cs αeq \r(1＋tan2α)＋sin αeq \r(1＋\f(1,tan2α))＝________.
【解析】原式＝cs αeq \r(\f(sin2α＋cs2α,cs2α))＋sin αeq \r(\f(sin2α＋cs2α,sin2α))＝cs αeq \f(1,|cs α|)＋sin αeq \f(1,|sin α|)，
因为α是第二象限角，
所以sin α＞0，cs α＜0，
所以cs αeq \f(1,|cs α|)＋sin αeq \f(1,|sin α|)＝－1＋1＝0，即原式等于0.
【训练二】如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是eq \f(1,25)，则sin2θ－cs2θ的值是________.
【解析】由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为cs θ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cs θ－sin θ，
∵小正方形的面积是eq \f(1,25)，∴(cs θ－sin θ)2＝eq \f(1,25)，
∵θ为直角三角形中较小的锐角，
∴cs θ＞sin θ ，∴cs θ－sin θ＝eq \f(1,5)，
又∵(cs θ－sin θ)2＝1－2sin θcs θ＝eq \f(1,25)，
∴2sin θcs θ＝eq \f(24,25)，∴1＋2sin θcs θ＝eq \f(49,25)，
即(cs θ＋sin θ)2＝eq \f(49,25)，∴cs θ＋sin θ＝eq \f(7,5)，
∴sin2θ－cs2θ＝(cs θ＋sin θ)(sin θ－cs θ)＝－eq \f(7,25).
【训练三】(多选)已知f(α)＝eq \f(2sin αcs α－2,sin α＋cs α＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤α≤\f(π,2)))，则下列说法正确的是( )
A．f(α)的最小值为－eq \r(2)
B．f(α)的最小值为－1
C．f(α)的最大值为eq \r(2)－1
D．f(α)的最大值为1－eq \r(2)
【解析】设t＝sin α＋cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，
由0≤α≤eq \f(π,2)，
得eq \f(π,4)≤α＋eq \f(π,4)≤eq \f(3π,4)，
则1≤t≤eq \r(2)，
又由(sin α＋cs α)2＝t2，
得2sin αcs α＝t2－1，
所以f(α)＝g(t)＝eq \f(t2－1－2,t＋1)＝t－1－eq \f(2,t＋1)，
又因为函数y＝t－1和y＝－eq \f(2,t＋1)在[1，eq \r(2)]上单调递增，
所以g(t)＝t－1－eq \f(2,t＋1)在[1，eq \r(2)]上单调递增，
g(t)min＝g(1)＝－1，
g(t)max＝g(eq \r(2))＝1－eq \r(2).
【训练四】已知关于x的方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cs θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
【解析】(1)原式＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－\f(sin θ,cs θ))
＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs2θ,cs θ－sin θ)
＝eq \f(sin2θ－cs2θ,sin θ－cs θ)
＝sin θ＋cs θ.
由已知得sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，
所以eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)＝eq \f(\r(3)＋1,2).
(2)由已知得sin θcs θ＝eq \f(m,2)，
因为1＋2sin θcs θ＝(sin θ＋cs θ)2，
所以1＋m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)＋1,2)))2，
解得m＝eq \f(\r(3),2).
(3)联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ＝\f(\r(3)＋1,2)，,sin θcs θ＝\f(\r(3),4)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(3),2)，,cs θ＝\f(1,2)))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(1,2)，,cs θ＝\f(\r(3),2).))
因为θ∈(0,2π)，所以θ＝eq \f(π,3)或eq \f(π,6).
【训练五】已知sin α＝1－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))，求sin2α＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))＋1的取值范围．
【解析】因为sin α＝1－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＝1－cs β，
所以cs β＝1－sin α.因为－1≤cs β≤1，
所以－1≤1－sin α≤1,0≤sin α≤2，
又－1≤sin α≤1，所以sin α∈[0,1]．
所以sin2α＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))＋1＝sin2α＋cs β＋1＝sin2α－sin α＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin α－\f(1,2)))2＋eq \f(7,4).(*)
又sin α∈[0,1]，所以当sin α＝eq \f(1,2)时，(*)式取得最小值eq \f(7,4)；当sin α＝1或sin α＝0时，(*)式取得最大值2，故所求取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,4)，2)).
【训练六】在△ABC中，
(1)求证：cs2eq \f(A＋B,2)＋cs2 eq \f(C,2)＝1；
(2)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋B))tan(C－π)＜0，
求证：△ABC为钝角三角形．
【解析】(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
所以eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2)，
所以cseq \f(A＋B,2)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝sin eq \f(C,2)，
所以cs2eq \f(A＋ B,2)＋cs2eq \f(C,2)＝1.
(2)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋B))tan(C－π)＜0，
所以(－sin A)(－cs B)tan C＜0，
即sin Acs Btan C＜0.
因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sin A＞0，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs B＜0，,tan C＞0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs B＞0，,tan C＜0，))
所以B为钝角或C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．
四、【强化测试】
【单选题】
1. 已知α∈(0，π)，cs α＝－eq \f(3,5)，则tan α＝( )
A.eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4)
C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
【解析】∵cs α＝－eq \f(3,5)且α∈(0，π)，∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(4,5)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(4,3).故选D.
2. 已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))的值是( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(2\r(2),3)
【解析】∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝－eq \f(1,3)，故选A.
3. lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7π,4)))的值为( )
A．－1 B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(2),2)
【解析】lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7π,4)))＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)))＝lg2eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(1,2).故选B.
4. 若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－eq \f(3,5)，且α∈eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))eq \f(π,2)，πeq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(,,,,))，则sin(π－2α)＝( )
A．－eq \f(24,25) B．－eq \f(12,25)
C.eq \f(12,25) D.eq \f(24,25)
【解析】∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α＝－eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴sin α＝eq \f(4,5)，∴sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcs α＝2×eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(24,25).故选A.
5. 若eq \f(1＋cs α,sin α)＝2，则cs α－3sin α＝( )
A．－3 B．3
C．－eq \f(9,5) D.eq \f(9,5)
【解析】∵eq \f(1＋cs α,sin α)＝2，∴cs α＝2sin α－1，又sin2α＋cs2α＝1，
∴sin2α＋(2sin α－1)2＝1,5sin2α－4sin α＝0，解得sin α＝eq \f(4,5)或sin α＝0(舍去)，
∴cs α－3sin α＝－sin α－1＝－eq \f(9,5).故选C.
6. 已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(17π,12)))等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2\r(2),3)
C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(2\r(2),3)
【解析】 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(17π,12)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3).故选A.
7. 已知sin 2α＝eq \f(2,3)，则tan α＋eq \f(1,tan α)＝( )
A.eq \r(3) B.eq \r(2)
C．3 D．2
【解析】tan α＋eq \f(1,tan α)＝eq \f(sin α,cs α)＋eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(1,sin αcs α)＝eq \f(2,sin 2α)＝eq \f(2,\f(2,3))＝3.故选C.
8. 已知α∈R，sin α＋2cs α＝eq \f(\r(10),2)，则tan 2α＝( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4)
C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(4,3)
【解析】因为sin α＋2cs α＝eq \f(\r(10),2)，sin2α＋cs2α＝1，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝\f(3\r(10),10)，,cs α＝\f(\r(10),10)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝－\f(\r(10),10)，,cs α＝\f(3\r(10),10).))
所以tan α＝3或－eq \f(1,3).所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×3,1－32)＝－eq \f(3,4)或tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))2)＝－eq \f(3,4).故选C.
【多选题】
9. 在△ABC中，下列结论正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin eq \f(B＋C,2)＝cs eq \f(A,2)
C．tan(A＋B)＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C≠\f(π,2)))
D．cs(A＋B)＝cs C
【解析】在△ABC中，有A＋B＋C＝π，
则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确．
sin eq \f(B＋C,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝cs eq \f(A,2)，B正确．
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C≠\f(π,2)))，
C正确．
cs(A＋B)＝cs(π－C)＝－cs C，D错误．
故选ABC.
10. 已知α∈(0，π)，且sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，则( )
A.eq \f(π,2)<α<π
B．sin αcs α＝－eq \f(12,25)
C．cs α－sin α＝eq \f(7,5)
D．cs α－sin α＝－eq \f(7,5)
【解析】∵sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，
等式两边平方得
(sin α＋cs α)2＝1＋2sin αcs α＝eq \f(1,25)，
解得sin αcs α＝－eq \f(12,25)，故B正确；
∵α∈(0，π)，sin αcs α＝－eq \f(12,25)<0，
∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，故A正确；
cs α－sin α<0，
且(cs α－sin α)2＝1－2sin αcs α
＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,25)))＝eq \f(49,25)，
解得cs α－sin α＝－eq \f(7,5)，故D正确．
故选ABD.
11. 已知角α满足sin α·cs α≠0，则表达式eq \f(sinα＋kπ,sin α)＋eq \f(csα＋kπ,cs α)(k∈Z)的取值可能为( )
A．－2 B．－1或1
C．2 D．－2或2或0
【解析】当k为奇数时，原式＝eq \f(－sin α,sin α)＋eq \f(－cs α,cs α)＝(－1)＋(－1)＝－2；
当k为偶数时，原式＝eq \f(sin α,sin α)＋eq \f(cs α,cs α)＝1＋1＝2.
∴原表达式的取值可能为－2或2.
故选AC.
12. 若sin α＝eq \f(4,5)，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )
A．tan α＝eq \f(4,3)
B．cs α＝eq \f(3,5)
C．sin α＋cs α＝eq \f(8,5)
D．sin α－cs α＝－eq \f(1,5)
【解析】∵sin α＝eq \f(4,5)，且α为锐角，
∴cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝eq \f(3,5)，故B正确，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(4,5),\f(3,5))＝eq \f(4,3)，故A正确，
∴sin α＋cs α＝eq \f(4,5)＋eq \f(3,5)＝eq \f(7,5)≠eq \f(8,5)，故C错误，
∴sin α－cs α＝eq \f(4,5)－eq \f(3,5)＝eq \f(1,5)≠－eq \f(1,5)，故D错误．
故选AB.
【填空题】
13. 若eq \f(sin（π－θ）＋cs（θ－2π）,sin θ＋cs（π＋θ）)＝eq \f(1,2)，则tan θ＝________.
【解析】因为eq \f(sin（π－θ）＋cs（θ－2π）,sin θ＋cs（π＋θ）)＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝eq \f(1,2)，
所以2(sin θ＋cs θ)＝sin θ－cs θ，
所以sin θ＝－3cs θ，所以tan θ＝－3.
14. 若tan α＝－2，则cs2α＋2sin 2α＝________.
【解析】原式＝eq \f(cs2α＋2sin 2α,cs2α＋sin2α)
＝eq \f(cs2α＋4sin αcs α,cs2α＋sin2α)
＝eq \f(1＋4tan α,1＋tan2α)＝eq \f(1－8,1＋4)＝－eq \f(7,5).
15. 已知－eq \f(π,2)＜α＜0，sin α＋cs α＝eq \f(1,5)， 则eq \f(1,cs2α－sin2α)的值为________.
【解析】由题意，因为sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，所以1＋2sin αcs α＝eq \f(1,25)，
所以2sin αcs α＝－eq \f(24,25)，
所以(cs α－sin α)2＝1－2sin αcs α＝eq \f(49,25)，
又因为－eq \f(π,2)＜α＜0，所以sin α＜0，cs α＞0，
所以cs α－sin α＝eq \f(7,5)，
所以eq \f(1,cs2α－sin2α)＝
eq \f(1,（cs α＋sin α）（cs α－sin α）)＝eq \f(25,7).
16. 已知θ是第四象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝________.
【解析】由题意，得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,4).
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)－\f(π,2)))
＝－eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))＝－eq \f(4,3).
【解答题】
17. (1)已知cs α是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))tan2π－α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))的值；
(2)已知sin x＋cs x＝－eq \f(7,13)(0
又α是第三象限角，所以cs α＝－eq \f(2,3)，
所以sin α＝－eq \f(\r(5),3)，tan α＝eq \f(\r(5),2).
所以原式＝eq \f(－cs αsin αtan2α,－sin αcs α)＝tan2α＝eq \f(5,4).
(2)∵sin x＋cs x＝－eq \f(7,13)(0
把sin x＋cs x＝－eq \f(7,13)，
两边平方得1＋2sin xcs x＝eq \f(49,169)，
即2sin xcs x＝－eq \f(120,169)，
∴(sin x－cs x)2＝1－2sin xcs x＝eq \f(289,169)，
即sin x－cs x＝eq \f(17,13)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x＋cs x＝－\f(7,13)，,sin x－cs x＝\f(17,13)，))
解得sin x＝eq \f(5,13)，cs x＝－eq \f(12,13)，
∴cs x－2sin x＝－eq \f(22,13).
18. 已知角α的终边经过点P(3m，－6m)(m≠0)．
(1)求eq \f(sinα＋π＋csα－π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＋2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))))的值；
(2)若α是第二象限角，求sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＋sin(π－α)cs α－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))的值．
【解析】(1)∵m≠0，∴cs α≠0，
即eq \f(sinα＋π＋csα－π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＋2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))))
＝eq \f(－sin α－cs α,cs α＋2sin α)
＝eq \f(－tan α－1,1＋2tan α).
又∵角α的终边经过点P(3m，－6m)(m≠0)，
∴tan α＝eq \f(－6m,3m)＝－2，
故eq \f(sinα＋π＋csα－π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＋2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))))
＝eq \f(－tan α－1,1＋2tan α)
＝eq \f(2－1,1＋2×－2)＝－eq \f(1,3).
(2)∵α是第二象限角，∴m<0，
则sin α＝eq \f(－6m,\r(3m2＋－6m2))
＝eq \f(－6m,3\r(5)|m|)
＝eq \f(2\r(5),5)，
cs α＝eq \f(3m,\r(3m2＋－6m2))
＝eq \f(3m,3\r(5)|m|)
＝－eq \f(\r(5),5)，
∴sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＋sin(π－α)cs α－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))
＝cs2α＋sin αcs α＋sin α
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))2＋eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))＋eq \f(2\r(5),5)
＝eq \f(－1＋2\r(5),5).
19. 已知f(α)＝eq \f(sinπ－αcs2π－αtanα＋π,tan－α－πsin－α－π).
(1)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，α是第三象限角，求f(α)的值；
(2)若α＝－eq \f(31π,3)，求f(α)的值．
【解析】f(α)＝eq \f(sin α·cs α·tan α,－tan α·sin α)＝－cs α.
(1)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝－sin α＝eq \f(1,5)，
∴sin α＝－eq \f(1,5).
∵α是第三象限角，
∴cs α＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)))2)＝－eq \f(2\r(6),5).
f(α)＝－cs α＝eq \f(2\r(6),5).
(2)f(α)＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－eq \f(1,2).
20. 已知－eq \f(π,2)<α<0，且函数f(α)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－sin α·eq \r(\f(1＋cs α,1－cs α))－1.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝eq \f(1,5)，求sin αcs α和sin α－cs α的值．
【解析】(1)f(α)＝sin α－sin α·eq \r(\f(1＋cs α2,1－cs2α))－1
＝sin α＋sin α·eq \f(1＋cs α,sin α)－1＝sin α＋cs α.
(2)方法一 由f(α)＝sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，
平方可得sin2α＋2sin α·cs α＋cs2α＝eq \f(1,25)，
即2sin α·cs α＝－eq \f(24,25).
∴sin α·cs α＝－eq \f(12,25).
又－eq \f(π,2)<α<0，∴sin α<0，cs α>0，
∴sin α－cs α<0，
∵(sin α－cs α)2＝1－2sin α·cs α＝eq \f(49,25)，
∴sin α－cs α＝－eq \f(7,5).
方法二 联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＋cs α＝\f(1,5)，,sin2α＋cs2α＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝－\f(3,5)，,cs α＝\f(4,5)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝\f(4,5)，,cs α＝－\f(3,5).))
∵－eq \f(π,2)<α<0，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝－\f(3,5)，,cs α＝\f(4,5)，))
∴sin αcs α＝－eq \f(12,25)，sin α－cs α＝－eq \f(7,5).
21. 已知α为第三象限角，
f(α)＝eq \f(sin（α－\f(π,2)）·cs（\f(3π,2)＋α）·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）).
(1)化简f(α)；
(2)若cs(α－eq \f(3π,2))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值．
【解析】(1)f(α)＝eq \f(sin（α－\f(π,2)）·cs（\f(3π,2)＋α）·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）)
＝eq \f(（－cs α）·sin α·（－tan α）,（－tan α）·sin α)＝－cs α.
(2)因为cs(α－eq \f(3π,2))＝eq \f(1,5)，
所以－sin α＝eq \f(1,5)，
从而sin α＝－eq \f(1,5).
又α为第三象限角，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(6),5)，
所以f(α)＝－cs α＝eq \f(2\r(6),5).
22. 是否存在α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，π))使等式sin(3π－α)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))，eq \r(3)cs(－α)＝－eq \r(2)cs(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
【解析】假设存在角α，β满足条件．
由已知条件可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin α＝\r(2)sin β，①,\r(3)cs α＝\r(2)cs β，②))
由①2＋②2，得sin2α＋3cs2α＝2.
所以sin2α＝eq \f(1,2)，所以sin α＝±eq \f(\r(2),2).
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以α＝±eq \f(π,4).
当α＝eq \f(π,4)时，由②式知cs β＝eq \f(\r(3),2)，
又β∈(0，π)，所以β＝eq \f(π,6)，此时①式成立；
当α＝－eq \f(π,4)时，由②式知cs β＝eq \f(\r(3),2)，又β∈(0，π)，
所以β＝eq \f(π,6)，此时①式不成立，故舍去．
所以存在α＝eq \f(π,4)，β＝eq \f(π,6)满足条件．
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cs__α
cs__α
余弦
cs α
－cs__α
cs__α
－cs__α
sin__α
－sin__α
正切
tan α
tan__α
－tan__α
－tan__α
口诀
奇变偶不变，符号看象限
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