2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题26两角和与差的正弦余弦和正切（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题26两角和与差的正弦余弦和正切（学生版），共6页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
【考点预测】
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcs__β±cs__αsin__β.
cs(α∓β)＝cs__αcs__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcs__α.
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
3.函数f(α)＝asin α＋bcs α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq \r(a2＋b2)·cs(α－φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(a,b))).
【常用结论】
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cs α)2，
sin α±cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4))).
【方法技巧】
1.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
2.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
3.常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))等．
二、【题型归类】
【题型一】和差公式的直接应用
【典例1】已知α∈(0，π)，且3cs 2α－8cs α＝5，则sin α＝( )
A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(5),9)
【典例2】已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为( )
A．－eq \f(2,11) B.eq \f(2,11) C.eq \f(11,2) D．－eq \f(11,2)
【典例3】已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5).
(1)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值；
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2α))的值．
【题型二】三角函数公式的逆用与变形应用
【典例1】在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cs C的值为( )
A．－eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
【典例2】已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．
【典例3】已知sin 2α＝eq \f(1,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝( )
A．－eq \f(1,3) B．eq \f(1,3)
C．－eq \f(2,3) D．eq \f(2,3)
【题型三】三角函数公式中变“角”
【典例1】(多选)若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝2eq \r(3)，则( )
A．tan α＝eq \f(\r(3),13) B．tan α＝eq \f(\r(3),7)
C．tan 2α＝eq \f(23\r(3),7) D．tan 2α＝eq \f(7\r(3),23)
【典例2】已知α，β都是锐角，cs(α＋β)＝eq \f(5,13)，sin(α－β)＝eq \f(3,5)，则cs 2α＝________．
【题型四】三角函数公式中变“名”
【典例1】求值：eq \f(1＋cs 20°,2sin 20°)－sin 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,tan 5°)－tan 5°)).
【典例2】求4sin 20°＋tan 20°的值．
三、【培优训练】
【训练一】如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝eq \f(\r(5),5)，点B的纵坐标是eq \f(\r(2),10).
(1)求cs(α－β)的值；
(2)求2α－β的值.
【训练二】已知x，y∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin(x＋y)＝2sin(x－y)，则x－y的最大值为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,8)
【训练三】已知α－β＝eq \f(π,6)，tan α－tan β＝3，则cs(α＋β)的值为( )
A.eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),3) B.eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,3)－eq \f(\r(3),2)
【训练四】已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))，x∈R.
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))的值；
(2)若cs θ＝eq \f(4,5)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))的值．
【训练五】已知sin α＋cs α＝eq \f(3\r(5),5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
(1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cs(α＋2β)的值．
【训练六】设α，β∈[0，π]，且满足sin αcs β－cs αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．
四、【强化测试】
【单选题】
1. 若sin θ＝eq \r(5)cs(2π－θ)，则tan 2θ＝( )
A．－eq \f(\r(5),3) B.eq \f(\r(5),3) C．－eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(5),2)
2. eq \f(cs 15°＋sin 15°,cs 15°－sin 15°)的值为( )
A．eq \f(\r(3),3) B．eq \r(3)
C．－eq \f(\r(3),3) D．－eq \r(3)
3. 已知eq \f(cs θ,sin θ)＝3cs(2π＋θ)，|θ|A.eq \f(8\r(2),9) B.eq \f(2\r(2),3)
C.eq \f(4\r(2),9) D.eq \f(2\r(2),9)
4. 若α，β都是锐角，且cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq \f(3,5)，则cs β＝( )
A.eq \f(2\r(5),25) B.eq \f(2\r(5),5)
C.eq \f(2\r(5),25)或eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(\r(5),5)或eq \f(\r(5),25)
5. 已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(4,5)，则sin 2α＝( )
A．eq \f(1,5) B．－eq \f(1,5)
C．eq \f(7,25) D．－eq \f(7,25)
6. 已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \f(1,4)，则cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝( )
A．eq \f(\r(3),4) B．－eq \f(\r(3),4)
C．eq \f(1,4) D．±eq \f(\r(3),4)
7. 已知sin(α＋β)＝eq \f(1,2)，sin(α－β)＝eq \f(1,3)，则lgeq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(tan α,tan β)))eq \s\up12(2)等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
8. 已知α为第二象限角，且tan α＋tan eq \f(π,12)＝2tan αtan eq \f(π,12)－2，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6)))等于( )
A．－eq \f(\r(10),10) B．eq \f(\r(10),10)
C．－eq \f(3\r(10),10) D．eq \f(3\r(10),10)
【多选题】
9. 下面各式中，正确的是( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋eq \f(\r(3),2)cs eq \f(π,4)
B．cs eq \f(5π,12)＝eq \f(\r(2),2)sin eq \f(π,3)－cs eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))＝cs eq \f(π,4)cs eq \f(π,3)＋eq \f(\r(6),4)
D．cs eq \f(π,12)＝cs eq \f(π,3)－cs eq \f(π,4)
10. 下列四个选项中，化简正确的是( )
A．cs(－15°)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)
B．cs 15°cs 105°＋sin 15°sin 105°＝cs(15°－105°)＝0
C．cs(α－35°)cs(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cs[(α－35°)－(25°＋α)]＝cs(－60°)＝cs 60°＝eq \f(1,2)
D．sin 14°cs 16°＋sin 76°cs 74°＝eq \f(1,2)
11. 已知函数f(x)＝eq \f(sin 4x＋\r(3)cs 4x,sin 2x－\r(3)cs 2x)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为2
C．f(x)的值域为(－2,2)
D．f(x)的图象关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，0))对称
12. 下列结论正确的是( )
A．sin(α－β)sin(β－γ)－cs(α－β)cs(γ－β)＝－cs(α－γ)
B．3eq \r(15)sin x＋3eq \r(5)cs x＝3eq \r(5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))
C．f(x)＝sin eq \f(x,2)＋cs eq \f(x,2)的最大值为2
D．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1
【填空题】
13. sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)＝________.
14. 已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝eq \f(1,2)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))的值为________.
15. tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________.
16. 已知sin 10°＋mcs 10°＝2cs 140°，则m＝________.
【解答题】
17. 已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan α＝eq \f(1,2)，求tan 2α和sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))的值．
18. 已知α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(3,5)，tan(α－β)＝－eq \f(1,3).
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cs β的值．
19. 已知tan α＝2.
(1)求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值；
(2)求eq \f(sin 2α,sin2α＋sin αcs α－cs 2α－1)的值．
20. 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5))).
(1)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋π))的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝eq \f(5,13)，求cs β的值．
21. 已知A，B均为钝角，且sin A＝eq \f(\r(5),5)，sin B＝eq \f(\r(10),10)，求A＋B的值．
22. 已知α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(3,5)，tan(α－β)＝－eq \f(1,3).
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cs β的值．