2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题24任意角和蝗制及三角函数的概念（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题24任意角和蝗制及三角函数的概念（教师版），共17页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
【考点预测】
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、, 零角.,按终边位置不同分为象限角, 和轴线角.))
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
3.任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，
则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(2)任意角的三角函数的定义(推广)：
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
【常用结论】
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.
3.象限角
4.轴线角
【方法技巧】
1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
2.确定kα，eq \f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或eq \f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq \f(α,k)的终边所在位置．
3.应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
4.利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
5.判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
二、【题型归类】
【题型一】象限角及终边相同的角
【典例1】(多选)下列与角eq \f(2π,3)的终边相同的角是( )
A．eq \f(14π,3) B．2kπ－eq \f(2π,3)(k∈Z)
C．2kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z) D．(2k＋1)π＋eq \f(2π,3)(k∈Z)
【解析】与角eq \f(2π,3)的终边相同的角为2kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)，k＝2时，4π＋eq \f(2π,3)＝eq \f(14,3)π.
故选AC.
【典例2】集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
【解析】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与eq \f(π,4)≤α≤eq \f(π,2)表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与π＋eq \f(π,4)≤α≤π＋eq \f(π,2)表示的范围一样，故选C．
【典例3】若角α是第二象限角，则eq \f(α,2)是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
【解析】因为α是第二象限角，所以eq \f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
所以eq \f(π,4)＋kπ当k为偶数时，eq \f(α,2)是第一象限角；
当k为奇数时，eq \f(α,2)是第三象限角．
所以eq \f(α,2)是第一或第三象限角．故选C．
【题型二】弧度制及其应用
【典例1】(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则下列选项正确的有( )
A．扇形的半径为2 B．扇形的半径为1
C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2
【解析】设扇形半径为r，圆心角的弧度数为α，则由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2r＋αr＝6，,\f(1,2)αr2＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(r＝1，,α＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(r＝2，,α＝1，))可得圆心角的弧度数是4或1，扇形的半径是1或2.
故选ABC.
【典例2】一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的eq \f(2,3)，面积等于圆面积的eq \f(5,27)，则扇形的弧长与圆周长之比为________．
【解析】设圆的半径为r，则扇形的半径为eq \f(2r,3)，记扇形的圆心角为α，则eq \f(\f(1,2)α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2r,3)))\s\up12(2),πr2)＝eq \f(5,27)，所以α＝eq \f(5π,6).所以扇形的弧长与圆周长之比为eq \f(l,C)＝eq \f(\f(5π,6)·\f(2r,3),2πr)＝eq \f(5,18).
【典例3】已知扇形的圆心角是α ，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【解析】(1)α＝60°＝eq \f(π,3)，l＝10×eq \f(π,3)＝eq \f(10π,3)(cm)．
(2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R，0所以扇形的面积S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5时，S取得最大值最大值为25 cm2，
此时l＝10 cm，α＝2 rad.
【题型三】三角函数的定义
【典例1】已知角α的终边上一点P(－eq \r(3)，m)(m≠0)，且sin α＝eq \f(\r(2)m,4)，则cs α＝________，tan α＝________.
【解析】设P(x，y).由题设知x＝－eq \r(3)，y＝m，
所以r2＝OP2＝(－eq \r(3))2＋m2(O为原点)，即r＝eq \r(3＋m2)，
所以sin α＝eq \f(m,r)＝eq \f(\r(2)m,4)＝eq \f(m,2\r(2))，
所以r＝eq \r(3＋m2)＝2eq \r(2)，
即3＋m2＝8，解得m＝±eq \r(5).
当m＝eq \r(5)时，cs α＝eq \f(－\r(3),2\r(2))＝－eq \f(\r(6),4)，
tan α＝－eq \f(\r(15),3)；
当m＝－eq \r(5)时，cs α＝eq \f(－\r(3),2\r(2))＝－eq \f(\r(6),4)，tan α＝eq \f(\r(15),3).
【典例2】已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cs α＝－eq \f(4,5)，则m的值为( )
A.－eq \f(1,2) B.－eq \f(\r(3),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
【解析】由题意得点P(－8m，－3)，
r＝eq \r(64m2＋9)，
所以cs α＝eq \f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq \f(4,5)，
所以m>0，解得m＝eq \f(1,2).
故选C.
【典例3】若点P(cs θ，sin θ)与点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________.
【解析】∵P(cs θ，sin θ)与
Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))))
关于y轴对称，
即θ，θ＋eq \f(π,6)关于y轴对称，
θ＋eq \f(π,6)＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，
则θ＝kπ＋eq \f(5π,12)，k∈Z，
当k＝0时，可取θ的一个值为eq \f(5π,12).
【题型四】三角函数值符号的判定
【典例1】若sin θ·cs θ<0，eq \f(tan θ,sin θ)>0，则角θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】由eq \f(tan θ,sin θ)>0，得eq \f(1,cs θ)>0，
所以cs θ>0.又sin θ·cs θ<0，
所以sin θ<0，所以θ为第四象限角．
故选D.
【典例2】点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动eq \f(2π,3)弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))
【解析】由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cseq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，y＝sineq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2).
所以Q点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
故选A.
【典例3】若角α的终边落在直线y＝－x上，则eq \f(sin α,|cs α|)＋eq \f(|sin α|,cs α)＝________．
【解析】因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，eq \f(sin α,|cs α|)＋eq \f(|sin α|,cs α)＝eq \f(sin α,－cs α)＋eq \f(sin α,cs α)＝0；当角α的终边位于第四象限时，eq \f(sin α,|cs α|)＋eq \f(|sin α|,cs α)＝eq \f(sin α,cs α)＋eq \f(－sin α,cs α)＝0.所以eq \f(sin α,|cs α|)＋eq \f(|sin α|,cs α)＝0.
三、【培优训练】
【训练一】如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，eq \(OP,\s\up6(→))的坐标为________.
【解析】如图所示，设滚动后的圆的圆心为C，
过点C作x轴的垂线，垂足为A，过点P作x轴的垂线与过点C所作y轴的垂线交于点B.
因为圆心移动的距离为2，所以劣弧eq \(PA,\s\up8(︵))＝2，
即圆心角∠PCA＝2，则∠PCB＝2－eq \f(π,2)，
所以|PB|＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(π,2)))＝－cs 2，
|CB|＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(π,2)))＝sin 2，
所以xP＝2－|CB|＝2－sin 2，
yP＝1＋|PB|＝1－cs 2，
所以eq \(OP,\s\up6(→))＝(2－sin 2，1－cs 2).
【训练二】在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？
【解析】因为△AOB是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，
所以A＝B＝30°＝eq \f(π,6)，AM＝BN＝1，AD＝2，
所以方案一中扇形的弧长＝2×eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)；方案二中扇形的弧长＝1×eq \f(2π,3)＝eq \f(2π,3)；
方案一中扇形的面积＝eq \f(1,2)×2×2×eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)，方案二中扇形的面积＝eq \f(1,2)×1×1×eq \f(2π,3)＝eq \f(π,3).
由此可见，两种方案中可利用废料的面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优．
【训练三】若角α的终边落在直线y＝eq \r(3)x上，角β的终边与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，m))，且sin α·cs β<0，则cs α·sin β＝________.
【解析】由角β的终边与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，m))，得cs β＝eq \f(1,2)，又由sin α·cs β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y＝eq \r(3)x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，又由y＝eq \r(3)x得x＝－eq \f(1,2)，y＝－eq \f(\r(3),2)，所以cs α＝x＝－eq \f(1,2)，因为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，m))在单位圆上，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋m2＝1，解得m＝±eq \f(\r(3),2)，所以sin β＝±eq \f(\r(3),2)，所以cs α·sin β＝±eq \f(\r(3),4).
【训练四】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为eq \f(2π,3)，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________．
【解析】由题意可得∠AOB＝eq \f(2π,3)，OA＝4.在Rt△AOD中，易得∠AOD＝eq \f(π,3)，∠DAO＝eq \f(π,6)，OD＝eq \f(1,2)OA＝eq \f(1,2)×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD＝AOsin eq \f(π,3)＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，可得弦AB＝2AD＝4eq \r(3).所以弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)＝eq \f(1,2)×(4eq \r(3)×2＋22)＝4eq \r(3)＋2.
【训练五】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝eq \f(1,3)，则cs(α－β)＝( )
A．－1 B．－eq \f(7,9)
C．eq \f(4\r(2),9) D．eq \f(7,9)
【解析】因为角α与角β均以Ox为始边，且它们的终边关于y轴对称，所以β＝π－α＋2kπ，k∈Z，则cs(α－β)＝cs(α－π＋α－2kπ)＝cs(2α－π)＝cs(π－2α)＝－cs 2α，又sin α＝eq \f(1,3)，所以cs 2α＝1－2sin2α＝eq \f(7,9)，所以cs(α－β)＝－eq \f(7,9)，故选B.
【训练六】已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．
【解析】设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，
则eq \(AQ,\s\up8(︵))＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，
所以S1＝eq \f(1,2)tm·r－S扇形AOB，S2＝eq \f(1,2)tm·r－S扇形AOB，
所以S1＝S2恒成立．
四、【强化测试】
【单选题】
1. 下列与角eq \f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A.2kπ＋45°(k∈Z)
B.k·360°＋eq \f(9π,4)(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z)
D.kπ＋eq \f(5π,4)(k∈Z)
【解析】与角eq \f(9π,4)的终边相同的角可以写成2kπ＋eq \f(9π,4)(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，排除A、B，易知D错误，C正确.
故选C.
2. 给出下列四个命题：
①－eq \f(3π,4)是第二象限角；
②eq \f(4π,3)是第三象限角；
③－400°是第四象限角；
④－315°是第一象限角.
其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】①中－eq \f(3π,4)是第三象限角，从而①错.
②中eq \f(4π,3)＝π＋eq \f(π,3)，则eq \f(4π,3)是第三象限角，从而②正确.
③中－400°＝－360°－40°，从而③正确.
④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确.
故选C.
3. 已知点P(sin(－30°)，cs(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为( )
A.－eq \f(π,3) B.eq \f(2π,3) C.－eq \f(2π,3) D.－eq \f(4π,3)
【解析】因为P(sin(－30°)，cs(－30°))，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－eq \f(4π,3).
故选D.
4. 若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝k·2π－\f(π,4)，k∈Z))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝k·2π＋\f(3π,4)，k∈Z))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝k·π－\f(3π,4)，k∈Z))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝k·π－\f(π,4)，k∈Z))))
【解析】角α的取值集合为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝（2n＋1）π－\f(π,4)，n∈Z))))∪
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝2nπ－\f(π,4)，n∈Z))))
＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f(π,4)，k∈Z)))).
故选D.
5. 已知点P(tan α，cs α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】由题意知tan α<0，cs α<0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.
6. 若扇形的面积为eq \f(3π,8)、半径为1，则扇形的圆心角为( )
A.eq \f(3π,2) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(3π,8) D.eq \f(3π,16)
【解析】设扇形的圆心角为α，
∵扇形的面积为eq \f(3π,8)、半径为1，
∴eq \f(3π,8)＝eq \f(1,2)α·12，∴α＝eq \f(3π,4).
故选B.
7. 在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tan αA. B. C. D.
【解析】由题意知，四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，在上，tan α>sin α，不满足；
在上，tan α>sin α，不满足；
在上，sin α>0，cs α<0，tan α<0，且cs α>tan α，满足；
在上，tan α>0，sin α<0，cs α<0，不满足．
故选C.
8. 在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，顶点为坐标原点O，已知角α的终边l与单位圆交于点A(0.6，m)，将l绕原点逆时针旋转eq \f(π,2)与单位圆交于点B(x，y)，若tan α＝－eq \f(4,3)，则x＝( )
A.0.6 B.0.8 C.－0.6 D.－0.8
【解析】已知角α的终边l与单位圆交于点A(0.6，m)，且tan α＝－eq \f(4,3)，则tan α＝eq \f(m,0.6)＝－eq \f(4,3)，解得m＝－0.8，所以A(0.6，－0.8)在第四象限，角α为第四象限角.
由l绕原点逆时针旋转eq \f(π,2)与单位圆交于点B(x，y)，可知点B(x，y)在第一象限，则∠BOx＝eq \f(π,2)＋α，所以cs∠BOx＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α，即eq \f(x,1)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－0.8,1)))，解得x＝0.8.
故选B.
【多选题】
9. 下列说法正确的有( )
A．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度
B．1°＝eq \f(180,π) rad
C．若sin θ>0，cs θ<0，则θ为第二象限角
D．若θ为第二象限角，则eq \f(θ,2)为第一或第三象限角
【解析】对于A，经过30分钟，钟表的分针转过－π弧度，不是π弧度，故A错误；
对于B,1°化成弧度是eq \f(π,180) rad，故B错误；
对于C，由sin θ>0，可得θ为第一、第二象限及y轴正半轴上的角；
由cs θ<0，可得θ为第二、第三象限及x轴负半轴上的角．
取交集可得θ是第二象限角，故C正确；
对于D，若θ是第二象限角，
则2kπ＋eq \f(π,2)<θ<2kπ＋π(k∈Z)，
则kπ＋eq \f(π,4)所以eq \f(θ,2)为第一或第三象限角，故D正确．
故选CD.
10. 角α的终边在第一象限，则eq \f(sin \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))))＋eq \f(cs \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2))))＋eq \f(tan \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan \f(α,2))))的值为( )
A．－1 B．1 C．－3 D．3
【解析】∵角α的终边在第一象限，
∴角eq \f(α,2)的终边在第一象限或第三象限．
∴当角eq \f(α,2)的终边在第一象限时，
eq \f(sin \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))))＋eq \f(cs \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2))))＋eq \f(tan \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan \f(α,2))))＝1＋1＋1＝3，
当角eq \f(α,2)的终边在第三象限时，
eq \f(sin \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2))))＋eq \f(cs \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2))))＋eq \f(tan \f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(tan \f(α,2))))＝－1－1＋1＝－1.
故选AD.
11. 在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点O，以x正半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是( )
A.eq \f(sin α,tan α) B．cs α－sin α
C．sin αcs α D．sin α＋cs α
【解析】由题意知sin α<0，cs α>0，tan α<0.
选项A，eq \f(sin α,tan α)>0；选项B，cs α－sin α>0；
选项C，sin αcs α<0；选项D，sin α＋cs α符号不确定．故选AB.
12. 已知角α的终边过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cs α的值可能是( )
A．1 B．eq \f(2,5)
C．－eq \f(2,5) D．－1
【解析】因为角α的终边过点P(－4m，3m)(m≠0)，所以r＝eq \r(（－4m）2＋（3m）2)＝5|m|，所以sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(3m,5|m|)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(－4m,5|m|).
①当m>0时，sin α＝eq \f(3m,5m)＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(－4m,5m)＝－eq \f(4,5)，
2sin α＋cs α＝2×eq \f(3,5)－eq \f(4,5)＝eq \f(2,5)；
②当m<0时，sin α＝eq \f(3m,－5m)＝－eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(－4m,－5m)＝eq \f(4,5)，2sin α＋cs α＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＋eq \f(4,5)＝－eq \f(2,5).
综上知，2sin α＋cs α的值可能是eq \f(2,5)或－eq \f(2,5).故选BC.
【填空题】
13. 若角α的终边经过点P(3m，－4m)(m<0)，则sin α＋cs α＝________.
【解析】由题意得
r＝|OP|＝eq \r(3m2＋－4m2)＝5|m|＝－5m(O为坐标原点)，
则sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(－4m,－5m)＝eq \f(4,5)，
cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(3m,－5m)＝－eq \f(3,5)，
故sin α＋cs α＝eq \f(4,5)－eq \f(3,5)＝eq \f(1,5).
14. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________．
【解析】∵120°＝eq \f(2π,3)，l＝αr，
∴r＝eq \f(l,α)＝eq \f(2π,\f(2π,3))＝3，
∴S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×2π×3＝3π.
15. 函数y＝eq \r(2sin x－1)的定义域为________．
【解析】因为2sin x－1≥0，所以sin x≥eq \f(1,2).
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．
所以x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)．
16. 已知点P(sin θ，cs θ)是角α终边上的一点，其中θ＝eq \f(2π,3)，则与角α终边相同的最小正角为________．
【解析】因为θ＝eq \f(2π,3)，故Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，故α为第四象限角且cs α＝eq \f(\r(3),2)，所以α＝2kπ＋eq \f(11π,6)，k∈Z，所以与角α终边相同的最小正角为eq \f(11π,6).
【解答题】
17. 已知eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，且lg(cs α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，m))，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
【解析】(1)由eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，得sin α<0，
由lg(cs α)有意义，可知cs α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＋m2＝1，
解得m＝±eq \f(4,5).
又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－eq \f(4,5)，
sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(m,|OM|)＝eq \f(－\f(4,5),1)＝－eq \f(4,5).
18. 已知sin α<0，tan α>0.
(1)求角α的集合；
(2)求eq \f(α,2)的终边所在的象限；
(3)试判断tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)的符号．
【解析】(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上，
由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，
其集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋π<α<2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).
(2)由(1)知2kπ＋π<α<2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
故kπ＋eq \f(π,2)故eq \f(α,2)的终边在第二、四象限．
(3)当eq \f(α,2)在第二象限时，tan eq \f(α,2)<0，
sin eq \f(α,2)>0，cs eq \f(α,2)<0，
所以tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)>0，
当eq \f(α,2)在第四象限时，tan eq \f(α,2)<0，
sin eq \f(α,2)<0，cs eq \f(α,2)>0，
所以tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)>0，
综上，tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)的符号为正．
19. 若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cs θ的值；
(2)试判断cs(sin θ)·sin (cs θ)的符号．
【解析】(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a>0时，r＝5a，sin θ＋cs θ＝eq \f(3,5)－eq \f(4,5)＝－eq \f(1,5).
当a<0时，r＝－5a，sin θ＋cs θ＝－eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)＝eq \f(1,5).
综上，sin θ＋cs θ＝±eq \f(1,5).
(2)当a>0时，sin θ＝eq \f(3,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
cs θ＝－eq \f(4,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
则cs(sin θ)·sin(cs θ)＝cs eq \f(3,5)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))<0；
当a<0时，sin θ＝－eq \f(3,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
cs θ＝eq \f(4,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
则cs(sin θ)·sin(cs θ)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))·sin eq \f(4,5)>0.
综上，当a>0时，cs(sin θ)·sin(cs θ)的符号为负；
当a<0时，cs(sin θ)·sin(cs θ)的符号为正．
20. 已知角α是第三象限角，试判断：(1)π－α是第几象限角？(2)eq \f(α,2)是第几象限角？(3)2α是第几象限角？
【解析】(1)因为α是第三象限角，
所以2kπ＋π<α<2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z.
所以－2kπ－eq \f(π,2)<π－α<－2kπ，k∈Z.
所以π－α是第四象限角．
(2)因为kπ＋eq \f(π,2)所以eq \f(α,2)是第二或第四象限角．
(3)因为4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z，
所以2α是第一或第二象限角或y轴非负半轴上的角．
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－eq \f(4,5)，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合．
【解析】(1)由题意可得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5)))，
根据三角函数的定义得tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(3,4).
(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝eq \f(π,3)，
故与角α终边相同的角β的集合为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(β＝\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)))).
22. 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝eq \f(π,3)，R＝10 cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝eq \f(π,3)，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.
【解析】(1)因为α＝eq \f(π,3)，R＝10 cm，
所以l＝|α|R＝eq \f(π,3)×10＝eq \f(10π,3)(cm).
(2)由已知得，l＋2R＝20，
所以S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以当R＝5时，S取得最大值，
此时l＝10，α＝2.
(3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝eq \f(2π,3) cm，
所以S弓形＝eq \f(1,2)×eq \f(2π,3)×2－eq \f(1,2)×22×sin eq \f(π,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－\r(3)))cm2.角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝eq \f(π,180) rad；1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2