2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题21导数极值点偏移问题（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题21导数极值点偏移问题（学生版），共6页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【方法技巧】
众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：
①若，则称为极值点左偏；②若，则称为极值点右偏.[来源:学_科_X_K]
1.对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x0.
(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，若证x1x2>xeq \\al(2,0)，则令F(x)＝f(x)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,0),x))).
(3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性.
(4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系.
(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求.
2.含参函数问题可考虑先消去参数，其目的就是减元，进而建立与所求解问题相关的函数.
3.比(差)值换元就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的.一般用t表示两个极值点之比(差)，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题.
4.对数均值不等式可用对称化构造或比值换元进行证明，在解答题中，一般要先证明后应用. 设a，b>0，a≠b，则eq \f(a＋b,2)>eq \f(a－b,ln a－ln b)>eq \r(ab)，其中eq \f(a－b,ln a－ln b)被称之为对数平均数，上述不等式称为对数均值不等式.
二、【题型归类】
【题型一】消参减元
【典例1】已知函数f(x)＝ln x－ax，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2，求证：x1·x2>e2.
【典例2】已知函数f(x)＝ln(ax)＋eq \f(1,2)ax2－2x，a>0.设x1，x2是函数f(x)的两个极值点，且x12.
【题型二】对称变换
【典例1】已知函数f(x)＝eq \f(ex,x)－ln x＋x－a.
(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；
(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1.
【典例2】已知函数f(x)＝eq \f(2,x)＋ln x.
(1)求f(x)的极值和单调区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－a(a>2)的两个零点为x1，x2，证明：x1＋x2>4.
【题型三】比(差)值换元
【典例1】已知函数f(x)＝xln x的图象与直线y＝m交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2).求证：x1x2【典例2】已知函数f(x)＝eq \f(ln x,x)－meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))))
的两个零点为x1，x2，证明：ln x1＋ln x2>2.
【题型四】对数均值不等式
【典例1】设函数其图象与轴交于两点,且.
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：为函数的导函数）；
【典例2】已知f(x)＝a－eq \f(1,x)－ln x有两个零点x1，x2，且x1三、【培优训练】
【训练一】已知函数f(x)＝xe－x.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2.
【训练二】已知函数f(x)＝xln x－eq \f(1,2)mx2－x，m∈R.
(1)若g(x)＝f′(x)(f′(x)为f(x)的导函数)，求函数g(x)在区间[1，e]上的最大值；
(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，求证：x1x2>e2.
【训练三】已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，且，证明：．
【训练四】已知函数有两个极值点x1,x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）证明：x1x2＜4．
【训练五】已知函数f(x)＝x(1－ln x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且bln a－aln b＝a－b，证明：2【训练六】已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围；
(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，求证：x1＋x2<2.
四、【强化测试】
【解答题】
1. 已知函数f(x)＝eq \f(2,x)＋ln x，若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>4.
2. 已知函数f(x)＝eq \f(ex,ex)，f(x1)＝f(x2)＝t(0证明：x1＋x2>2x1x2.
3. 已知函数f(x)＝x－ln x－a有两个不同的零点x1，x2.
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：x1＋x2>a＋1.
4. 已知f(x)＝x2－2aln x，a∈R.若y＝f(x)有两个零点x1，x2(x1(1)求实数a的取值范围；
(2)若x0是y＝f(x)的极值点，求证：x1＋3x2>4x0.
5. 已知a是实数，函数f(x)＝aln x－x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个相异的零点x1，x2且x1>x2>0，求证：x1x2>e2.
6. 已知函数f(x)＝ln x－ax有两个零点x1，x2.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：x1·x2>e2.
7. 已知函数f(x)＝eq \f(x2,a)－2ln x(a∈R，a≠0)．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2(x14.
8. 已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有两个不同的零点x1，x2.证明：x1＋x2>2.
9. 已知函数．
（1）若恒成立，求实数的取值范围．
（2）若函数的两个零点为，，证明：．
10. 已知函数．
（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；
（2）若函数存在两个极值点，求证：．
11. 已知,,（其中e为自然对数的底数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）若,函数有两个零点,,求证：.
12. 已知函数.
（1）当时,求的最大值；
（2）设点和是曲线上不同的两点,且,若恒成立,求实数k的取值范围.