2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题22导数隐零点问题（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题22导数隐零点问题（学生版），共6页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【方法技巧】
1.在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.
2.当分析导函数的正负性时，可归结为处理某个二次函数在给定区间内的零点问题，但二次函数零点的求解又很复杂，此时一般要借助于韦达定理或极值的特性来对零点“设而不求”.
3.当分析导函数的正负性时，需要归结为分析某个非二次函数的零点，我们处理问题的方法相对就比较有限，其常用的方法为：确定零点存在的前提下，虚设零点并借助该形式化零点进行单调性分析及后续处理，或借助其满足的恒等式(即导数值为0)，通过恒等代换将问题进行转化.
4.零点问题求解三步曲
(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围．
(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式．
(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．
二、【题型归类】
【题型一】导函数中二次函数的隐零点问题
【典例1】已知实数a满足a≥eq \r(e)＋eq \f(1,\r(e))－2，且函数f(x)＝ln x＋eq \f(x2,2)－(a＋2)x恰有一个极小值m和极大值M，求m－M的最大值(其中e为自然对数的底数).
【典例2】已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)＋aln x，a∈R.若对任意的x∈[1，e]，都有eq \f(2,e)≤f(x)≤2e恒成立，求实数a的取值范围(其中e为自然对数的底数).
【题型二】导函数中非二次函数的隐零点问题
【典例1】设函数f(x)＝ex－ax－2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)·f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值.
【典例2】已知函数f(x)＝eq \f(1,a)x2＋ln x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(1,a)))x(a≠0)．
(1)当a＝eq \f(1,2)时，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)令F(x)＝af(x)－x2，若F(x)<1－2ax在x∈(1，＋∞)上恒成立，求整数a的最大值eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(参考数据：ln 3<\f(4,3)，ln 4>\f(5,4))).
【典例3】已知函数.
(1)讨论函数零点的个数;
(2)证明:.
三、【培优训练】
【训练一】已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)证明不等式ex－2－ax>f(x)恒成立．
【训练二】已知函数f(x)＝aex－2x，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a＝1时，求证：f(x)＋x2－eq \f(21,8)x＋1>0.
【训练三】已知函数.
(1)若的最大值是0,求的值;
(2)若对其定义域内任意恒成立,求的取值范围.
【训练四】已知函数.
(1)若函数在上单调递增,求的取值范围;
(2)若,证明:当时,.
参考数据:.
【训练五】已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)当时,设函数,若是在上的一个极值点,求证:是在上的唯一极大值点,且.
【训练六】已知函数.
证明:存在唯一的极大值点,且.
四、【强化测试】
【解答题】
1. 已知函数f(x)＝eq \f(ln x,x)＋eq \f(1,x)＋1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若对任意x∈(0，＋∞)都有aex≥f(x)，求实数a的取值范围．
2. 已知函数f(x)＝eq \f(ln（x＋1）,x)＋eq \f(1,x)，若f(x)>eq \f(k,x＋1)在(0，＋∞)上恒成立，求整数k的最大值.
3. 若x(ex－2)－(ln x－kx)≥1恒成立，求实数k的取值范围.
4. 已知函数的最小值为．
(1)求的值；
(2)已知,,在上恒成立,求的最大值．（参考数据：,）
5. 已知函数.
（1）若,求的单调区间；
（2）若对于任意的,恒成立,求的最小值.
6. 已知函数,其中,且.
(1)当时,求的单调区间；
(2)若只有一个零点,求的取值范围.
7. 已知函数有两个极值点,证明:.
8. 设函数.
(1)讨论的导函数的零点个数;
(2)证明:当时,.
9. 已知函数f(x)＝ax2－xln x＋eq \f(2,a)(a∈R且a≠0)，若不等式f(x)≤0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.
10. 证明：函数f(x)＝ex＋sin x，x∈(－π，＋∞)存在唯一极小值点x0，且－1＜f(x0)＜0.
11. 已知函数f(x)＝2x＋ln(2x－1).
(1)求f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)求证：f(x)≤(2x－1)e2x－1(e为自然对数的底数).
12. 已知函数f(x)＝xex－ax－aln x＋a.
(1)若a＝e，判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的最值；
(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.