2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题10指数与指数函数（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题10指数与指数函数（学生版），共11页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.
3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用.
【考点预测】
1.根式的概念及性质
(1)概念：式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)①负数没有偶次方根.
②0的任何次方根都是0，记作eq \r(n,0)＝0.
③(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1).
④eq \r(n,an)＝a(n为大于1的奇数).
⑤eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数).
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.
4.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
【常用结论】
1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与03.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.
【方法技巧】
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加.
②运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
4.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
5.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.
6.比较指数式的大小的方法是：
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.
7.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
8.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
二、【题型归类】
【题型一】指数幂的运算
【典例1】(a>0，b>0)＝________.
【典例2】若＋＝3(x>0)，则＝________.
【典例3】已知a>0，则化为( )
A． B．
C． D．
【题型二】指数型复合函数的定义域和值域
【典例1】求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(－|x＋1|)； (2)y＝eq \f(2x,2x＋1)； (3)y＝.
【典例2】求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝8eq \s\up6(\f(1,2x－1))； (2)y＝4x＋2x＋1＋1； (3)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2－6x＋17).
【题型三】指数函数的图象及应用
【典例1】(多选)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是( )
A．a＝b＝0 B．aC．0【典例2】在同一直角坐标系中，指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))x，二次函数y＝ax2－bx的图象可能是( )
【典例3】若存在正数x使ex(x＋a)<1成立，则a的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，1)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,e)－1)) D．(－∞，－1)
【题型四】比较指数式的大小
【典例1】若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>c>a D．a>c>b
【典例2】若2x－2y<3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0
【典例3】若－1”连接)
【题型五】解简单的指数方程或不等式
【典例1】已知实数a≠1，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______．
【典例2】若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________________．
【典例3】已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是( )
A．[2,4] B．(－∞，0)
C．(0,1)∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]
【题型六】指数函数性质的综合应用
【典例1】已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．
【典例2】(多选)下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73 B.
C．1.70.3>0.93.1 D.
【典例3】函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是( )
A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx) D．与x有关，不确定
三、【培优训练】
【训练一】定义在R上的函数f(x)单调递增，且对∀x∈R，有f(f(x)－2x)＝3，则f(lg43)＝________.
【训练二】设f(x)＝|2x－1－1|，af(c)，则2a＋2c______4.(选填“>”“<”“＝”)
【训练三】已知函数f(x)＝eq \f(1,4x)－eq \f(λ,2x－1)＋4(－1≤x≤2)．
(1)若λ＝eq \f(3,2)，求函数f(x)的值域；
(2)若方程f(x)＝0有解，求实数λ的取值范围．
【训练四】已知函数f(x)，若在其定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称函数f(x)为“局部奇函数”，若函数f(x)＝4x－m·2x－3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是( )
A．[－2，2) B．[－2，＋∞)
C．(－∞，2) D．[－4，－2)
【训练五】已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)，x∈[－1，1]，函数g(x)＝f2(x)－2af(x)＋3的最小值为h(a)．
(1)求h(a)；
(2)是否存在实数m，n，同时满足以下条件：
①m＞n＞3；
②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]．
若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
【训练六】已知函数f(x)＝2x＋a·2－x(a为常数，a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性；
(2)当f(x)为偶函数时，若方程f(2x)－k·f(x)＝3在x∈[0,1]上有实根，求实数k的取值范围．
四、【强化测试】
【单选题】
1. 若实数a>0，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝eq \f(1,2a3)
C．(－2)0＝－1 D．
2. 已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
3. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2－x，x≥0，,2x－1，x<0，))则函数f(x)是( )
A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增
B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减
C．奇函数，且单调递增
D．奇函数，且单调递减
4. 已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是( )
5. 设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(0.1)的大小关系是( )
A．M＝N B．M≤N
C．MN
6.已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A．a<0，b<0，c<0
B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c
D．2a＋2c<2
7. 基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
8. 设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x），f（x）≤K，,K，f（x）>K.))给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则( )
A．K的最大值为0 B．K的最小值为0
C．K的最大值为1 D．K的最小值为1
【多选题】
9. 已知函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数图象经过点A的是( )
A．y＝eq \r(1－x)＋2 B．y＝|x－2|＋1
C．y＝lg2(2x)＋1 D．y＝2x－1
10. 函数y＝ax－a(a>0，a≠1)的图象可能是( )
11. 设函数f(x)＝2x，对于任意的x1，x2(x1≠x2)，下列命题中正确的是( )
A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)
B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
C.eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0
D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))12. 下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73 B.
C．1.70.3>0.93.1 D.
【填空题】
13. 计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(7,9)))eq \s\up12(0.5)＋0.1－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(10,27)))eq \s\up12(－\f(2,3))－3π0＋eq \f(37,48)＝________．
14. 函数y＝ax－b(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________．
15. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)，a≤x<0，,－x2＋2x，0≤x≤4))的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是________．
16. 已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．
①a＜0，b＜0，c＜0；②a＜0，b≥0，c＞0；③2－a＜2c；④2a＋2c＜2.
【解答题】
17. 已知函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象过点(0，－2)，(2，0)．
(1)求a与b的值；
(2)求x∈[－2，4]时，f(x)的最大值与最小值．
18. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(|x|－a).
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值等于eq \f(9,4)，求a的值．
19. 已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)))eq \s\up12(x)－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围.
20. 已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0且a≠1)是奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围．
21. 已知函数f(x)＝eq \f(4x＋m,2x)是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)设g(x)＝2x＋1－a，若函数f(x)与g(x)的图象有公共点，求实数a的取值范围．
22. 已知定义在R上的函数f(x)＝2x－eq \f(1,2|x|).
(1)若f(x)＝eq \f(3,2)，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x<0时，y>1；
当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
y＝ax与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(x)的图象关于y轴对称