2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题10指数与指数函数（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题10指数与指数函数（教师版），共19页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.
3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用.
【考点预测】
1.根式的概念及性质
(1)概念：式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)①负数没有偶次方根.
②0的任何次方根都是0，记作eq \r(n,0)＝0.
③(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1).
④eq \r(n,an)＝a(n为大于1的奇数).
⑤eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数).
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.
4.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
【常用结论】
1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与03.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.
【方法技巧】
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加.
②运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
4.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
5.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.
6.比较指数式的大小的方法是：
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.
7.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
8.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
二、【题型归类】
【题型一】指数幂的运算
【典例1】(a>0，b>0)＝________.
【解析】原式＝＝eq \f(8,5).
【典例2】若＋＝3(x>0)，则＝________.
【解析】由＋＝3，
两边平方，得x＋x－1＝7，
再平方得x2＋x－2＝47，
∴x2＋x－2－2＝45.
＋＝＋
＝(x－1＋x－1)
＝3×(7－1)＝18.
∴＝eq \f(1,3).
【典例3】已知a>0，则化为( )
A． B．
C． D．
【解析】原式＝＝
＝＝.故选B.
【题型二】指数型复合函数的定义域和值域
【典例1】求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(－|x＋1|)； (2)y＝eq \f(2x,2x＋1)； (3)y＝.
【解析】(1)定义域为R.因为－|x＋1|≤0，
所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(－|x＋1|)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(0)＝1，所以值域为[1，＋∞)．
(2)定义域为R.又因为y＝eq \f(2x,2x＋1)＝1－eq \f(1,2x＋1)，而0＜eq \f(1,2x＋1)＜1，所以－1＜－eq \f(1,2x＋1)＜0，则0＜y＜1，所以值域为(0，1)．
(3)令－x2－3x＋4≥0，解得－4≤x≤1，所以函数y＝的定义域为[－4，1]．设u＝eq \r(－x2－3x＋4)(－4≤x≤1)，易得u在x＝－eq \f(3,2)时取得最大值eq \f(5,2)，在x＝－4或1时取得最小值0，即0≤u≤eq \f(5,2).所以函数y＝2u的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(20，2\s\up6(\f(5,2))))，即函数y＝的值域为[1，4eq \r(2)]．
【典例2】求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝8eq \s\up6(\f(1,2x－1))； (2)y＝4x＋2x＋1＋1； (3)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2－6x＋17).
【解析】(1)因为2x－1≠0，所以x≠eq \f(1,2)，所以原函数的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠\f(1,2))).
令t＝eq \f(1,2x－1)，则t∈R且t≠0，所以由y＝8t(t∈R，t≠0)得y＞0且y≠1.
所以，原函数的值域是{y|y＞0且y≠1}．
(2)定义域为R，因为y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，且2x＞0.
所以y＝4x＋2x＋1＋1的值域为{y|y＞1}．
(3)设u＝x2－6x＋17，由于函数u＝x2－6x＋17的定义域是(－∞，＋∞)，故y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2－6x＋17)的定义域为(－∞，＋∞)．
又函数u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(u)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(8)，又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(u)＞0，故原函数的值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,256))).
【题型三】指数函数的图象及应用
【典例1】(多选)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是( )
A．a＝b＝0 B．aC．0【解析】如图，观察易知，a【典例2】在同一直角坐标系中，指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))x，二次函数y＝ax2－bx的图象可能是( )
【解析】指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))x的图象位于x轴上方，据此可区分两函数图象．二次函数y＝ax2－bx＝(ax－b)x，有零点eq \f(b,a)，0.
A，B选项中，指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))x在R上单调递增，故eq \f(b,a)>1，故A错误，B正确．
C，D选项中，指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))x在R上单调递减，故0故选B.
【典例3】若存在正数x使ex(x＋a)<1成立，则a的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，1)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,e)－1)) D．(－∞，－1)
【解析】由题设知，∃x>0使x＋a令y＝x＋a，y1＝e－x，
∴x>0时有y1＝e－x∈(0,1)，
而y＝x＋a∈(a，＋∞)，
∴当a<1时，∃x>0，使得ex(x＋a)<1成立．
【题型四】比较指数式的大小
【典例1】若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>c>a D．a>c>b
【解析】∵函数y＝0.3x在R上是减函数，
∴0<0.30.7<0.30.3<0.30＝1，
又∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，
0．3<0.7，
∴0<0.30.3<0.70.3，
∴0而函数y＝1.2x是R上的增函数，
∴c＝1.20.3>1.20＝1，∴c>b>a.
故选B.
【典例2】若2x－2y<3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0
【解析】设函数f(x)＝2x－3－x.
因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增．
原式等价于2x－3－x<2y－3－y，
即f(x)0，所以A正确，B不正确．
因为|x－y|与1的大小关系不能确定，所以C，D不正确．
故选A.
【典例3】若－1”连接)
【解析】易知3a>0，<0，a3<0，又由－1，因此3a>a3>.
【题型五】解简单的指数方程或不等式
【典例1】已知实数a≠1，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______．
【解析】当a<1时，41－a＝21，解得a＝eq \f(1,2)；
当a>1时，代入不成立．故a的值为eq \f(1,2).
【典例2】若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________________．
【解析】∵f(x)为偶函数，
当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4，
∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－4，x≥0，,2－x－4，x<0，))
当f(x－2)>0时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2≥0，,2x－2－4>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2<0，,2－x＋2－4>0，))
解得x>4或x<0.
∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．
【典例3】已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是( )
A．[2,4] B．(－∞，0)
C．(0,1)∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]
【解析】∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，
∴1≤4x－3·2x＋3≤7.
∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.
∴x≤0或1≤x≤2.
故选D.
【题型六】指数函数性质的综合应用
【典例1】已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．
【解析】令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，＋∞))上单调递增，在区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(m,2)))上单调递减．而y＝2t是增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有eq \f(m,2)≤2，
即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
【典例2】(多选)下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73 B.
C．1.70.3>0.93.1 D.
【解析】∵y＝1.7x为增函数，∴1.72.5<1.73，故A不正确；
＝，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x为减函数，
∴＝，故B正确；
∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0,1)，
∴1.70.3>0.93.1，故C正确；
∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))x为减函数，∴，
又y＝在(0，＋∞)上单调递增，
∴，
∴，故D正确．
故选BCD.
【典例3】函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是( )
A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx) D．与x有关，不确定
【解析】∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)关于x＝1对称，
易知b＝2，c＝3，
当x＝0时，b0＝c0＝1，∴f(bx)＝f(cx)，
当x>0时，3x>2x>1，又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(bx)当x<0时，3x<2x<1，又f(x)在(－∞，1)上单调递减，
∴f(bx)综上，f(bx)≤f(cx)．故选A.
三、【培优训练】
【训练一】定义在R上的函数f(x)单调递增，且对∀x∈R，有f(f(x)－2x)＝3，则f(lg43)＝________.
【解析】根据题意，对∀x∈R，有f(f(x)－2x)＝3，
又∵f(x)是定义在R上的增函数，
∴在R上存在常数a使得f(a)＝3，
∴f(x)＝2x＋a，∴f(a)＝2a＋a＝3，
解得a＝1，
∴f(x)＝2x＋1，
∴f(lg43)＝＋1＝eq \r(3)＋1.
【训练二】设f(x)＝|2x－1－1|，af(c)，则2a＋2c______4.(选填“>”“<”“＝”)
【解析】f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.
若c≤1，则2a<2,2c≤2，故2a＋2c<4；
若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a－1>2c－1－1，
即2c－1＋2a－1<2，即2a＋2c<4.
综上知，总有2a＋2c<4.
【训练三】已知函数f(x)＝eq \f(1,4x)－eq \f(λ,2x－1)＋4(－1≤x≤2)．
(1)若λ＝eq \f(3,2)，求函数f(x)的值域；
(2)若方程f(x)＝0有解，求实数λ的取值范围．
【解析】(1)f(x)＝eq \f(1,4x)－eq \f(λ,2x－1)＋4
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x－2λ·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋4(－1≤x≤2)．
设t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，得g(t)＝t2－2λt＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)≤t≤2)).
当λ＝eq \f(3,2)时，g(t)＝t2－3t＋4
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(3,2)))2＋eq \f(7,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)≤t≤2)).
所以g(t)max＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝eq \f(53,16)，g(t)min＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝eq \f(7,4).
所以f(x)max＝eq \f(53,16)，f(x)min＝eq \f(7,4)，
故函数f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,4)，\f(53,16))).
(2)方程f(x)＝0有解可转化为
λ＝2·2x＋eq \f(1,2)·eq \f(1,2x)(－1≤x≤2)．
设φ(x)＝2·2x＋eq \f(1,2·2x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤2x≤4))，
当2x＝eq \f(1,2)，即x＝－1时，φ(x)min＝2；
当2x＝4，即x＝2时，φ(x)max＝eq \f(65,8).
∴函数φ(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(65,8))).
故实数λ的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(65,8))).
【训练四】已知函数f(x)，若在其定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称函数f(x)为“局部奇函数”，若函数f(x)＝4x－m·2x－3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是( )
A．[－2，2) B．[－2，＋∞)
C．(－∞，2) D．[－4，－2)
【解析】根据“局部奇函数”的定义可知，方程f(－x)＝－f(x)有解即可，即4－x－m·2－x－3＝－(4x－m·2x－3)，所以4－x＋4x－m(2－x＋2x)－6＝0，
化为(2－x＋2x)2－m(2－x＋2x)－8＝0有解，
令2－x＋2x＝t(t≥2)，
则有t2－mt－8＝0在[2，＋∞)上有解，
设g(t)＝t2－mt－8，对称轴为x＝eq \f(m,2).①若m≥4，则Δ＝m2＋32>0，满足方程有解；②若m<4，要使t2－mt－8＝0在t≥2时有解，
则需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m<4，,g（2）＝－2m－4≤0，))
解得－2≤m<4.
综上可得实数m的取值范围为[－2，＋∞)．故选B.
【训练五】已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)，x∈[－1，1]，函数g(x)＝f2(x)－2af(x)＋3的最小值为h(a)．
(1)求h(a)；
(2)是否存在实数m，n，同时满足以下条件：
①m＞n＞3；
②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]．
若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
【解析】(1)因为x∈[－1，1]，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，3)).
设eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)＝t，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，3))，则g(x)＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.
当a＜eq \f(1,3)时，h(a)＝φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(28,9)－eq \f(2a,3)；
当eq \f(1,3)≤a≤3时，h(a)＝φ(a)＝3－a2；
当a＞3时，h(a)＝φ(3)＝12－6a.
所以h(a)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(28,9)－\f(2a,3)，a＜\f(1,3)，,3－a2， \f(1,3)≤a≤3，,12－6a， a＞3.))
(2)假设存在满足条件的实数m，n.
因为m＞n＞3，a∈[n，m]，所以h(a)＝12－6a.
因为h(a)的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，且h(a)为减函数，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(12－6m＝n2，,12－6n＝m2，)) 两式相减得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，因为m＞n，所以m－n≠0，得m＋n＝6，但这与“m＞n＞3”矛盾，故不存在满足条件的实数m，n.
【训练六】已知函数f(x)＝2x＋a·2－x(a为常数，a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性；
(2)当f(x)为偶函数时，若方程f(2x)－k·f(x)＝3在x∈[0,1]上有实根，求实数k的取值范围．
【解析】(1)∵函数f(x)＝2x＋a·2－x的定义域为x∈R，
又∵f(－x)＝2－x＋a·2x，
∴①当f(－x)＝f(x)，
即2－x＋a·2x＝2x＋a·2－x时，可得a＝1，
即当a＝1时，函数f(x)为偶函数；
②当f(－x)＝－f(x)，
即2－x＋a·2x＝－(2x＋a·2－x)
＝－2x－a·2－x时，
可得a＝－1，
即当a＝－1时，函数f(x)为奇函数．
(2)由(1)可得，当函数f(x)为偶函数时，a＝1，
即f(x)＝2x＋2－x，
f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2，
由题可得，
(2x＋2－x)2－2－k(2x＋2－x)＝3⇔(2x＋2－x)2－k(2x＋2－x)－5＝0，
令t＝2x＋2－x，
则有t2－kt－5＝0，
∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]，
根据对勾函数的性质可知，2x＋2－x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))，
即t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))，
方程t2－kt－5＝0在t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))上有实数根，
则k＝eq \f(t2－5,t)＝t－eq \f(5,t)，
令φ(t)＝t－eq \f(5,t)，
∴φ(t)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))上单调递增，
且φ(2)＝－eq \f(1,2)，φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝eq \f(1,2)，
∴－eq \f(1,2)≤k≤eq \f(1,2)，
∴实数k的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))).
四、【强化测试】
【单选题】
1. 若实数a>0，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝eq \f(1,2a3)
C．(－2)0＝－1 D．
【解析】对于A，(－2)－2＝eq \f(1,4)，故A错误；对于B,2a－3＝eq \f(2,a3)，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，，故D正确．故选D.
2. 已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
【解析】y＝0.4x为减函数，
∴0.40.6<0.40.2<0.40＝1，
又20.2>1，即a>b>c.故选A.
3. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2－x，x≥0，,2x－1，x<0，))则函数f(x)是( )
A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增
B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减
C．奇函数，且单调递增
D．奇函数，且单调递减
【解析】作出函数f(x)的图象(图略)，由图可知f(x)为奇函数，且f(x)在R上为增函数．
故选C.
4. 已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是( )
【解析】由函数y＝kx＋a的图象可得k<0，0－1，所以－15. 设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(0.1)的大小关系是( )
A．M＝N B．M≤N
C．MN
【解析】因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(0.1)<1，所以M>N，故选D．
6.已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A．a<0，b<0，c<0
B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c
D．2a＋2c<2
【解析】
作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，
因为af(c)>f(b)，
结合图象知，00，
所以0<2a<1.
所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
所以f(c)<1，所以0所以1<2c<2，所以f(c)＝|2c－1|＝2c－1，
又因为f(a)>f(c)，
所以1－2a>2c－1，
所以2a＋2c<2，故选D．
7. 基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
【解析】由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，
得r＝eq \f(R0－1,T)＝eq \f(3.28－1,6)＝0.38.
由题意，累计感染病例数增加1倍，
则I(t2)＝2I(t1)，
即
所以
即0.38(t2－t1)＝ln 2，
所以t2－t1＝eq \f(ln 2,0.38)≈eq \f(0.69,0.38)≈1.8.故选D.
8. 设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x），f（x）≤K，,K，f（x）>K.))给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则( )
A．K的最大值为0 B．K的最小值为0
C．K的最大值为1 D．K的最小值为1
【解析】根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，若恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．
令2x＝t，则t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，所以K≥1，故选D．
【多选题】
9. 已知函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数图象经过点A的是( )
A．y＝eq \r(1－x)＋2 B．y＝|x－2|＋1
C．y＝lg2(2x)＋1 D．y＝2x－1
【解析】函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2，所以恒过点A(1，2)．把x＝1，y＝2代入各选项验证，只有D中的函数没经过该点．故选ABC.
10. 函数y＝ax－a(a>0，a≠1)的图象可能是( )
【解析】当a>1时，y＝ax－a为增函数，且过点(1,0)，
当x＝0时，y＝1－a<0，故选项A不正确，B正确．
当0当x＝0时，y＝1－a∈(0,1)，故选项C正确，D不正确．
故选BC.
11. 设函数f(x)＝2x，对于任意的x1，x2(x1≠x2)，下列命题中正确的是( )
A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)
B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
C.eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0
D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))【解析】2x1·2x2＝2x1＋x2，所以A成立，
2x1＋2x2≠2x1x2，所以B不成立，
函数f(x)＝2x在R上是增函数，
若x1>x2，则f(x1)>f(x2)，则eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0，
若x10，故C正确，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))故选ACD.
12. 下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73 B.
C．1.70.3>0.93.1 D.
【解析】∵y＝1.7x为增函数，∴1.72.5<1.73，故A不正确．
，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x为减函数，∴，故B正确；
∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0,1)，∴1.70.3>0.93.1，故C正确；
y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))x为减函数，∴
又在(0，＋∞)上递增，∴
∴，故D正确．
故选BCD.
【填空题】
13. 计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(7,9)))eq \s\up12(0.5)＋0.1－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(10,27)))eq \s\up12(－\f(2,3))－3π0＋eq \f(37,48)＝________．
【解析】原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(25,9)))eq \s\up6(\f(1,2))＋eq \f(1,0.12)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(64,27)))eq \s\up12(－\f(2,3))－3＋eq \f(37,48)
＝eq \f(5,3)＋100＋eq \f(9,16)－3＋eq \f(37,48)＝100.
答案：100
14. 函数y＝ax－b(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________．
【解析】因为函数y＝ax－b的图象经过第二、三、四象限，所以函数y＝ax－b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．令x＝0，则y＝a0－b＝1－b，由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(01.))故ab∈(0，1)．
答案：(0，1)
15. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)，a≤x<0，,－x2＋2x，0≤x≤4))的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是________．
【解析】当0≤x≤4时，f(x)∈[－8，1]，
当a≤x<0时，f(x)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)，－1))，
所以eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)，－1))[－8，1]，
即－8≤－eq \f(1,2a)<－1，即－3≤a<0.
所以实数a的取值范围是[－3，0)．
答案：[－3，0)
16. 已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．
①a＜0，b＜0，c＜0；②a＜0，b≥0，c＞0；③2－a＜2c；④2a＋2c＜2.
【解析】作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，由图象可知a<0时，b的符号不确定，1>c>0，故①②错；因为f(a)＝|2a－1|，f(c)＝|2c－1|，所以|2a－1|>|2c－1|，即1－2a>2c－1，故2a＋2c<2，④成立；又2a＋2c>2eq \r(2a＋c)，所以2a＋c<1，所以a＋c<0，所以－a>c，所以2－a>2c，③不成立．
答案：④
【解答题】
17. 已知函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象过点(0，－2)，(2，0)．
(1)求a与b的值；
(2)求x∈[－2，4]时，f(x)的最大值与最小值．
【解析】(1)因为点(0，－2)，(2，0)在函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象上，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a0＋b＝－2，,a2＋b＝0，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝±\r(3)，,b＝－3.))
又a＝－eq \r(3)不符合题意，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\r(3)，,b＝－3.))
(2)由(1)可得f(x)＝(eq \r(3))x－3.因为eq \r(3)>1，所以y＝(eq \r(3))x在其定义域上是增函数，所以f(x)＝(eq \r(3))x－3在区间[－2，4]上单调递增．所以f(x)在区间[－2，4]上的最小值为f(－2)＝－eq \f(8,3)，最大值为f(4)＝6.
18. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(|x|－a).
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值等于eq \f(9,4)，求a的值．
【解析】(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(t)，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(t)是单调递减的，
因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，
单调递减区间是(0，＋∞)．
(2)由于f(x)的最大值是eq \f(9,4)，
且eq \f(9,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(－2)，
所以函数g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，从而a＝2.
19. 已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)))eq \s\up12(x)－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】(1)因为f(x)的图象过A(1，6)，B(3，24)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b·a＝6，,b·a3＝24.))
所以a2＝4，又a>0，所以a＝2，b＝3.
所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)－m≥0恒成立，即m≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)在x∈(－∞，1]上恒成立.
又因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)均为减函数，所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)也是减函数，所以当x＝1时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)有最小值eq \f(5,6).
则m≤eq \f(5,6)，故m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,6))).
20. 已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0且a≠1)是奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围．
【解析】(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，
∴k＝2，
经检验k＝2符合题意，所以k＝2.
(2)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)，
∵f(1)<0，
∴a－eq \f(1,a)<0，又a>0，且a≠1，
∴0而y＝ax在R上单调递减，y＝a－x在R上单调递增，
故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减，
不等式f(m2－2)＋f(m)>0
可化为f(m2－2)>f(－m)，
∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，
解得－2∴实数m的取值范围是(－2,1)
21. 已知函数f(x)＝eq \f(4x＋m,2x)是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)设g(x)＝2x＋1－a，若函数f(x)与g(x)的图象有公共点，求实数a的取值范围．
【解析】(1)∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，得m＝－1，
经检验当m＝－1时，f(x)为奇函数，∴m＝－1.
(2)令eq \f(4x－1,2x)＝2x＋1－a，
令t＝2x，∴t>0，
∴eq \f(t2－1,t)＝2t－a，
即a＝t＋eq \f(1,t)，
∴方程a＝t＋eq \f(1,t)有正实数根，
∵t＋eq \f(1,t)≥2，当且仅当t＝1时取等号．∴a≥2.
即实数a的取值范围是[2，＋∞)．
22. 已知定义在R上的函数f(x)＝2x－eq \f(1,2|x|).
(1)若f(x)＝eq \f(3,2)，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)当x<0时，f(x)＝0，无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－eq \f(1,2x)，
由2x－eq \f(1,2x)＝eq \f(3,2)，得2·22x－3·2x－2＝0，
将上式看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－eq \f(1,2)，
因为2x>0，所以x＝1.
(2)当t∈[1,2]时，2teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(22t－\f(1,22t)))＋meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t－\f(1,2t)))≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，
因为22t－1>0 ，
所以m≥－(22t＋1)，
因为t∈[1,2]，
所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x<0时，y>1；
当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
y＝ax与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(x)的图象关于y轴对称