2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题07函数的单调性与最大小值（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题07函数的单调性与最大小值（学生版），共12页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义.
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
【考点预测】
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
【常用结论】
1.有关单调性的常用结论
在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.
2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,f（x）)的单调性相反.
【方法技巧】
1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
3.求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
4.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
5.利用函数的单调性比较大小，首先要准确判断函数的单调性，其次应将自变量转化到一个单调区间内，然后利用单调性比较大小.
6.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，利用函数的单调性将“f”符号脱去，转化为关于自变量的不等式求解，应注意函数的定义域.
7.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
二、【题型归类】
【题型一】求具体函数的单调区间
【典例1】(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cs x D．y＝eq \r(x2＋x－2)
【典例2】函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2x2－3x＋1)的递减区间为__________．
【典例3】函数y＝的单调递减区间为( )
A．(1，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))
【题型二】判断或证明函数的单调性
【典例1】试讨论函数f(x)＝eq \f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
【典例2】判断函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．
【典例3】判断并证明函数f(x)＝ax2＋eq \f(1,x)(其中1【题型三】比较函数值的大小
【典例1】已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln eq \r(2))，b＝f()，c＝f()，则a，b，c的大小关系是( )
A．cC．a【典例2】设函数f(x)＝lga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( )
A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定
【典例3】已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c
【题型四】求函数的最值
【典例1】函数y＝eq \f(\r(x2＋4),x2＋5)的最大值为________．
【典例2】函数y＝eq \f(x2－1,x2＋1)的值域为____________．
【典例3】函数y＝x＋eq \r(1－x2)的最大值为________．
【题型五】解函数不等式
【典例1】已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是______________．
【典例2】已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－lg2(x＋2)，若f(a－2)>3，则a的取值范围是________．
【典例3】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，则不等式f(2x－1)>f(x＋1)的解集为________．
【题型六】求参数的取值范围
【典例1】函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax，x≥1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(a,2)))x＋2，x<1，))且满足对任意的实数x1≠x2都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，则实数a的取值范围是( )
A．[4,8) B．(4,8)
C．(1,8] D．(1,8)
【典例2】函数f(x)＝ln(x2－ax－3)在(1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－2)
C．(－∞，2] D．(－∞，2)
【典例3】若f(x)＝cs x－sin x在[0，a]上是减函数，则a的最大值是( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C.eq \f(3π,4) D．π
【题型七】抽象函数单调性
【典例1】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－eq \f(2,3).
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值．
【典例2】f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x＞0，y＞0都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)))＝f(x)－f(y)，当x＞1时，有f(x)＞0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明；
(3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋5)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＜2.
【典例3】已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当x>1时，f(x)>0，且对于任意的正数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)证明：函数f(x)在定义域上是单调增函数；
(2)如果feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝－1且f(x)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x－2)))≥2，求x的取值范围．
三、【培优训练】
【训练一】函数g(x)＝ax＋2(a>0)，f(x)＝x2－2x，对∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)成立，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) B．[1,2)
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))
【训练二】已知函数f(x)＝x2＋lnx－ax在(0，1)上是增函数．
(1)求a的取值范围；
(2)在(1)的结论下，设g(x)＝e2x＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(ex－a))，x∈[0，ln3]，求函数g(x)的最小值．
【训练三】已知函数f(x)＝2 020x＋ln(eq \r(x2＋1)＋x)－2 020－x＋1，则不等式f(2x－1)＋f(2x)>2的解集为____________．
【训练四】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)是增函数，f(1)＝0，f(3)＝1.
(1)解不等式0(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈(0,3]，a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．
【训练五】已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex－e－x，x＞0，,－x2，x≤0，))若a＝50.01，b＝eq \f(3,2)lg32，c＝lg30.9，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为________.
【训练六】已知函数f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,x)－2))(a>0，且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－eq \r(x＋1)
C．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x D．y＝x＋eq \f(1,x)
2. 函数f(x)＝eq \f(x,1－x)在( )
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数
C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数
D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数
3. 设a∈R，函数f(x)在R上是增函数，则( )
A．f(a2＋a＋2)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,4))) B．f(a2＋a＋2)C．f(a2＋a＋2)≥f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,4))) D．f(a2＋a＋2)≤f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,4)))
4. 已知函数f(x)为R上的减函数，则满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))))＜f(1)的实数x的取值范围是( )
A．(－1，1) B．(0，1)
C．(－1，0)∪(0，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
5. 已知函数f(x)是定义域为[0，＋∞)上的减函数，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)>－1的实数x的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．(－∞，3)
C．[2,3) D．[0,3)
6. 函数f(x)＝－x＋eq \f(1,x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,3)))上的最大值是( )
A．eq \f(3,2) B．－eq \f(8,3)
C．－2 D．2
7. 函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则下列结论成立的是( )
A．f(1)B．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))D．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))8. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3（a－3）x＋2，x≤1，,－4a－ln x，x>1))对任意的x1≠x2都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，3] B．(－∞，3)
C．(3，＋∞) D．[1，3)
【多选题】
9. 若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝eq \f(a,x＋1)在区间[1,2]上都单调递减，则实数a的取值可以是( )
A．－1 B.eq \f(1,2) C．1 D．2
10. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln x＋2x，x>0，,\f(2,1－x)，x≤0，))则下列结论正确的是( )
A．f(x)在R上为增函数
B．f(e)>f(2)
C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0
D．当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2]
11. 已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是( )
A．对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)
B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)
C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0
D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0
12. 定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当aA．－1 B．1
C．6 D．12
【填空题】
13. 函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．
14. 如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
15. 已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)16. 设f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－a）2，x≤0，,x＋\f(1,x)＋a，x＞0，))若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为________．
【解答题】
17. 求下列函数的值域．
(1)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－x＋1，x<1，,\f(1,x)，x>1；))
(2)y＝x－eq \r(x).
18. 已知函数f(x)＝eq \f(x＋2,x).
(1)写出函数f(x)的定义域和值域；
(2)证明：函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求f(x)在x∈[2，8]上的最大值和最小值．
19. 函数f(x)＝lga(1－x)＋lga(x＋3)(0(1)求方程f(x)＝0的解；
(2)若函数f(x)的最小值为－1，求a的值.
20. 已知函数f(x)＝a－eq \f(2,2x＋1).
(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)21. 已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1.设f(x)＝eq \f(g（x）,x).
(1)求a，b的值；
(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1，1]上有解，求实数k的取值范围．
22. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，且当x>0时，f(x)>－1.
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M
(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值