2024年新高考数学一轮复习达标检测第53讲圆锥曲线的综合应用_证明探究性问题（学生版）

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1．已知双曲线的左焦点为F1，过F1的直线l与y轴相交于点M，与C的右支相交于点P，且M为线段PF1的中点，若C的渐近线上存在一点N，使得，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
2．已知对任意正实数m，n，p，q，有如下结论成立：若，则有成立，现已知椭圆＝1上存在一点P，F1，F2为其焦点，在△PF1F2中，∠PF1F2＝15°，∠PF2F1＝75°，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．以双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左顶点A为圆心作半径为a的圆，此圆与渐近线交于坐标原点O及另一点B，且存在直线y＝kx使得B点和右焦点F关于此直线对称，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
4．设F1，F2分别是双曲线﹣＝1（a，b＞0）的左、右焦点．若双曲线上存在一点P，使得|PF1|＝4|PF2|，且∠F1PF2＝60°，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
5．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．若双曲线上存在点P满足a|PF1|＝c|PF2|，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，当时，则存在横坐标x＞2的点A、B、C有（ ）
A．0个B．2个
C．有限个，但多于2个D．无限多个
7．已知双曲线的右顶点为A，抛物线C：y2＝16ax（a＞0）的焦点为F，若在双曲线E的渐近线上存在点P，使得AP⊥FP，则双曲线E的离心率的取值范围是（ ）
A．B．（1，2）C．D．（2，+∞）
8．已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2＝，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（多选）已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当k＝8时，曲线C为椭圆，其焦距为4
B．当k＝2时，曲线C为双曲线，其离心率为
C．存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线
D．当k＝﹣3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆（x﹣4）2+y2＝9相切
10．（多选）设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为4x±3y＝0B．渐近线方程为3x±4y＝0
C．离心率为D．离心率为
11．设F1、F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则＝ ．
12．设F为双曲线的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的其中一条渐近线交于点P（不同于O），若双曲线C右支上存在点M满足＝，则双曲线C的离心率为 ．
13．已知椭圆W：的右焦点为，且离心率为，△ABC的三个顶点都在椭圆W上，直线AB，BC，AC的斜率存在且均不为0，记它们的斜率分别为k1，k2，k3，设AB，BC，AC的中点分别为M，N，P，O为坐标原点，若直线OM，ON，OP的斜率之和为，则＝ ．
14．已知椭圆G：左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个端点分别为B1，B2，点P在椭圆C上，且满足|PF1|+|PF2|＝|PB1|+|PB2|，当m变化时，给出下列四个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②存在m使得椭圆C上满足条件的点P仅有两个；③|OP|的最小值为2；④|OP|最大值为，其中正确命题的序号是 ．
15．已知AB、CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P，两弦AB、CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1、∠2，且∠1＝∠2，求证：|PA|•|PB|＝|PC|•|PD|．
16．已知椭圆C：，A，B分别为椭圆长轴的左右端点，M为直线x＝2上异于点B的任意一点，连接AM交椭圆于P点．
（1）求证：为定值；
（2）是否存在x轴上的定点Q使得以MP为直径的圆恒通过MQ与BP的交点．
17．在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，2），B（2，2），直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：kAD﹣kBD＝﹣2．
（1）求点D的轨迹C的方程；
（2）设过点（0，2）的直线1交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线y＝﹣1于点M，N，是否存在常数λ，使S△OPQ＝λS△OMN，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
18．过点P（0，2）的直线与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点．
（1）求的值．
（2）A，B在直线y＝﹣2上的射影分别为A1，B1，线段A1B1的中点为Q，求证：BQ∥PA1．
19．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线方程为y2＝2px（p＞0）．
（1）若直线y＝﹣x+1与抛物线相交于M，N两点，且MN＝2，求抛物线的方程；
（2）直线l过点Q（0，t）（t≠0）交抛物线于A，B两点，交x轴于点C，如图，设＝m，＝n，求证：m+n为定值．
20．已知定点S（﹣2，0），T（2，0），动点P为平面上一个动点，且直线SP、TP的斜率之积为﹣．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设点B为轨迹E与y轴正半轴的交点，是否存在斜率为直线l，使得l交轨迹E于M，N两点，且Q（，0）恰是△BMN的重心？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由．
21．设F1（﹣c，0）、F2（c，0）分别是椭圆的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个定点，同时满足如下三个条件：
（1）；（2）；（3）在方向上的投影为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率及椭圆方程；
（Ⅱ）过焦点F1的直线l交椭圆于点A、B两点，问是否存在以线段AB为直径的圆与y相切，若存在，求出此时直线l的方程，若不存在，请说明理由．
22．已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）我们知道抛物线有性质：“过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F的弦AB满足．”那么对于椭圆E，问否存在实数λ，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．
[B组]—强基必备
1．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点，直线l：y＝kx+m交椭圆E于不同的两点A，B，设线段AB的中点为M．
（1）求椭圆E的方程；
（2）当△AOB的面积为（其中O为坐标原点）且4k2﹣4m2+3≠0时，试问：在坐标平面上是否存在两个定点C，D，使得当直线l运动时，|MC|+|MD|为定值？若存在，求出点C，D的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
2．如图，椭圆C1：（a＞b＞0）和圆C2：x2+y2＝b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，椭圆C1右焦点到右准线的距离为，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M．
①求证：直线MP经过一定点；
②试问：是否存在以（m，0）为圆心，为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求出所有m的值；若不存在，请说明理由．