2024年新高考数学一轮复习达标检测第48讲直线与椭圆的位置关系（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习达标检测第48讲直线与椭圆的位置关系（教师版），共22页。

A．B．C．6D．8
【分析】求出左焦点坐标，利用直线经过椭圆的左焦点，结合椭圆的定义求三角形的周长即可．
【解答】解：∵直线l过椭圆C的左焦点F'（﹣2，0），
直线经过左焦点F'，
∴△PQF的周长|PQ|+|PF|+|QF|
＝|PF'|+|PF|+|QF'|+|QF|
＝，
故选：B．
2已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为2，右顶点为A．过原点与x轴不重合的直线交C于M，N两点，线段AM的中点为B，若直线BN经过C的右焦点，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由题意画出图形，分别设出M、N的坐标，利用中点坐标公式求得B的坐标，再由列式求得a值，利用隐含条件求得b，则椭圆方程可求．
【解答】解：如图，
设M（x0，y0），则N（﹣x0，﹣y0），
∵A（a，0），且线段AM的中点为B，∴B（，），
由B，F，N三点共线，得，依题意，F（1，0），
∴，，
即．
又y0≠0，解得a＝3，∴b2＝32﹣12＝8．
可得C的方程为．
故选：C．
3．已知椭圆的右焦点F2（1，0），为椭圆上一点，过左顶点A作直线l⊥x轴，Q为直线l上一点，AP⊥F2Q，则直线PQ在x轴上的截距为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】由已知列关于a，b的方程组，求得a，b的值，得到A，F2的坐标，求得直线F2Q的方程，进一步求解Q的坐标，得到PQ的方程，则答案可求．
【解答】解：由题意，得，解得，
∴A（﹣2，0），F2（1，0），
∴直线AP的斜率．
又AP⊥F2Q，∴，即，
∴直线F2Q的方程y＝﹣2（x﹣1），
联立，得交点Q（﹣2，6），
∴P、Q两点连线的斜率kPQ＝．
∴PQ的直线方程为y﹣＝﹣（x﹣1），
令y＝0，得x＝2．
故直线PQ在x轴上的截距为2，
故选：A．
4．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，直线AF2与椭圆C的另一个交点为B．若△BF1A为等腰三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】画出图形，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，利用△AOF2∽△BMF2，求出B的坐标，点B在椭圆C上，转化求解椭圆的离心率即可．
【解答】解：如图，因为△BF1A为等腰三角形，且|AF1|＝|AF2|＝a，
所以|AB|＝|BF1|，
又|AB|+|BF1|+|AF1|＝4a，所以，所以|AF2|＝2|F2B|．
过点B作BM⊥x轴，垂足为M，则△AOF2∽△BMF2，由A（0，﹣b），F2（c，0），
得．
因为点B在椭圆C上，
所以，所以，
即离心率，
故选：B．
5．已知离心率为的椭圆+y2＝1（m＞1）的左、右顶点分别为A，B，点P为该椭圆上一点，且P在第一象限，直线AP与直线x＝4交于点C，直线BP与直线x＝4交于点D，若|CD|＝，则直线AP的斜率为（ ）
A．或B．C．或D．或
【分析】由椭圆离心率求出m值，直线AP，BP与直线x＝4联立将C点与D点的用k的坐标表示出来，最后求出k的值．
【解答】解：由，得m＝9．
设p（x0，y0），则．
设kPA＝k（0＜k＜），则，直线AP的方程为y＝k（x+3），则C的坐标（4，7k）．
直线BP的方程为y＝，则D坐标（4，）．
所以|CD|＝7k+，解得k＝（舍去）或．
故选：B．
6．已知点F为椭圆的左焦点，直线y＝kx（k＞0）与C相交于M、N两点（其中M在第一象限），若MN＝2c，|FM|＝2|FN|，则椭圆C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画出图形，设椭圆右焦点为F'，说明四边形MFNF'为矩形，设|FN|＝t，推出，然后求解椭圆的离心率．
【解答】解：如图，设椭圆右焦点为F'，由|MN|＝2c，可知|MN|＝|FF'|＝2c，所以∠FMF′＝90°，
则四边形MFNF'为矩形，且|FN|＝|MF'|，
因为|FM|＝2|FN|，设|FN|＝t，则．因为|MF|+|MF'|＝2a，MF2+MF′2＝4c2，
解得3t＝2a，，
所以椭圆C的离心率为．
故选：D．
7．已知椭圆+＝1的左，右焦点分别是F1，F2，若椭圆上存在一点M，使（+）＝0（O为坐标原点），且||＝t||，则实数t的值为（ ）
A．2B．2C．D．1
【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得||＝||＝c，即有△MF1F2为直角三角形，且∠F1MF2＝90°，由勾股定理和椭圆的定义，解方程即可得到所求值．
【解答】解：（+）＝0，则（+）•（）＝0，
所以＝0，所以||＝||＝c，
即有△MF1F2为直角三角形，且∠F1MF2＝90°，
可得椭圆+＝1的a＝4，b＝2，c＝＝2，
设|MF2|＝m，由椭圆的定义可得|MF1|＝2a﹣m＝8﹣m，
且||＝t||，所以（8﹣m）2+m2＝4c2＝32，解得m＝4，
由mt＝8﹣m，解得t＝1，
故选：D．
8．如图，已知F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点N，线段F1N的中点为M，线段F1N的垂直平分线MP与l2的交点P（第一象限）在椭圆上，若O为坐标原点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．（0，1）
【分析】结合图形说明|F1M|＝|MN|．设点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）．由两点间的距离公式，以及焦半径公式转化求解的表达式，然后求解取值范围．
【解答】解：如图所示，点P在y轴右边，
因为PM为F1N的垂直平分线，所以|F1M|＝|MN|．
由中位线定理可得．
设点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）．由两点间的距离公式，
得
＝，同理可得|PF2|＝a﹣ex0，
所以|F2N|＝|PF1|﹣|PF2|＝2ex0，故|OM|＝ex0，
因为a＝8，，所以，故，
所以．
因为x0∈（0，8），所以．
故的取值范围为（0，1）．
故选：D．
9．（多选）已知F1、F2是椭圆C：的左、右焦点，M、N是左、右顶点，e为椭圆C 的离心率，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，已知＝0，3，|AF1|＝2|AF2|，设直线AB的斜率为k，直线AM和直线AN的斜率分别为k1，k2，直线BM和之间BN的斜率分别为k3，k4，则下列结论一定正确的是（ ）
A．e＝B．k＝C．k1•k2＝﹣D．k3•k4＝
【分析】过点F2作F1B的平行线，交AF1于点E，设|F2A|＝2t，|F1A|＝4t，可得AB|＝5t，由椭圆定义可得a＝3t．|BF1|＝|BF2|＝3t，在△EF1F2中，由勾股定理可得：c，b即可判断AB的正误，
设A（x，y），则＝，即可判断 CD正误．
【解答】解：∵＝0，∴AF1⊥BF1，过点F2作F1B的平行线，交AF1于点E，∴AF1⊥EF2．
设|F2A|＝2t，|F1A|＝4t，
又3，∴|AB|＝5t，
∵AF1⊥BF1，∴|F1B|＝3t，∴12t＝4a，∴a＝3t．
∴|BF1|＝|BF2|＝3t＝a，∴B（0，b），
在△EF1F2中，EF1＝＝，EF2＝＝，F1F2＝2c，
∵EF12+EF22＝F1F22，∴，b＝＝，
∴椭圆离心率e＝，故A正确，
k＝，故B错，
设A（x，y），易得M（﹣a，0），N（a，0），
则＝，故C正确，
同理，故D错．
故选：AC．
10．（多选）设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，则（ ）
A．|AF|+|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C．当时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为
【分析】利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积以及三角形的面积，分析判断选项的正误即可．
【解答】解：设椭圆的左焦点为F'，则|AF'|＝|BF|，所以|AF|+|BF|＝|AF|+|AF'|为定值6，A正确；
△ABF的周长为|AB|+|AF|+|BF|，因为|AF|+|BF|为定值6，易知|AB|的范围是（0，6），所以△ABF的周长的范围是（6，12），B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，，又易知，所以，所以△ABF为直角三角形，C正确；
将y＝1与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确．
故选：ACD．
11．已知椭圆C：+＝1（{a＞b＞0}）的左焦点为F，A、B分别为C的右顶点和上顶点，直线FB与直线x＝a的交点为M，若，且△AFM的面积为，则椭圆的标准方程为 ．
【分析】由，且OB∥AM（O为坐标原点），可得，可得a，c的关系，及面积的值可得a，b的值，进而求出椭圆的方程．
【解答】解：由，且OB∥AM（O为坐标原点），
得，所以a＝2c，|AM|＝3b，，
又因为，解得c＝1，
所以a＝2，，
故椭圆的标准方程为．
故答案为：+＝1．
12．椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点（P在x轴上方），|PF1|＝|PQ|．若PQ⊥PF1，则椭圆的离心率e＝ ．
【分析】设|PF2|的值，由椭圆的定义可得|PF1|的值，再由|PF1|＝|PQ|，可得|QF2|，|QF1|的值，由若PQ⊥PF1，在两个三角形中由勾股定理可得a，c的关系，进而求出椭圆的离心率．
【解答】解：设|PF2|＝m，则|PF1|＝2a﹣m，
因为|PF1|＝|PQ|，所以|QF2|＝2a﹣m﹣m＝2a﹣2m，
由椭圆的定义可得|QF1|＝2a﹣（2a﹣2m）＝2m，
因为PQ⊥PF1，在△PF1Q中，|QF1|2＝2|PF1|2，即4m2＝2（2a﹣m）2①，可得m＝a，
在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2，即4c2＝（2a﹣m）2+m2②，
由①﹣②×2可得4m2﹣8c2＝﹣2m2，即m2＝c2，可得m＝c，③，
所以a＝c，所以＝﹣
故答案为：﹣．
13．设F1，F2是椭圆的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，若AB⊥AF2，|AB|：|AF2|＝3：4，则椭圆的离心率为 ．
【分析】设|AF2|的值，由比例关系求出|AB|的值，再由椭圆的代入可得|AF1|，|BF1|，|BF2|的值，又有AB⊥AF2，在两个直角三角形中由勾股定理可得a，c的关系，进而求出椭圆的离心率．
【解答】解：设|AF2|＝4m，因为|AB|：|AF2|＝3：4，所以|AB|＝3m，由题意的定义可得|AF1|＝2a﹣4m，
所以|BF1|＝3m﹣（2a﹣4m）＝7m﹣2a，进而可得|BF2|＝2a﹣（7m﹣2a）＝4a﹣7m，
因为AB⊥AF2，在△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2+|AF2|2，即（2c）2＝（2a﹣4m）2+（4m）2，整理可得c2＝（a﹣2m）2+4m2①
在△ABF2中，|BF2|2＝|AB|2+|AF2|2，即（4a﹣7m）2＝（3m）2+（4m）2，整理可得：2a2﹣7am+3m2＝0，解得a＝（舍）或a＝3m即m＝，
将m＝代入①可得c2＝（a﹣）2+4（）2＝整理可得＝，
所以椭圆离心率为
故答案为：．
14．已知F是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，AB是椭圆C过F的弦，AB的垂直平分线交x轴于点P．若，且P为OF的中点，则椭圆C的离心率为 ．
【分析】由题意可得P的坐标，由题意设直线AB的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出线段AB的中点的坐标，求出线段AB的中垂线的构成，令y＝0求出P的坐标，可得参数的关系，再由，可得A，B的纵坐标之间的关系，代入两根之和及两根之积中可得参数的关系，两式联立求出参数的值及a，c的关系，进而求出椭圆的离心率．
【解答】解：由题意可得直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为x＝my﹣c，设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为P为OF的中点，所以P（﹣，0），
因为，所以（﹣c﹣x1，﹣y1）＝2（x2+c，y2），所以可得y1＝﹣2y2，
联立直线AB与椭圆的方程，整理可得：（a2+m2b2）y2﹣2b2mcy+b2c2﹣a2b2＝0，
所以y1+y2＝，x1+x2＝m（y1+y2）﹣2c＝﹣，所以A，B的中点坐标（﹣，），
所以线段AB的中垂线方程为：y﹣＝﹣m（x+），
令y＝0，可得x＝，由题意可得﹣＝，可得a2（1+m2）＝（2+m2） c2，①
由，可得：9m2c2＝（1+m2）a2②，
由①②可得：9m2＝2+m2，解得m2＝，
将m2＝代入①可得a2＝c2，所以＝，
故答案为：．
15．已知椭圆C：＝1的右焦点为F（1，0），上顶点为B，则B的坐标为 ，直线MN与椭圆C交于M，N两点，且△BMN的重心恰为点F，则直线MN斜率为 ．
【分析】由题意的方程及右焦点的坐标及a，b，c之间的关系求出m的值，进而求出上顶点B的坐标，设直线MN的方程，与椭圆联立求出两根之和，进而求出弦MN的中点的坐标，由F为三角形的重心可得＝2，将点的坐标代入可得直线MN的斜率的值．
【解答】解：由椭圆的方程可得：a2＝4，b2＝m，所以c2＝a2﹣b2＝4﹣m＝1，可得m＝3，所以上顶点B（0，），
所以椭圆的方程为：+＝1；
设直线MN的方程为：y＝kx+t，设M（x1，y1），N（x2，y2），
将直线MN的方程与椭圆的方程联立整理可得：（3+4k2）+8ktx+4t2﹣12＝0，
△＝64k2t2﹣4（3+4k2）（4t2﹣12）＞0，
可得：t2＜3+4k2，x1+x2＝﹣，所以y1+y2＝k（x1+x2）+2t＝，
所以MN的中点D（﹣，），
因为F为三角形BMN的重心，所以＝2，即（1，﹣）＝2（﹣﹣1，），
所以，即两式相比可得k＝，
故答案分别为：（0，），．
16．已知椭圆的焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），两条平行线l1：y＝x﹣c，l2：y＝x+c交椭圆于A，B，C，D四点，若以A，B，C，D为顶点的四边形面积为2b2，则椭圆的离心率为 ．
【分析】直线CD的方程与椭圆的方程联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长CD，再求两条平行线间的距离，进而求出平行四边形的面积，再由题意可得a，c的关系，进而求出椭圆的离心率．
【解答】解：设C（x1，y1），D（x2，y2），联立直线l1与椭圆的方程：，整理可得：（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2＝0，x1+x2＝，x1x2＝，
所以|CD|＝＝•＝•2，
直线l1，l2间的距离d＝＝，
所以平行四边形的面积S＝|CD|•d＝•2•＝2b2，整理可得：c2+2ac﹣2a2＝0，即e2+2e﹣2＝0，解得：e＝﹣±2，由椭圆的性质可得，离心率e＝2﹣，
故答案为：2﹣．
17．设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已知|OA|＝2|OB|（O为原点）．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP．求椭圆的方程．
【分析】（Ⅰ）由题意可得a＝2b，再由离心率公式可得所求值；
（Ⅱ）求得a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为+＝1，设直线FP的方程为y＝（x+c），联立椭圆方程求得P的坐标，以及直线AP的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得c＝2，即可得到所求椭圆方程．
【解答】解：（Ⅰ）|OA|＝2|OB|，即为a＝2b，
可得e＝＝＝＝；
（Ⅱ）b＝a，c＝a，
即a＝2c，b＝c，
可得椭圆方程为+＝1，
设直线FP的方程为y＝（x+c），
代入椭圆方程可得7x2+6cx﹣13c2＝0，
解得x＝c或x＝﹣，
代入直线PF方程可得y＝或y＝﹣（舍去），
可得P（c，），
圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP，可设C（4，t），
可得＝，解得t＝2，
即有C（4，2），可得圆的半径为2，
由直线FP和圆C相切的条件为d＝r，
可得＝2，解得c＝2，
可得a＝4，b＝2，
可得椭圆方程为+＝1．
18．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为4，且椭圆过点，过点F2且不平行与坐标轴的直线l交椭圆与P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为R，直线PR交x轴于点M．
（1）求△PF1Q的周长；
（2）求△PF1M面积的最大值．
【分析】（1）根据椭圆定义求出a，代入即可；
（2）设直线l：x＝my+2，P（x1，y1），Q（x2，y2），椭圆的方程为，求出M坐标，联立解方程求出x1y2+x2y1＝2my1y2+2（y1+y2）＝，利用面积公式求出即可．
【解答】解：（1）设椭圆C的焦距为2c，则2c＝4，c＝2，F1（﹣2.0），F2（2，0），且椭圆过点A，
由椭圆的定义2a＝AF1+AF2＝6，故a＝3，
所以，△PF1Q的周长为4a＝12；
（2）由（1）知，b2＝9﹣4＝5，故椭圆的方程为，
设直线l：x＝my+2，P（x1，y1），Q（x2，y2），则R（x2，﹣y2），
直线PR：，得M（，0），
联立，消去x，得（5m2+9）y2+20my﹣25＝0，
，，
x1y2+x2y1＝2my1y2+2（y1+y2）＝，
所以•|y1|＝，当且仅当P在短轴顶点处取得等号，
故△PF1M面积的最大值为．
19．已知椭圆C：的离心率为，直线y＝x交椭圆C于A、B两点，椭圆C的右顶点为P，且满足．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y＝kx+m（k≠0，m≠0）与椭圆C交于不同两点M、N，且定点满足，求实数m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）根据向量的运算，求得a＝2，利用椭圆的离心率公式即可求得b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及△＞0，根据中点坐标公式及直线的斜率公式即可求得6m﹣1＝4k2，即可求得6m﹣1＞m2﹣1，求得m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由即2||＝4，则a＝2，
由e＝＝，所以c＝，b＝1，
则椭圆C的方程为．
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，整理得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
则△＝64k2m2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＞0，即4k2＞m2﹣1，且x1+x2＝﹣，
又设MN中点D的坐标为（xD，yD），
因为，所以DQ⊥MN，即＝﹣，
又xD＝＝﹣，yD＝kxD+m＝，
所以6m﹣1＝4k2，故6m﹣1＞0，且6m﹣1＞m2﹣1，故＜m＜6．
∴m的取值范围（，6）．
20．已知椭圆方程为．
（1）设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上运动，求的值．
（2）设直线l和圆x2+y2＝2相切，和椭圆交于A、B两点，O为原点，线段OA，OB分别和圆x2+y2＝2交于两点，设△AOB，△COD的面积分别为S1，S2，求的取值范围．
【分析】（1）由已知求得椭圆焦点坐标，设P（x，y），由焦半径公式及数量积公式可得＝；
（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝，求得．若直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx+m，由已知可得，则m2＝2（1+k2），
设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及三角形面积公式写出，再由换元法结合二次函数求最值．
【解答】解：（1）由已知，F1（﹣，0），F2（），设P（x，y），
由焦半径公式可得＝，
＝x2+y2﹣3．
结合，得，
故＝；
（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝，
由对称性，不妨设x＝，此时A（），B（），C（1，1），D（1，﹣1），
故．
若直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx+m，
由已知可得，则m2＝2（1+k2），
设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l与椭圆方程联立，
得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣6＝0．，．
结合|OC|＝|OD|＝及，，
可知＝
＝＝．
将根与系数的关系代入整理得：
，结合m2＝2（k2+1），得．
设t＝2k2+1≥1，u＝∈（0，1]，
则＝＝∈[2，]．
∴的取值范围是[2，]．
21．已知椭圆的左、右焦点分别为点F1，F2，左、右顶点分别为A，B，长轴长为4，椭圆上任意一点P（不与A，B重合）与A，B连线的斜率乘积均为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，过点F1的直线l1与椭圆C交于M，N两点，过点F2的直线l2与椭圆C交于P，Q两点，且l1∥l2，试问：四边形MNPQ可否为菱形？并请说明理由．
【分析】（1）求出b，得到椭圆的方程；（2）先判断四边形MNPQ为平行四边形，再判断是否成立，方程是否有解，即可判断．
【解答】解：（1）由题意，a＝2，则A（﹣2，0），B（2，0），
设，则点P与点A连线的斜率为，点P与点B连线的斜率为，故，
又因为点P在椭圆C上，故有，
联立解得b2＝3，则椭圆C的方程为．
（2）由于点F1，F2关于原点对称且l1∥l2，故l1，l2关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以四边形MNPQ为平行四边形；
由（1），知F1（﹣1，0），易知直线MN不能平行于x轴．所以令直线MN的方程为x＝my﹣1，设M（x1，y1），N（x2，y2）．
联立方程，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，
所以，．
若MNPQ是菱形，则OM⊥ON，即，于是有，
整理得到，即12m2+5＝0，
上述关于m的方程显然没有实数解，故四边形MNPQ不可能是菱形．
[B组]—强基必备
1．已知椭圆Γ：内有一定点P（1，1），过点P的两条直线l1，l2分别与椭圆Γ交于A、C和B、D两点，且满足，，若λ变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆Γ的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由向量的坐标运算及点差法作差求得：＝﹣•，代入即可求得a和b的关系，即可求得椭圆的离心率．
【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），
由，即（1﹣x1，1﹣y1）＝λ（x3﹣1，y3﹣1），则x1+λx3＝1+λ，y1+λy3＝1+λ，
由，同理可得：x2+λx4＝1+λ，y2+λy4＝1+λ．
则（y1+y2）+λ（y3+y4）＝（x1+x2）+λ（x3+x4），
将点A，B的坐标代入椭圆方程作差可得：＝﹣•，
由题意可得：AB∥CD，∴kAB＝kCD＝﹣．
则a2（y1+y2）＝4b2（x1+x2）①，
同理可得：a2（y3+y4）＝4b2（x3+x4），
∴λa2（y3+y4）＝4λb2（x3+x4），②
①+②得：a2[（y1+y2）+λ（y3+y4）]＝4b2[（x1+x2）+λ（x3+x4）]，
∴a2[（x1+x2）+λ（x3+x4）]＝4b2[（x1+x2）+λ（x3+x4）]，
∴a2＝4b2，
则椭圆的离心率e＝＝＝．
故选：A．
2．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I，G分别为△PF1F2的内心和重心，当IG⊥x轴时，椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】如图所示，设P（x0，y0），不妨设y0＞0．利用三角形重心性质可得G（，），根据IG⊥x轴，可得xI＝．设三角形内切圆的半径为r．由三角形内切圆的性质可得：r（2a+2c）＝•2c•y0．可得r＝＝yI．设PF1，PF2分别与内切圆相切于点D，E．可得PD＝PE＝（2a﹣2c）＝a﹣c．在Rt△PDI中，由勾股定理可得：PD2+ID2＝PI2．化简整理即可得出．
【解答】解：如图所示，设P（x0，y0），不妨设y0＞0．
F1（﹣c，0），F2（c，0）．
则G（，），∵IG⊥x轴，∴xI＝．
设三角形内切圆的半径为r．
由三角形内切圆的性质可得：r（2a+2c）＝•2c•y0．
解得r＝，∴yI＝．
设PF1，PF2分别与内切圆相切于点D，E．
则PD＝PE＝（2a﹣2c）＝a﹣c．
在Rt△PDI中，由勾股定理可得：PD2+ID2＝PI2．
∴（a﹣c）2+＝+，
化为：+＝1．
与椭圆比较可得：a2＝，
∴a＝（a﹣c），可得＝．
∴e＝．
故选：A．