2024年新高考数学一轮复习达标检测第36讲数列的综合应用（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习达标检测第36讲数列的综合应用（学生版），共6页。

1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为
A．13B．14C．15D．16
2．已知数列的通项公式，为数列的前项和，满足，则的最小值为
A．2B．3C．4D．5
3．明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，” “倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的第四层灯的数量为
A．12B．24C．48D．96
4．对于数列，若存在常数，使对任意，都有成立，则称数列是有界的．若有数列满足，则下列条件中，能使有界的是
A．B．
C．D．
5．已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为
A．B．C．D．
6．如果一个数列由有限个连续的正整数按从小到大的顺序组成（数列的项数大于，且所有项数之和为，那么称该数列为“型标准数列”，例如，数列3，4，5，6，7为“25型标准数列”，则“5336型标准数列”的个数为
A．2B．3C．4D．5
7．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．在龙门石窟的某处“浮雕像”共有7层，每一层的数量是它下一层的2倍，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案．已知该处共有1016个“浮雕像”，则正中间那层的“浮雕像”的数量为
A．508B．256C．128D．64
8．设等差数列的前项和为，若，，则满足的最小正整数的值为
A．1010B．1011C．2020D．2021
9．等差数列的前项和为，，，则满足的
A．50B．51C．100D．101
10．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多斐波那契于1202年提出的数列．斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为，则的通项公式为
A．
B．，且（1），（2）
C．
D．
11．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇．这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为130尺，则在第几天墙才能被打穿？
A．6B．7C．8D．9
12．已知等比数列的公比为3，前项和为，若关于的不等式有且仅有两个不同的整数解，则的取值范围为
A．，，B．，，
C．，，D．，，
13．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半．1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只．以此类推，假设个月后共有老鼠只，则 ．
14．已知数列中，，，，若对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是 ．
15．十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，，记其前项和为．
（1） ．
（2）设，，为常数）， ．
16．定义：数列，满足，则称数列为的“友好数列”．若数列的通项公式，，则数列的“友好数列“的通项公式为 ；记数列的前项和为．且，则的取值范围是 ．
17．已知是首项不为1的正项数列，其前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求证：．
18．已知数列满足．
（1）求数列的通项；
（2）设，求数列的前项和，当对一切正整数恒成立时，求实数的取值范围．
19．已知数列满足，，数列是公比为正数的等比数列，，且，，8成等差数列．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．
（Ⅲ）若数列满足，求证：．
20．各项为正数的数列如果满足：存在实数，对任意正整数，恒成立，且存在正整数，使得或成立，则称数列为“紧密数列”，称为“紧密数列”的“紧密度”．已知数列的各项为正数，前项和为，且对任意正整数，，，为常数）恒成立．
（1）当，，时，
①求数列的通项公式；
②证明数列是“紧密度”为3的“紧密数列”；
（2）当时，已知数列和数列都为“紧密数列”，“紧密度”分别为，，且，，，求实数的取值范围．
[B组]—强基必备
1．斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，，在数学上，斐波拉契数列定义如下：，，随着的增大，越来越逼近黄金分割，故此数列也称黄金分割数列，而以、为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是
A．20厘米B．19厘米C．18厘米D．17厘米
2．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列是等积数列且，前41项的和为103，则这个数列的公积为
A．2B．3C．6D．8
3．对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则 ．
4．定义：若数列满足，则称该数列为“切线一零点数列”已知函数有两个零点1，2，数列为“切线一零点数列”，设数列满足，数列的前项和为．则 ．
5．已知有穷数列且．定义数列的“伴生数列”，，，，，，其中，2，，，规定，．
（Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：
①1，2，3，4，5；
②1，，1，，1．
（Ⅱ）已知数列的“伴生数列”，，，，，，且满足，2，，．
若数列中存在相邻两项为1，求证：数列中的每一项均为1；
（ⅱ）求数列所有项的和．