2024年新高考数学一轮复习达标检测第31讲复数（教师版）

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A．6B．4C．2D．1
【分析】根据复数代数形式的运算法则和复数相等，列出方程组求出和的值，再求和．
【解答】解：由，
得，
所以，
解得，，
所以．
故选：．
2．已知为虚数单位，若复数满足，则复数
A．2B．1C．D．
【分析】根据复数的运算先求出，然后根据模长公式即可求解．
【解答】解：，
，
则．
故选：．
3．若复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为
A．3B．C．D．
【分析】求出，从而，由此能求出的共轭复数的虚部．
【解答】解：复数满足，其中为虚数单位，
，
，
的共轭复数的虚部为3．
故选：．
4．已知复数满足，则的共轭复数的虚部是
A．B．1C．D．
【分析】求出．从而，由此能求出的共轭复数的虚部．
【解答】解：复数满足，
．
，
则的共轭复数的虚部为1．
故选：．
5．已如为虚数单位，复数满足．是复数的共轭复数，则下列关于复数的说法正确的是
A．
B．
C．
D．复数在复平面内表示的点在第四象限
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得，然后逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：由，得，故错误；
，故错误；
，故正确；
复数在复平面内表示的点的坐标为，在第二象限，故错误．
故选：．
6．若复数满足，其中是虚数单位，则
A．B．C．D．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由，得，
．
故选：．
7．已知复数为虚数单位），则
A．B．C．2D．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【解答】解：，
．
故选：．
8．没是虚数单位，非零复数满足（其中为复数的共轭复数），若则实数为
A．B．C．2D．3
【分析】与题意可知，为纯虚数，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．
【解答】解：由，知为纯虚数，
，
，即．
故选：．
9．若复数满足为虚数单位），则
A．B．C．D．
【分析】设，则，推导出，由此能求出结果．
【解答】解：复数满足为虚数单位），
设，
，
，
，，
．
故选：．
10．（多选）已知复数，则下列说法正确的是
A．若则共轭复数B．若复数，则
C．若复数为纯虚数，则D．若，则
【分析】把代入，化简后可得错误；代入整理，可得正确；再由实部为2，虚部为0求解判断；由实部为0且虚部不为0列式求解判断．
【解答】解：，
若，则，，故错误；
此时，故正确；
若复数，则，即，故正确；
若复数为纯虚数，则，即，故错误．
故选：．
11．（多选）已知复数满足为虚数单位），复数的共轭复数为，则
A．
B．
C．复数的实部为
D．复数对应复平面上的点在第二象限
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：由，得，
，故错误；
，故正确；
复数的实部为，故错误；
复数对应复平面上的点的坐标为，，在第二象限，故正确．
故选：．
12．（多选）复数满足，则下列说法正确的是
A．的实部为B．的虚部为2C．D．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：由，得，
．
的实部为；的虚部为；；．
故选：．
13．（多选）已知复数是虚数单位），是的共轭复数，则下列的结论正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据复数的运算进行化简判断即可．
【解答】解：，
，故正确，
，故错误，
，故正确，
虚数不能比较大小，故错误，
故选：．
14．已知，则 ．
【分析】根据复数的模长公式直接进行计算即可．
【解答】解：，
，
故答案为：2
15．若，则复数的虚部为 ．
【分析】利用虚数单位的运算性质变形，再由复数相等的条件求解与的值，则答案可求．
【解答】解：，
，即，．
复数的虚部为．
故答案为：．
16．若复数满足方程，则 ．
【分析】求解实系数一元二次方程可得，再由复数代数形式的乘除运算化简求得．
【解答】解：由，得，，
当时，；
当时，．
．
故答案为：．
17．设，则 ．
【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．
【解答】解：，
．
故答案为：．
18．若复数，则共轭复数的虚部为 ．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【解答】解：，
，
则共轭复数的虚部为．
故答案为：．
19．设是原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的实部为 ，虚部为 ．
【分析】利用向量的减法运算求得的坐标，进一步求出向量对应的复数，则答案可求．
【解答】解：由题意，，，
则，，，．
向量对应的复数为．
其实部为5，虚部为．
故答案为：5；．
20．已知是虚数单位，且，则 ．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于0且虚部等于0求得值，进一步化简，再由虚数单位的运算性质求解．
【解答】解：，
，即．
，
．
故答案为：1．
21．复数满足：（其中，为虚数单位），，则 ；复数的共轭复数在复平面上对应的点在第 象限．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，利用复数的模列式求得值，进一步求出的坐标得答案．
【解答】解：由，得，
由，解得．
又，．
此时，则．
在复平面上对应的点的坐标为，在第四象限．
故答案为：2；四．
22．已知复数．
（1）取什么值时，为实数；
（2）取什么值时，为纯虚数．
【分析】（1）直接由虚部为0求解值；
（2）由实部为0且虚部不为0求解值．
【解答】解：（1），
若为实数，则，即；
（2）若为纯虚数，则，即．
23．已知为虚数，为实数．
（1）若为纯虚数，求虚数；
（2）求的取值范围．
【分析】（1）设，，，，由为纯虚数，求出的值，再由为实数，求出的值，由此能求出虚数．
（2）由为实数，且，得到，根据，求出的范围，根据复数的模的定义得到，由此能求出的取值范围．
【解答】解：（1）为虚数，为实数．设，，，，
为纯虚数，，，
为实数，
，
，解得，
或．
（2），
，
，，，
，解得，
，
，，，
，的取值范围为．
24．已知复数为虚数单位）．
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）在复平面内，若所对应的点在直线的上方，求实数的取值范围．
【分析】（1）根据复数是纯虚数，建立方程进行求解即可．
（2）根据复数的几何意义，求出对应点的终边，结合点与直线的关系转化为不等式进行求解即可．
【解答】解：（1）是纯虚数，，
解得，
．
（2）所对应的点是，，
所对应的点在直线的上方，即，
化简得，即，
．即 实数的取值范围是，．
25．已知复数是虚数单位），．
（Ⅰ）若是纯虚数，求的值；
（Ⅱ）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）利用复数代数形式的运算法则求出，利用是纯虚数，列出方程组能求出的值．
（Ⅱ）由复数在复平面内对应的点位于第四象限，列出不等式组能求出的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）复数，
是纯虚数，
，解得．
的值为．
（Ⅱ）复数在复平面内对应的点位于第四象限，
，解得，
的取值范围是．
[B组]—强基必备
1．设是虚数单位，则的值为
A．B．C．D．
【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．
【解答】解：设．
．
则．
，
．
故选：．
2．定义复数的一种运算（等式右边为普通运算），若复数，且正实数，满足，则最小值为
A．B．C．D．
【分析】先由新定义用和表示出，再利用基本不等式求最值即可．
【解答】解：
，，
．
故选：．