2024年新高考数学一轮复习达标检测第30讲平面向量的综合应用（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习达标检测第30讲平面向量的综合应用（教师版），共14页。
A．B．C．D．
【分析】根据平面向量的坐标运算公式，计算即可．
【解答】解：，，，
则，，．
故选：．
2．如图在平行四边形中，已知，，，，则
A．6B．C．3D．
【分析】将结合，将中的向量用来表示，即可解出的值．
【解答】解：因为平行四边形中，，，．
所以，，
故由得，
即，
解得．
故选：．
3．如图，边长为1的等边中，为边上的高，为线段上的动点，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【分析】可设，且，它们的夹角为，然后设，，，然后结合向量的加减法运算，将表示为关于的函数的形式，问题即可解决．
【解答】解：由已知设，则，且，
由等边三角形的性质可知：，故可设，
所以，
所以
，，．
易知时，原式取最小值；或1时，原式取最大值0．
故则的取值范围是．
故选：．
4．设圆的半径为1，，，是圆上不重合的点，则的最小值是
A．B．C．D．
【分析】用表示出，作，垂足为，设，，用，表示出即可得出最值．
【解答】解：，
由题意可知，，均为单位向量，故，
连接，作，垂足为，设，，则，
，，，
，
，
当，时，取得最小值．
故选：．
5．在中，，，，且，，则
A．3B．5C．D．
【分析】根据已知，可得出，在三角形上的位置，则，通过化简代入数值，即可得结论．
【解答】解：由题，中，，，，
，，
，是线段的中点．
可得如图：
．
故选：．
6．在内使的值最小的点是的
A．外心B．内心C．垂心D．重心
【分析】令，，设，根据．结合二次函数的性质即可求解
【解答】解：令，，设，则，，
于是．
所以当时，最小，
此时，
则点为的重心．
故选：．
7．在中，点，在线段上，，当点在线段上运动时，总有，则一定有
A．B．C．D．
【分析】由题意画出图形，设，由，得，代入，再令，结合已知转化为关于的不等式，再由判别式恒小于等于0求得的值，然后利用数量积的几何意义可得，则答案可求．
【解答】解：如图，
设，由，得，
又，
，
即有，
，
令，
则，
即恒成立．
可得．
化为，则．
，即在上的投影为的中点．
．
故选：．
8．点，，在所在平面内，满足，，且，则，，依次是的
A．重心，外心，内心B．重心，外心，垂心
C．外心，重心，内心D．外心，重心，垂心
【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案．
【解答】解：，，
设的中点，则，
，，三点共线，即为的中线上的点，且．
为的重心．
，
，
为的外心；
，
，
即，，
同理可得：，，
为的垂心；
故选：．
9．已知是半圆的直径，，等腰三角形的顶点、在半圆弧上运动，且，，点是半圆弧上的动点，则的取值范围
A．B．C．D．
【分析】由圆的参数方程设出，，点的坐标，进而找出与角的关系，通过三角化简转化成三角函数，结合角的范围可求最值．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可得，，设，则，，
设，其中，，，，
所以，，，
所以
，
因为，，，，所以，，，，
所以．
故选：．
10．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为．给出以下结论：
①越大越费力，越小越省力；
②的范围为，；
③当时，；
④当时，．
其中正确结论的序号是 ．
【分析】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可．
【解答】解：对于①，由为定值，
所以，
解得；
由题意知时，单调递减，所以单调递增，
即越大越费力，越小越省力；①正确．
对于②，由题意知，的取值范围是，所以②错误．
对于③，当时，，所以，③错误．
对于④，当时，，所以，④正确．
综上知，正确结论的序号是①④．
故答案为：①④．
11．设为内一点，且满足关系式，则 ．
【分析】化简可得，设，分别为、的中点，则，再根据等底的三角形面积之比等于高之比即可求解．
【解答】解：由题可得，，则，即，
设，分别为、的中点，则，设，
为的中位线，
，
是的中点，
，
又，
，
是的中点，
，
又，
，
故．
故答案为：．
12．在平面直角坐标系中，已知点，、为圆上的两动点，且，若圆上存在点，使得，则的取值范围为 ．
【分析】作图，可得，由弦长、弦心距及半径之间的关系可得点的轨迹方程，进而得到的几何意义，由此即可得解．
【解答】解：取的中点，连接，则，
又圆上存在点，使得，所以，
因此，故，
因为、为圆上的两动点，且，
所以，
设，则，即点的轨迹方程为，
表示圆上的点与定点之间的距离，
因此，即，即．
故答案为：．
13．如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）求点，点的坐标；
（2）求四边形的面积．
【分析】（1）设，，根据题中条件，得到，，再由向量的坐标表示，根据，即可求出点的坐标；
（2）先用向量的方法，证明四边形为等腰梯形；连接，延长交轴于点，
得到，均为等边三角形，进而可求出四边形面积．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，，，，
又，设，，
则，，
点；
又，，
即点；
（2）由（1）可得，，，
，即，又，
四边形为等腰梯形．
连接，延长交轴于点，则，均为等边三角形，
．
14．在中，是线段上靠近的一个三等分点，是线段上靠近的一个四等分点，，设，．
（1）用，表示；
（2）设是线段上一点，且使，求的值．
【分析】（1）利用已知条件，通过向量的三角形法则与平行四边形法则，转化求解即可．
（2）通过向量关系，结合向量共线，转化求解向量的模的关系，推出结果．
【解答】解：（1）因为是线段上靠近的一个三等分点，所以．
因为是线段上靠近的一个四等分点，所以，
所以．
因为，所以，
则．
又，，
所以．
（2）因为是线段上一点，所以存在实数，
使得，
则，
因为，所以存在实数，
使，即，
整理得解得，
故．
15．如图，在正方形中，点是边上中点，点在边上．
（1）若点是上靠近的三等分点，设，求的值．
（2）若，当时，求的长．
【分析】（1）用表示出，得出，的值即可得出的值；
（2）设，用表示出，根据计算，从而可得的长．
【解答】解：（1）点是边上中点，点是上靠近的三等分点，
，，
，
，，
故．
（2）设，则，又，，
，
故，
．
[B组]—强基必备
1．已知点，，倾斜角为的直线与单位圆在第一象限的部分交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）设，，试用表示与；
（2）设，试用表示；
（3）求的最小值．
【分析】（1）由题意知点的坐标为，利用坐标表示，，得出、的表达式；
（2）由，利用、、三点共线得出，、、三点共线得出；
联立方程组求得的解析式；
（3）由的解析式，利用三角函数的性质求出的最小值．
【解答】解：（1）由题意知点为倾斜角为的直线与单位圆在第一象限的交点，
所以，；
又因为与轴交于点，与轴交于点，
由，，且，，
所以，；
（2）由，由、、三点共线，
所以，
即，①
同理，由、、三点共线，
所以，②
由①②得，
，
从而得；
（3）由，
当时，取得最小值为．