2024年新高考数学一轮复习达标检测第22讲函数y＝Asinωx+φ的图象及应用（教师版）

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A．B．
C．D．
【分析】由题意可得函数的最小正周期为，可得，，可得所求图象．
【解答】解：，，，
可得函数的最小正周期为，
函数的图象为两个周期，故，均错；
由可得，，
故选：．
2．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象的解析式为
A．B．
C．D．
【分析】根据三角函数的图象平移关系进行求解即可．
【解答】解：函数的图象向右平移个单位长度，
得到，即所得的函数解析式是．
故选：．
3．若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心可以为
A．B．C．D．
【分析】由函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质即可得解对称中心．
【解答】解：函数图象向左平移个单位得到：，
令：，，
解得：，，
当时，，可得平移后图象的一个对称中心可以为．
故选：．
4．已知函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则该函数图象是由的图象经过怎样的变换得到？
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【分析】先求出函数的周期，再利用求得，从而得，然后利用诱导公式将其变形为，最后利用三角函数的平移变换法则即可得解．
【解答】解：由题可知，函数的最小正周期，
，
，
该函数图象是由的图象向右平移个单位所得．
故选：．
5．如图，某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：的最大值为
A．5B．6C．8D．10
【分析】由题意和最小值易得的值，进而可得最大值．
【解答】解：由题意可得当取最小值时，
函数取最小值，解得，
，
当取最大值1时，
函数取最大值，
故选：．
6．函数，，，的部分图象如图所示，则
A．B．
C．D．
【分析】结合三角函数的图象先求出，周期，利用五点对应法可以求出函数的解析式．
【解答】解：由图象知函数的最大值为2，即，
周期，
即，得，
则，
由五点对应法得，得，
即，
故选：．
7．若函数的图象关于点对称，则的最小值是
A．B．C．D．
【分析】化函数为正弦型函数，根据正弦函数的对称性求出的最小值．
【解答】解：函数，
其图象关于点对称，
则，；
解得，；
又，
所以时，取得最小值是．
故选：．
8．已知函数，如果存在实数，，使得对任意的实数，都有，那么的最小值为
A．B．C．D．
【分析】计算的最小正周期，则的最小值为．
【解答】解：的周期，
由题意可知为的最小值，为的最大值，
的最小值为．
故选：．
9．已知函数，，的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值可能为
A．B．C．D．
【分析】由函数图象可知，，进而得，将点，代入解析式，得，求出函数的解析式为，因为它的图象向右平移个单位后，得到为偶函数，所以，，进而得出答案．
【解答】解：由图可知，
，所以，
，得，
因为函数图象过点，，
所以，
，，，
又因为，
所以．
所以，
因为它的图象向右平移个单位后，
得到为偶函数，
所以，
得，
当时，．
故选：．
10．已知函数，满足不等式在上恒成立，在上恰好只有一个极值点，则实数
A．B．C．D．
【分析】由题可知，函数在处取得最小值，即，所以，即，①，由于在上恰好只有一个极值点，结合正弦函数的图象可知，，即，解得②，由①②可得，所以，．
【解答】解：不等式在上恒成立，，
，即，，
函数在上恰好只有一个极值点，
，即，
，
，解得，
，，．
故选：．
11．（多选）为了得到函数的图象，可作如下变换
A．将的图象上所有点向左平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到
B．将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐变为原来的2倍，纵坐标不变而得到
C．将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到
D．将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得到
【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：为了得到函数的图象，
将的图象上所有点向左平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，
纵坐标不变而得到．
也可 将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，
然后将所得图象上所有点向左平移个单位长度而得．
故选：．
12．（多选）已知函数，，的图象的一个最高点为，，与之相邻的一个对称中心为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则
A．为偶函数
B．的一个单调递增区间为
C．为奇函数
D．在上只有一个零点
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：已知函数，，的图象的一个最高点为，，
故．
与之相邻的一个对称中心为，
故，．
再根据五点法作图，可得，可得，故函数．
将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
显然，和都是非奇非偶函数，故排除、；
在区间 上，，，单调递增，故正确；
在上，，，只有一个零点，故正确，
故选：．
13．函数的最小值为 ．
【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后求解即可．
【解答】解：函数
，，其中，
的最小值为，
故答案为：．
14．若函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位后，所得图象关于轴对称，则的最小正值为 ．
【分析】利用函数的图象变换规律，正弦函数的周期性、图象的对称性，求得和，即可得解．
【解答】解：函数的最小正周期为，
，．
其图象向左平移个单位后，可得的图象；
根据所得图象关于轴对称，可得，，即：，，
的最小正值为．
故答案为：．
15．把函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，则的值等于 ．
【分析】通过函数的图象平移变换结合函数的解析式可得答案，
【解答】解：把函数的图象向右平移个单位，
得函数的图象，
由题意所得函数图象为的图象可知，
则的值等于，
故答案为：，
16．已知函数的图象如图所示，则 ．
【分析】根据函数的部分图象求得、、和的值，写出的解析式，计算的值．
【解答】解：根据函数的部分图象知，，，
解得，所以；
由，得，；
解得，；
又，所以，
所以，
所以．
故答案为：．
17．函数图象上有两点，，，若对任意，线段与函数图象都有五个不同交点，若在，和，上单调递增，在，上单调递减，且，则的所有可能值是
【分析】根据条件求出函数的周期，以及函数的解析式，结合函数的单调性，判断，利用函数的最值进行求解即可．
【解答】解：由于且线段与函数图象都有五个不同交点，
则，即，
则，
由题意得，
则，
即，
若在，和，上单调递增，在，上单调递减，
在处取得最大值，即，
即，则，
得，
则，，
故答案为：，．
18．已知函数．
（1）求函数的对称轴方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
【分析】（1）直接利用余弦型函数的性质和整体思想求出函数的对称轴方程．
（2）利用整体思想，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，再求出函数的最值．
【解答】解：（1）函数．
由得，
即函数的对称轴方程为，，
（2）当时，，，
所以当，
即时，函数取得最小值，最小值为，
当，即时，函数取得最大值，最大值为．
19．已知函数的最小正周期为．
（1）从，都有这三个条件中，选择合适的两个条件，求函数的解析式；
（2）求（1）中所求得的函数在区间上的最大值和最小值．
【分析】（1）由函数的最小正周期为4可得的值，分别选①②，②③由函数的性质可得的解析式；
（2）由的范围求出的范围，进而可得函数最值．
【解答】解：（1）因为函数的最小正周期为，所以，可得，
选①②时，因为，所以，所以，，，所以，
而，所以，即，所以，
所以；
选②③时，
因为任意，都有，所以时取得最大值，即，，而，解得，
而，所以，解得，
所以；
（2）因为；
，则，，所以，
所以，，
且时函数取值最小值，时函数取得最大值；
所以函数在上的最小值为，最大值为．
20．将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作．
（1）在中，三个内角，，且，若角满足（C），求的取值范围；
（2）已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数与的值．
【分析】（1）首先利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的取值范围．
（2）利用函数的图象和函数的零点的关系进一步进行分类讨论，最后求出参数的值和的值．
【解答】解：（1）函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象．
可知．
因为（C），
所以，
，
，
．
因为，
所以，
所以，
，
所以的取值范围为．
（2）依题意，，
当时，，则在内的零点个数为偶数个，
故，
令，，，得，△，
二次方程必有两不等实根、，，
则、异号，
当且时，
方程在，根的个数为偶数个，不合乎题意；
当，则，当时，
关于的方程在上有三个根，
由于，则为奇数
则，解得：，由于不是整数，故舍去．
当时，则，当时，
关于的方程在上有三个根，且为奇数，
，解得．
此时，，得．
综上所述：，．
[B组]—强基必备
1．将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象，若在，上的最大值为，则的取值个数为
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用函数图象的平移与伸缩变换求得的解析式，再由的范围求得的范围，结合在，上的最大值为，分类求解得答案．
【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象．
再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象，
，上，，，
当，即时，则，求得．
当，即时，由题意可得，
作出函数与的图象如图：
由图可知，此时函数与的图象有唯一交点，则有唯一解．
综上，的取值个数为2．
故选：．
2．函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是
A．B．，C．，D．，
【分析】当函数在区间上单调时，最大值与最小值之差有最大值，当对称轴在区间内部时，讨论可得最大值与最小值之差的最小值．
【解答】解：当对称轴不在上时，函数在上单调，不妨设函数在上单调递增，
设函数在区间上的最大值与最小值之差为，
则，
当对称轴在区间上时，不妨设对称轴上取得最大值1，则函数的最小值为或，
显然当对称轴经过区间中点时，有最小值，
不妨设，，
则，，
，
的最小值为，
综上，函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是，，
故选：．
3．已知函数，函数的图象经过点且的最小正周期为．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象上所有的点向下平移1个单位长度，再桦函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数图象，令函数，区间，，且满足：在，上至少有30个零点，在所有满足上述条件的，中，求的最小值．
（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）利用已知条件和函数的周期求出函数的关系式．
（2）利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换进一步求出函数的关系式，进一步利用零点的讨论求出最小值．
（3）利用函数的恒成立问题和换元法的应用及单调性的应用求出结果．
【解答】解：（1），
又函数的最小正周期为，
，
．
．
又函数经过点，
所以，
于是
因为，
所以．
故．
（2）由题意，．
令得：，
或，
解得：或，
相邻两个零点之间的距离为或．
若最小，则，均为的零点，
此时在区间，，，，，，分别恰有3，5，，个零点．
在区间，恰有个零点．
，至少有一个零点．
，即．
检验可知，在恰有30个零点，满足题意（可有可无）
的最小值为．
（3）由题意得．
，，，
．
设，，．则．
设．则在，上是增函数．
当时，，
．
故实数的取值范围是，．