2024年新高考数学一轮复习达标检测第29讲平面向量的数量积（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习达标检测第29讲平面向量的数量积（教师版），共15页。
A．8B．7C．D．
【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的数量积公式求解即可．
【解答】解：，，则．
故选：．
2．已知向量，，若，则
A．B．C．D．
【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由，利用向量垂直的性质能求出．
【解答】解：向量，，
，
，
，
解得．
故选：．
3．已知向量，，且，则
A．5B．C．D．4
【分析】根据即可求出，从而可得出的坐标，从而可得出的值．
【解答】解：，
，解得，
，
．
故选：．
3．已知单位向量，满足，则
A．B．1C．D．0
【分析】对条件式两边平方计算，再计算．
【解答】解：是单位向量，，
，，故，
．
故选：．
4．已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A．B．C．D．
【分析】根据列方程得出，再代入向量的夹角公式即可得出答案．
【解答】解：，，
即，
，
，
．
故选：．
5．已知单位向量与的夹角为，则向量在向量方向上的投影为
A．B．C．D．
【分析】根据向量数量积公式转化求解即可．
【解答】解：因为单位向量与的夹角为，所以向量在向量方向上的投影为；
故选：．
6．已知向量，，，若，，则
A．14B．C．10D．6
【分析】通过向量的共线与垂直，求出，，然后求解向量的数量积即可．
【解答】解：向量，，，
，可得，解得，，
，可得，解得，
，
则．
故选：．
7．设圆的半径为1，，，是圆上不重合的点，则的最小值是
A．B．C．D．
【分析】用表示出，作，垂足为，设，，用，表示出即可得出最值．
【解答】解：，
由题意可知，，均为单位向量，故，
连接，作，垂足为，设，，则，
，，，
，
，
当，时，取得最小值．
故选：．
8．已知，，，若，则最大值为
A．B．C．D．
【分析】由平面向量数量积的定义可知，设，，则，结合平面向量数量积的坐标运算和，可得，若令，，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，于是当、与三点共线位于和的中间），且点在的延长线上时，最大，为，从而得解．
【解答】解：，，，即．
设，，则，
，，，，化简整理得，，
令，，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
，
当、与三点共线位于和的中间），且点在的延长线上时，
最大，为．
故选：．
9．已知向量，满足，且对任意的实数，不等式恒成立，设的夹角为，则的值为
A．B．C．D．
【分析】根据条件，对两边平方，进行数量积的运算即可得出，从而得出△，进而得出，，从而可求出的值．
【解答】解：，的夹角为，且对任意的实数，不等式恒成立，
，
，整理得，，
△，
，，且，
，
．
故选：．
10．（多选）已知向量，设的夹角为，则
A．B．C．D．
【分析】根据题意，求出、的坐标，据此分析选项，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，，，则，，
依次分析选项：
对于，，，则不成立，错误；
对于，，，则，即，正确；
对于，，，不成立，错误；
对于，，，则，，，则，则，正确；
故选：．
11．（多选）在平行四边形中，，，，若为线段的中点，则
A．B．C．D．
【分析】画出图形，求出相关点的坐标，通过向量的数量积求解即可．
【解答】解：在平行四边形中，，，，
若为线段中点，建立如图所示的坐标系，则，，，则，，
可得，，，，
则；
．
故选：．
12．已知，，且，则与夹角为 ．
【分析】根据向量夹角的余弦公式即可得出，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角．
【解答】解：，
，且，
与的夹角为．
故答案为：．
13．已知向量，，若，则实数的值为 ．
【分析】可以得出，然后根据即可得出，从而解出即可．
【解答】解：，
，
，解得．
故答案为：．
14．已知所在平面内的两点，满足：，，是边上的点，若，，，，则 ．
【分析】由题意可判断是的外心，是的垂心，结合，及可判断为的中点，从而可计算．
【解答】解：，，即，，
同理可得：，，
是的垂心，
，
，是的外心，
，，
下面证明：，
延长交圆于，则，
又，，同理可得：，
四边形是平行四边形，，
，
设的中点为，则，
，又，，
与重合，故，
．
故答案为：
15．已知，，，，则 ．
【分析】两边平方即可求出的值．
【解答】解：，，
，，
，，
，即，
．
故答案为：．
16．已知，，．
（1）求；
（2）求与的夹角．
【分析】（1）根据即可得出，进行数量积的运算即可求出；
（2）可设与的夹角为，然后可求出的值，根据求出的值，从而可得出的值，进而得出的值．
【解答】解：（1），，
，
；
（2）设与的夹角为，
由（1）与得，，，
，且，，
．
17．已知单位向量，的夹角为，向量，向量．
（1）若，求的值；
（2）若，求．
【分析】（1）由题意利用两个向量共线的性质，求出的值．
（2）由题意利用两个向量垂直的性质，求出的值，可得，从而求出．
【解答】解：（1）单位向量，的夹角为， 与 不共线．
向量，向量，
若，则，．
（2）若，．
，
求得，，．
18．设平面向量，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若且，求实数的值．
【分析】（Ⅰ）由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，求得的坐标，可得它的模．
（Ⅱ）由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得的值．
【解答】解：（Ⅰ）向量，，
0，，．
（Ⅱ）若且，
，，
实数．
19．如图，在中，已知，，，为线段中点，为线段中点．
（1）求的值；
（2）求，夹角的余弦值．
【分析】（1）建立坐标系，求出相关向量，利用向量的数量积求解即可．
（2）求出，的坐标，利用向量的数量积求解两个向量的夹角．
【解答】解：（1）依题意可知为直角三角形，，如图建立坐标系：
则，，，，因为为的中点，故，
，
．
（2）由为线段中点可知，，，
．
20．如图，在中，为边上的一点，且与的夹角为．
（1）设，求，的值；
（2）求的值．
【分析】（1）用表示出即可得出，的值；
（2）表示出，，再计算的值．
【解答】解：（1），，
，
，．
（2），，，
．
[B组]—强基必备
1．在中，点，在线段上，，当点在线段上运动时，总有，则一定有
A．B．C．D．
【分析】由题意画出图形，设，由，得，代入，再令，结合已知转化为关于的不等式，再由判别式恒小于等于0求得的值，然后利用数量积的几何意义可得，则答案可求．
【解答】解：如图，
设，由，得，
又，
，
即有，
，
令，
则，
即恒成立．
可得．
化为，则．
，即在上的投影为的中点．
．
故选：．
2．已知平面单位向量的夹角为，向量满足，若对任意的，记的最小值为，则的最大值为
A．B．C．D．
【分析】由题意设，，，，化为，它表示圆；由表示该圆上的点到点的距离，即到直线的距离；得出距离的最小值，求得的最大值为．
【解答】解：平面单位向量的夹角为，
设，，，，
由得，
化简得，它表示以点，为圆心，以为半径的圆；
又表示圆上的点到点的距离，即到直线的距离；
距离的最小值为，由圆心，到直线的距离为，
则的最大值为．
故选：．
3．已知平面向量，，，满足，，，若平面向量，且，则的最小值是 ．
【分析】由，可知，于是可分别以和为横、纵轴建立平面直角坐标系，此外，不妨设，则，，，于是有，而，且，，所以点的轨迹是以4为焦距的双曲线的右支．再设的夹角为，可推知，的夹角为，将其代入，可得，最后结合双曲线的定义、平面向量的减法运算、勾股定理和均值不等式等可求得的最小值．
【解答】解：，，即，
不妨令，由于，所以，，
如图所示，分别以和为横、纵轴建立平面直角坐标系，则，
，
，且，，
点的轨迹是以4为焦距的双曲线的右支．
，，
如图，设的夹角为，则，，
，，
即，的夹角为，
，，，
，
当且仅当即时，取得等号．
故答案为：．
4．在平面四边形中，，，，若，则的最小值为 ．
【分析】以为坐标原点，以为轴，以为轴建立如图坐标系，设．可以推出点在圆上，然后将的最小值的问题，根据三角形相似转化为的问题，借助三角形的两边之和大于第三边即可得到的最小值．
【解答】解：以为坐标原点，以为轴，以为轴建立如图坐标系，设．
则，，，，
，．
，
所以，
即，即点在以为圆心，以2为半径的圆上，
取，则，所以，
所以，即，
所以取得最小值即取得最小值，
根据三角形的两边之和大于第三边，，
故填：．