2024年新高考数学一轮复习达标检测第25讲正弦定理和余弦定理（教师版）

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A．B．C．D．或
【分析】根据正弦定理建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：，，，
由正弦定理，可得：，
得，
则或，
故选：．
2．在中，若，，，则的面积
A．B．C．6D．4
【分析】由已知利用余弦定理可得，解方程可得的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：，，，
由余弦定理，可得：，整理可得：，
解得，或（舍去），
．
故选：．
3． 的内角，，的对边分别为，，，，，，则角等于
A．B．或C．D．或
【分析】由，利用正弦定理可得，即可得解．
【解答】解：，，，
．
故选：．
4．中，，，，则的形状一定为
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形
【分析】由已知利用正弦定理可求，进而可得或，分类讨论，分别求出的值即可判断得解．
【解答】解：中，因为，
由正弦定理，可得，
故或，
当时，，为直角三角形；
当时，，为等腰三角形；
综上，的形状一定为等腰三角形或直角三角形．
故选：．
5．在中，角，，的对边分别为．．．根据下列条件解三角形，其中有两解的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【分析】，根据三边关系判断只有一解；
，根据三角形内角和定理与正弦定理，判断只有一解；
，利用正弦定理与大边对大角，得出只有一解；
，根据正弦定理和三角形的边角关系，得出有两解．
【解答】解：对于，，，，三边关系确定，所以只有一解；
对于，，，，所以，
由正弦定理求得、的值，所以只有一解；
对于，，，，由正弦定理得，
且，所以唯一确定，所以只有一解；
对于，，，，由正弦定理得，
且，，所以的值有两个，有两解．
故选：．
6．在中，已知，边，且的面积为，则边的长为
A．2B．C．D．4
【分析】先由可求出的长，再由余弦定理，代入数据进行运算即可得解．
【解答】解：由得，，，
由余弦定理知，，
．
故选：．
7．设，，分别为内角，，的对边．巳知，，则
A．5B．C．D．
【分析】由正弦定理化简已知等式可得，进而由余弦定理即可求解的值．
【解答】解：，
由正弦定理可得，即，
，
由余弦定理可得：，
解得．
故选：．
8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平．他在著作《数书九章》中叙述了已知三角形的三条边长，，，求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．已知的三条边长为，，，其面积为12，且，则周长的最小值为
A．12B．14C．16D．18
【分析】结合面积公式，以及代数运算的方法，容易求出的值，然后结合基本不等式，即可求出周长的最小值．
【解答】解：由已知：①，且②，．
由将②式代入①式得：，
周长．
取等条件，，故周长的最小值为16．
故选：．
9．在锐角中，若，且，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【分析】由，可得；再结合正弦定理和余弦定理，将中的角化边，化简整理后可求得；根据锐角和，可推出，，由于，故，，于是，最后结合正弦的两角差公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解．
【解答】解：由，得，，
，．
由正弦定理知，，
由余弦定理知，，
，，化简整理得，，
，，
由正弦定理，有，，，
锐角，且，，，解得，，
，
，，，，，，
的取值范围为，．
故选：．
10．（多选）在中，角，，所对的边分别是，，，下列说法正确的有
A．B．若，则
C．若，则D．
【分析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式逐一分析各个选项即可求解．
【解答】解：对于，由正弦定理，可得：，故正确；
对于，由，可得，或，即，或，，或，故错误；
对于，在中，由正弦定理可得，因此是的充要条件，正确；
对于，由正弦定理，可得右边左边，故正确．
故选：．
11．（多选）对于，下列说法中正确的是
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为直角三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则的面积为或
【分析】，由题可知，或，所以为等腰三角形或直角三角形，即错误；
，角与角互余，所以为直角三角形，即正确；
，利用正弦定理将角化边，有，由余弦定理知，，可推出为钝角三角形，即正确；
，由正弦定理知，或，然后分两类讨论：
当时，为直角三角形，可求得；
当时，为等腰三角形，可求得．
【解答】解：对于选项，若，则或，所以或，即为等腰三角形或直角三角形，所以错误；
对于选项，若，则与互余，所以为直角三角形，所以正确；
对于选项，由正弦定理知，，若，则，
由余弦定理知，，所以为钝角，为钝角三角形，即正确；
对于选项，由正弦定理知，，即，所以，
因为，所以或，
当时，为直角三角形，且，所以；
当时，为等腰三角形，，所以．
综上所述，的面积为或，所以正确．
故选：．
12．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则 ．
【分析】由已知利用正弦定理可得，结合大边对大角可求，根据特殊角的三角函数值即可求解的值．
【解答】解：，，，
由正弦定理，可得，
，可得，
．
故答案为：．
13．已知中，角，，的对边分别为，，，，则 ．
【分析】由已知利用特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式可求，的值，进而由正弦定理可求得的值．
【解答】解：，
，，
由正弦定理，可得：．
故答案为：．
14．在中，，，分别是角，，的对边，且，，，则 ， ．
【分析】由已知结合余弦定理可求，然后结合正弦定理可求．
【解答】解：由余弦定理可得，，
解可得，，
由正弦定理可得，，
故，
因为为三角形的内角且，
所以．
故答案为：，．
15．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 ．
【分析】由已知利用余弦定理可得，解得的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：中，，，，
由余弦定理，可得，即，解得，或（舍去），
．
故答案为：．
16．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，，，则 ．
【分析】根据条件得到，由正弦定理得到，解出，利用二倍角公式即可求解．
【解答】解：因为，所以，
由正弦定理可得，
因为
，
则，
因为，所以
解得，
故，
则，
故答案为：．
17． 的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，证明：是直角三角形．
【分析】（1）由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，解方程得，结合范围，可求的值；
（2）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，结合范围，，可求，即可得证．
【解答】解：（1），
，解得，
，
；
（2）证明：，，
由正弦定理可得，
，
，，，
，可得，可得是直角三角形，得证．
18．在中，角、、的对边分别为、、．已知，，．
（1）求的值；
（2）在边上取一点，使得，求的值．
【分析】（1）由题意及余弦定理求出边，再由正弦定理求出的值；
（2）三角形的内角和为，，可得为钝角，可得与互为补角，所以展开可得及，进而求出的值．
【解答】解：（1）因为，，．由余弦定理可得：，
由正弦定理可得，所以，
所以；
（2）因为，所以，
在三角形 中，易知为锐角，由（1）可得，
所以在三角形中，，
因为，所以，
所以．
19． 中，．
（1）求；
（2）若，求周长的最大值．
【分析】（1）运用余弦定理和特殊角的三角函数值，可得所求角；
（2）方法一、运用正弦定理和三角函数的和差公式，结合余弦函数的图象和性质，可得所求最大值．
方法二、运用余弦定理和基本不等式，即可得到所求最大值．
【解答】解：（1）设的内角，，所对的边分别为，，，
因为，
由正弦定理可得，
即为，
由余弦定理可得，
由，可得；
（2）由题意可得，
又，可设，，，
由正弦定理可得，
可得，，
则周长为，
，
当，即时，的周长取得最大值．
另解：，，又，
，
由，则（当且仅当时，“”成立），
则周长的最大值为．
20．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且．
（1）求；
（2）若的面积为，求的周长．
【分析】（1）利用两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得，结合，利用余弦定理可求，结合范围利用同角三角函数基本关系式可求的值．
（2）由已知利用三角形的面积公式可求的值，结合，可求的值，由（1）可求的值，即可得解三角形的周长．
【解答】解：（1）因为，可得，
所以
因为，
所以，
因为，
所以
（2）因为的面积为，
所以
因为，
所以
因为，
所以
故的周长为
21．在①； ②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．
在中，角，，的对边分别为，，，已知 _____，．
（1）求；
（2）如图，为边上一点，，，求边．
【分析】若选①，（1）由正弦定理可得的正切值，再由的范围及正弦的定义求出的正弦值；
（2）设，由，可得，在中由余弦定理可得的值，在中，可得的值；
若选②（1）由三角形内角和和正弦定理及2倍角的正弦公式可得的正弦值，进而求出其余弦值，求出的正弦值；
（2）同选①的答案．
【解答】解：若选①，则答案为：
（1）在①，
由正弦定理可得，因为，所以可得，
在中，所以，所以；
（2）因为，设，由图可得，
在中，由余弦定理可得，而，
所以，解得，
在中，．
若选②，则答案为：
（1）因为，所以，
由正弦定理可得，
因为，，所以，，
所以，
（2）答案同选①．
22．从①，②这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答．
已知中，，，分别是内角，，所对的边，且．
（1）求角；
（2）已知，且____，求的值及的面积．
【分析】（1）由已知利用正弦定理可得，根据余弦定理可求，结合范围，可求的值．
（2）选择①时，由，，利用两角和的正弦函数公式可求，根据正弦定理，可得，利用三角形的面积公式即可计算得解；选择②时，，根据正弦定理解得，利用两角和的正弦函数公式可求，根据正弦定理可得，利用三角形的面积公式即可计算得解．
【解答】解：（1）因为，
由正弦定理可得，
可得，
因为，
所以．
（2）选择①时，，，
故，
根据正弦定理，可得，
可得．
选择②时，，根据正弦定理，可得，解得，
，
根据正弦定理，可得，
可得．
[B组]—强基必备
1．已知非等腰的内角，，的对边分别是，，，且，若为最大边，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【分析】由，化简得到的值，根据余弦定理和基本不等式求出即可．
【解答】解：由，得，
即，
则，
，
通分得，
故，
故，因为为最大角，所以，
由余弦定理，当且仅当时，取等号，
故，则，
由，得，
所以的取值范围是，，
故选：．
2．在锐角三角形中，若，且满足关系式，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】由，推导出，由，推导出，再由正弦定理可得，，由此能求出的取值范围
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由正弦定理可得，
，，
，
三角形为锐角三角形，
，
，
即
故选：．
3．在中，角，，所对的边分别为、、，，，则，则 ．
【分析】由正弦定理化简已知等式，结合，可得，可得，或，由于若，可得推出矛盾，可得，根据三角形内角和定理可得，可求范围，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据余弦定理可求的值．
【解答】解：，
，
，由正弦定理可得：，
，
，
可得，或，
若，由于，可得，可得（舍去），
，可得，可得：，
，，
，
由，可得，
由余弦定理可得．
故答案为：．