2024年新高考数学一轮复习达标检测第11讲函数与方程（教师版）

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A．B．C．D．
【分析】先判断函数的单调性，再求特殊点对应的函数值即可求解结论．
【解答】解：在区间上是增函数，且（1），（2），
的零点．
故选：．
2．方程的实根个数为
A．0B．1C．2D．3
【分析】法一：构造函数，利用函数的图象的交点，判断方程的根的个数即可．
法二：构造函数，利用函数的导数，判断函数的单调性，然后求解即可．
【解答】解：法一：方程的实根即函数和的图象交点的横坐标，
在同一坐标系中，作出和的图象如图，
由图可知，有1个交点，
也就是方程实根的个数为1．
法二：由法一，可知时，有一个零点，令，，
可得，，可知是减函数，函数是增函数；
的最小值为，所以，，是增函数，，
所以函数，，没有零点．即方程在时没有实数根．
所以零点个数为1．
故选：．
3．已知关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
【分析】设，，则方程化为函数，在上有两个不相等的实数根．利用根与系数的关系，列出不等式组求解即可．
【解答】解：设，，则方程化为函数，
在上有两个不相等的实数根．令，因为，
所以，可得，解得
可得．
故选：．
4．已知函数，则若在区间，上方程只有一个解，实数的取值范围为
A．，或B．，或
C．D．，或
【分析】分别求出当时，当时，有一解时的集合，，若在区间，上方程只有一个解，实数的取值范围为在中的补集．
【解答】解：当时，，有一解
即，有一解，
有一解，
令，在，上单调递减，
所以，（1），
所以，
当时，有一解，
即，有一解，
即，有一解，
令，在，上单调递增，
所以，，
所以，
所以若在区间，上方程只有一个解，
所以或，
故选：．
5．已知定义在上的函数满足：且，，则方程在区间，上的所有实根之和为
A．14B．12C．11D．7
【分析】分析两函数的性质，在同一坐标系内画出两函数图象，利用数形结合的方法可求．
【解答】解：，函数为周期为2的周期函数，
函数，其图象关于点对称，如图，函数的图象也关于点对称，
函数与在，上的交点也关于对称，
设，，，，，，分别为，，，，，．
，，由图象知另一交点横坐标为，，
故两图象在，上的交点的横坐标之和为，
即函数在，上的所有根之和为11．
故选：．
6．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【分析】问题转化为有四个根，与有四个交点，再分三种情况当时，当时，当时，讨论两个函数是否能有4个交点，进而得出的取值范围．
【解答】解：若函数恰有4个零点，
则有四个根，
即与有四个交点，
当时，与图象如下：
两图象只有两个交点，不符合题意，
当时，与轴交于两点，
图象如图所示，
两图象有4个交点，符合题意，
当时，
与轴交于两点，
在，内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，
只需与在，还有两个交点，即可，
即在，还有两个根，
即在，还有两个根，
函数，（当且仅当时，取等号），
所以，且，
所以，
综上所述，的取值范围为，，．
故选：．
7．（多选）已知函数，利用零点存在性法则确定各零点所在的范围．下列区间中存在零点的是
A．B．C．D．
【分析】此类选择题可用代入法计算出函数值，利用函数零点判定定理即可求解
【解答】解：经计算，，
，（1），，
根据零点判定定理可得区间，，，上存在零点，
故选：．
8．已知函数的零点在区间，上，则 ．
【分析】利用函数零点的判定定理，结合是整数，转化求解即可得出结论．
【解答】解：（3），（4），
（3）（4）
函数的零点在之间，
函数的零点在区间，上，
，
故答案为：3．
9．已知对于任意实数，函数满足．若方程有2019个实数解，则这2019个实数解之和为 ．
【分析】由已知结合偶函数的对称性可知函数的所有零点也关于轴对称，从而可求．
【解答】解：因为函数满足，
所以为偶函数，图象关于轴对称，
若方程有2019个实数解，函数图象关于轴对称，
则这2019个实数解之和为0．
故答案为：0
10．已知函数若关于的方程恰有5个不同的实根，则的取值范围为 ．
【分析】利用，求出函数的值，结合函数的图象，通过数形结合求解的范围即可．
【解答】解：方程得方程或，
作出函数的图象，如图所示，由图可知，有两个根，故有三个根，
故．
故答案为：．
11．已知函数则函数的不同零点的个数为 ．
【分析】先求得的实根，然后令，整理得：或，再令，求解方程与的实根即可．
【解答】解：由题设条件可知：的实根为或．
令，则有：或，即或．
令，则有或，可解得：，，，，，
函数的不同零点的个数为5．
故答案为：5．
12．若函数恰有两个零点，则的取值范围为 ．
【分析】对于分段函数分别讨论每一段上零点的情况，再找到恰有两个零点时，的取值范围．
【解答】解：当时，若，则，
那么，即，
当时，若，则，
①若，即时，无解，
②若，即时，，不符合，无解，
③若，即时，（舍，，
若时，，不符合，无解，
若时，，符合，有一解，
所以若函数有两个零点，则．
综上所述，的取值范围为，．
故答案为：，．
13．已知是定义在上的奇函数，且满足，当，时，，则函数在区间，上所有零点之和为 ．
【分析】根据条件判断函数的周期是4，求出函数在一个周期上解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：因为为奇函数，则，
故，
则，
即函数是周期为4的周期函数，
是上的奇函数，当，时，，，时，，
，时，，
，时，，
，则，（2）
由得，
当时，，不成立，即，
则，
作出函数和的图象如图：
则两个函数关于点对称，
两个图象有4个交点，两两关于对称，
则函数在区间，上所有零点之和为，
故答案为：8．
14．已知奇函数的定义域为，．
（1）求实数，的值；
（2）若，，方程恰有两解，求的取值范围．
【分析】（1）由奇函数的定义域关于原点对称可得，的关系，再由奇函数中求出的值，进而求出，的值；
（2）由（1）得的解析式即所给的区间范围，要使方程有两解，既是函数有交点，换元可得为二次函数，根据函数的单调性求出最值．进而求出的取值范围．
【解答】解：（1）由函数为奇函数可得：，即定义域关于原点对称，即，可得：，①，
由在定义域内，又是奇函数，所以，
所以可得：，解得，
将代入①可得：，
所以，；
（2）由（1）得：，若，，即，，
在，单调递增，
所以，，
设，；
所以方程：有解，可得，，有解，
令，，，开口向上的抛物线，
对称轴，．
函数先减后增，且离对称轴较远，
所以，最小且为：，
时，最大，且为，
且，
综上所述：方程恰有两解，的取值范围为：，．
15．设，函数．
（1）若函数在，为单调函数，求的取值范围；
（2）根据的不同取值情况，确定函数在定义域内零点的个数．
【分析】（1）函数定义域为，分类讨论，，函数的单调情况即可；
（2），可得或，令．分类讨论，，，根的情况即可得到的零点个数．
【解答】解：显然，
当时，，
，在，为增函数，
在，为增函数．
当时，．
显然在，为增函数．
当时，
此时，为的零点，又是的零点，不单调．
综上，实数的取值范围为，；
（2），
由，可得或，①
①式可化为．
设．
Ⅰ．若，有两个根0，1．
故函数有2个零点；
Ⅱ．若，，
对称轴，
且△．
故有两个不同正根，
即函数有3个零点．
Ⅲ．若，△，
故函数只有1个零点．
[B组]—强基必备
1．已知函数，方程有四个不同的实数根，记最大的根的取值集合为，若函数，有零点，则的取值范围是 ．
【分析】先分析函数性质，进而画出图象，结合图象得方程有四个不同的实数根时，的取值范围，进而得，点坐标，集合，若函数，有零点，与，有交点，结合图象求出的取值范围．
【解答】解：在上单调递减，
在上单调递增，
在上单调递增，
在上单调递减，
（1），，，
画出图象如下：
若方程有四个不同的实数根，
则有四个不同的实数根，
即与有四个交点，
所以，
令，解得或，
，解得或，
得，，，
所以最大的根的取值集合为，
若函数，有零点，
则与，有交点，
，
设切点，，
，，，
解得，
所以，
所以实数的取值范围为，，
故答案为：，．
2．已知函数，若，则函数有 个零点；若函数有3个零点，则实数的取值范围是 ．
【分析】判断函数单调性，根据零点存在性定理判断零点个数；分离参数，讨论方程的根的情况，根据有3个零点和的范围得出函数的范围．
【解答】解：（1）当时，，
显然是的一个零点，
令，则，
故在上单调递增，又，，
在上有1个零点，
故有2个零点．
（2）令可得，
令，则，
当时，，当时，，
当时，取得最大值（1），
又当时，，当时，，
令，则当或时，关于的方程只有1解，
当时，关于的方程有2解，
当时，关于的方程无解．
令且，则在和，上单调递增，
有3个零点，关于的方程在和，上各有1解，
又（1），，
．
故答案为：2，．
3．已知函数的定义域为区间，若对于内任意、，都有成立，则称函数是区间的“函数”．
（1）判断函数是否是“函数”？说明理由；
（2）已知，求证：函数是“函数”；
（3）设函数是，上的“函数”，（a），（b），且存在，使得（c），试探讨函数在区间，上零点个数，并用图象作出简要的说明（结果不需要证明）．
【分析】（1）由题意直接判断即可；
（2）由题意直接判断即可；
（3）举例即可得出结论．
【解答】解：（1）是，理由如下：
任取，，且，
则成立，
故函数是“函数”．
（2）证明：事实上，任取，，且，
则成立，即得证；
（3）函数在，上的零点个数可以为0、1或2个．
例如，是函数，如图，
其零点个数为0；
是函数，如图，
其零点个数为1；
是函数，如图，
其零点个数为2；
函数不可能有3个零点，假设，，均是零点，且，