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中职数学北师大版（2021）基础模块 下册6.3.3 直线的一般式方程教学设计及反思
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这是一份中职数学北师大版（2021）基础模块 下册6.3.3 直线的一般式方程教学设计及反思，共6页。教案主要包含了课前知识储备，学生知识储备检测，情景激趣，播放课件，发布任务，观看课件中的问题，小组讨论，分析理解等内容，欢迎下载使用。
1.将以下方程化成最简形式，并使得方程右边为0.
（1） x+y=5
（2）x+y=2x−y+5
（3）y−3=12(x−3)
2.已知直线过点（−3，−6），倾斜角为60°，求直线的点斜式方程.
3.已知直线在y轴上的截距为4，倾斜角为60°，求直线的斜截式方程.
附录2：学生本节知识目标检测
已知直线过点（−2，3），倾斜角为60°，求直线的一般式方程，并求直线的斜率，纵截距.
已知直线过点A（−2，3），B（0，−3），求直线的一般式方程，并求直线的斜率，纵截距.
授课题目
6.3.3直线的一般式方程
授课类型
新授课
建议学时
1学时
单元知识概览
内容分析
直线与圆的方程是解析几何的基本应用，通过建立坐标系，利用点的坐标间的各种代数关系来研究几何图形的性质是解析几何中的核心内容。本节内容是直线方程中的一般式方程，是直线方程的最后呈现形式。本节内容的学习能帮助学生进一步认识直线方程可以用二元一次方程来表示，感受代数与几何的关联，提升数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养。
教学目标
知识目标
1.能正确认识直线的一般式方程；
2.能将直线的点斜式方程化为一般式方程；
3.能进行直线的斜截式方程与一般式方程的互化；
4.能根据直线的一般式方程求出直线的斜率和截距.
能力目标
1.通过直线的点斜式方程化为一般式方程，直线的斜截式方程与一般式方程之间的互化，体会数学的奇妙；
2.根据已知条件选择最优方法求直线方程，培养学生观察、分析、思考、比较等能力.
素质目标
1.培养学生用联系转化的观点看待问题；
2.在学习的过程中初步体会、理解解析几何的概念，提升数学运算、逻辑推理等核心素养.
教学重难点
重点
正确认识直线的一般式方程
难点
能根据给定的条件灵活选择三种基本形式表示直线
教学方法
教法
任务驱动法、情境教学法
学法
合作学习法、讨论学习法
教学资源
分类描述使用教学软件和数字化资源
1.使用云班课软件做知识的检测；
2.利用网络资源收集生活科技专业等等方面的实例.
课程思政
在直线方程三种形式的互化过程中，理解转化的思想，认识事物间的联系，培养学生用联结的思想看问题，养成正确的人生观，价值观，世界观。
教学过程
第1学时
课前准备
【课前知识储备】
1.方程的化简运算.
2.直线的点斜式方程和斜截式方程的理解.
【学生知识储备检测】
见附录1
课中教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图、媒体资源等
（一）
情景导入
【情景激趣】
我们已经学过了直线的点斜式方程，斜截式方程以及和不存在时的直线方程.这些方程能否统一形式？
观察下列直线的方程:
y−5=−3(x−1), y=x−3,
y=4, x=−2
它们能否统一成二元一次方程的形式呢？
【播放课件】
【发布任务】
1.全班分小组，明确小组任务.
【观看课件中的问题】
【小组讨论】
1.分组讨论，由组长记录.
2.每个小组长归纳总结并展示.
设置疑问启发学生思考，为导入课题做铺垫.
（二）
合作探究
【分析理解】
可以发现, 无论直线的方程是什么形式的, 经过整理后都可以化为二
元一次方程Ax+By+C=0的形式.例如: y−5=−3(x−1)可化为3x+ y−8=0的形式.
1.教师和学生共同分析解答.
对照刚才讨论的结果，反思不足之处.
培养学生解决问题的能力.
（三）
抽象概括
【直线方程的一般式】
可以发现，直线方程无论什么形式，经过整理后都可以化为二元一次方程的形式.
我们把方程
(不同时为0)
叫做直线的一般式方程.在平面直角坐标系内任何关于 的二元一次方程的图像都是一条直线.
温馨提示：本教材中，若无特殊说明，求解直线方程时都要求化为一般式方程.
【直线方程的一般式探究】
直线的一般式方程(不同时为0)，随着系数的取值变化而表示不同的直线.
1.当时，直线具有什么特点？
2.当时，直线具有什么特点？
3.当时，直线的斜率与纵截距分别是什么？
事实上，当时，直线方程为，该直线与轴平行或重合；
当时，直线方程为，该直线与轴垂直；
当时，该直线可转化为，直线的斜率为，纵截距为.
1.让学生读一遍一般式方程.
2.讲解.
3.符号书写示范,系数用大写字母表示.
4.举一般式的例子，让学生找出A,B,C分别是哪个.还可以写几个反例让学生判断.
5.引导学生思考A,B,C三个系数的意义，是否可以表示与直线相关的量，如斜率，截距等.
6.带领学生共同探究三个系数对方程的影响.并进行归纳总结.
7.介绍求纵截距的另一种方法，即令x=0,由此推广求横截距的方法，可以令y=0.
1.引导学生积极发言.
2.朗读一遍一般式方程，思考方程的形式.
3.列举出几个直线一般式方程的例子.
4.思考A,B,C三个的意义.
5.积极发言，和老师一起完成探究.
6.做好笔记
1.培养学生的数学抽象核心素养.
2.引导学生养成良好的学习习惯.
3.通过师生举例（反例）进一步认识一般式方程的表达式.
4.探究活动的设计可以培养学生总结归纳的能力.
（四）
示范讲解
例1 将直线的方程化为一般式方程,并分别求出直线的横截距和纵截距.
解 直线的一般式方程为.
令，则，故直线的横截距为；
令，则，故直线的纵截距为.
例2 已知直线的一般式方程,求直线的斜率和纵截距
(1)
(2)
解 (1) 将方程化为斜截式可得：
因此,直线的斜率为，纵截距为.
(2) 将方程化为斜截式可得：
因此,直线的斜率为，纵截距为.
例3已知直线与直线的倾斜角互补，且直线在轴上的截距为2，求直线的方程.
分析 由直线的方程可求斜率，然后求出其倾斜角，根据互补可求得直线的倾斜角，从而可求直线的斜率.又直线在轴上的截距为2可以理解为直线经过点.由点斜式可求直线的方程，最后化为一般式即可.
解 直线的斜率，其倾斜角为.
由题意，直线的倾斜角为，且经过点.
由斜率公式可知：.
由直线的点斜式方程可得：.
化为一般式：.
故所求直线的方程为.
【发布任务】
1.例题由学生独立思考后，再小组讨论.
2.请学生回答，教师根据学情,多鼓励表扬.
【完成任务】
1.独立思考，小组讨论.
2.认真作答，积极回答.
1.学以致用,通过例题进一步领会直线的一般式.
例1是将点斜式方程化为一般式方程。例1的第2问和例2都是通过一般式方程求斜率和截距，进一步认识一般式方程.
例3是根据已知条件求直线方程，结合了一般式求斜率、倾斜角，点斜式求直线方程的内容，学会对直线方程的知识点融汇贯 通.
4.树立学生的学习自信.
（五）
课堂练习
1.【对照练习】
P22【随堂练习】1，2题.
2.【课堂检测】
设置一定数量题目检测本堂课知识目标是否达成.见附录2
【发布任务】
1.让学生独立或合作完成随堂练习后点评.
2.学生独立完成【课堂检测】
【完成任务】
1.独立或合作完成【随堂练习】
2.独立完成【课堂检测】
巩固对直线的一般式方程及直线方程的理解，提升学生数学抽象核心素养。
（六）
课堂小结
1.直线的一般式方程.
2.点斜式方程化为一般式方程；斜截式方程与一般式方程的互化.
3.一般式方程求斜率与截距.
【发布任务】
让学生自主归纳总结，多鼓励表扬参与者.
【归纳总结】
学生积极参与课堂小结归纳，其它同学可作补充.
提升学生的归纳概括能力，巩固知识点
布置作业
教材P9水平二 1，2
学习指导与能力训练P16 必做水平一1-6, 选做水平二1-3
分层练习，满足不同层次学生需求
板书设计
6.3.3直线的一般式方程
直线的一般式方程 二、例题示范 三、课堂练习
例
简明扼要，突出重点.
课后拓展延伸
直线方程的综合题型.
反 思 诊 改
教学反思
1.将以下方程化成最简形式，并使得方程右边为0.
（1） x+y=5
（2）x+y=2x−y+5
（3）y−3=12(x−3)
2.已知直线过点（−3，−6），倾斜角为60°，求直线的点斜式方程.
3.已知直线在y轴上的截距为4，倾斜角为60°，求直线的斜截式方程.
附录2：学生本节知识目标检测
已知直线过点（−2，3），倾斜角为60°，求直线的一般式方程，并求直线的斜率，纵截距.
已知直线过点A（−2，3），B（0，−3），求直线的一般式方程，并求直线的斜率，纵截距.
授课题目
6.3.3直线的一般式方程
授课类型
新授课
建议学时
1学时
单元知识概览
内容分析
直线与圆的方程是解析几何的基本应用，通过建立坐标系，利用点的坐标间的各种代数关系来研究几何图形的性质是解析几何中的核心内容。本节内容是直线方程中的一般式方程，是直线方程的最后呈现形式。本节内容的学习能帮助学生进一步认识直线方程可以用二元一次方程来表示，感受代数与几何的关联，提升数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养。
教学目标
知识目标
1.能正确认识直线的一般式方程；
2.能将直线的点斜式方程化为一般式方程；
3.能进行直线的斜截式方程与一般式方程的互化；
4.能根据直线的一般式方程求出直线的斜率和截距.
能力目标
1.通过直线的点斜式方程化为一般式方程，直线的斜截式方程与一般式方程之间的互化，体会数学的奇妙；
2.根据已知条件选择最优方法求直线方程，培养学生观察、分析、思考、比较等能力.
素质目标
1.培养学生用联系转化的观点看待问题；
2.在学习的过程中初步体会、理解解析几何的概念，提升数学运算、逻辑推理等核心素养.
教学重难点
重点
正确认识直线的一般式方程
难点
能根据给定的条件灵活选择三种基本形式表示直线
教学方法
教法
任务驱动法、情境教学法
学法
合作学习法、讨论学习法
教学资源
分类描述使用教学软件和数字化资源
1.使用云班课软件做知识的检测；
2.利用网络资源收集生活科技专业等等方面的实例.
课程思政
在直线方程三种形式的互化过程中，理解转化的思想，认识事物间的联系，培养学生用联结的思想看问题，养成正确的人生观，价值观，世界观。
教学过程
第1学时
课前准备
【课前知识储备】
1.方程的化简运算.
2.直线的点斜式方程和斜截式方程的理解.
【学生知识储备检测】
见附录1
课中教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图、媒体资源等
（一）
情景导入
【情景激趣】
我们已经学过了直线的点斜式方程，斜截式方程以及和不存在时的直线方程.这些方程能否统一形式？
观察下列直线的方程:
y−5=−3(x−1), y=x−3,
y=4, x=−2
它们能否统一成二元一次方程的形式呢？
【播放课件】
【发布任务】
1.全班分小组，明确小组任务.
【观看课件中的问题】
【小组讨论】
1.分组讨论，由组长记录.
2.每个小组长归纳总结并展示.
设置疑问启发学生思考，为导入课题做铺垫.
（二）
合作探究
【分析理解】
可以发现, 无论直线的方程是什么形式的, 经过整理后都可以化为二
元一次方程Ax+By+C=0的形式.例如: y−5=−3(x−1)可化为3x+ y−8=0的形式.
1.教师和学生共同分析解答.
对照刚才讨论的结果，反思不足之处.
培养学生解决问题的能力.
（三）
抽象概括
【直线方程的一般式】
可以发现，直线方程无论什么形式，经过整理后都可以化为二元一次方程的形式.
我们把方程
(不同时为0)
叫做直线的一般式方程.在平面直角坐标系内任何关于 的二元一次方程的图像都是一条直线.
温馨提示：本教材中，若无特殊说明，求解直线方程时都要求化为一般式方程.
【直线方程的一般式探究】
直线的一般式方程(不同时为0)，随着系数的取值变化而表示不同的直线.
1.当时，直线具有什么特点？
2.当时，直线具有什么特点？
3.当时，直线的斜率与纵截距分别是什么？
事实上，当时，直线方程为，该直线与轴平行或重合；
当时，直线方程为，该直线与轴垂直；
当时，该直线可转化为，直线的斜率为，纵截距为.
1.让学生读一遍一般式方程.
2.讲解.
3.符号书写示范,系数用大写字母表示.
4.举一般式的例子，让学生找出A,B,C分别是哪个.还可以写几个反例让学生判断.
5.引导学生思考A,B,C三个系数的意义，是否可以表示与直线相关的量，如斜率，截距等.
6.带领学生共同探究三个系数对方程的影响.并进行归纳总结.
7.介绍求纵截距的另一种方法，即令x=0,由此推广求横截距的方法，可以令y=0.
1.引导学生积极发言.
2.朗读一遍一般式方程，思考方程的形式.
3.列举出几个直线一般式方程的例子.
4.思考A,B,C三个的意义.
5.积极发言，和老师一起完成探究.
6.做好笔记
1.培养学生的数学抽象核心素养.
2.引导学生养成良好的学习习惯.
3.通过师生举例（反例）进一步认识一般式方程的表达式.
4.探究活动的设计可以培养学生总结归纳的能力.
（四）
示范讲解
例1 将直线的方程化为一般式方程,并分别求出直线的横截距和纵截距.
解 直线的一般式方程为.
令，则，故直线的横截距为；
令，则，故直线的纵截距为.
例2 已知直线的一般式方程,求直线的斜率和纵截距
(1)
(2)
解 (1) 将方程化为斜截式可得：
因此,直线的斜率为，纵截距为.
(2) 将方程化为斜截式可得：
因此,直线的斜率为，纵截距为.
例3已知直线与直线的倾斜角互补，且直线在轴上的截距为2，求直线的方程.
分析 由直线的方程可求斜率，然后求出其倾斜角，根据互补可求得直线的倾斜角，从而可求直线的斜率.又直线在轴上的截距为2可以理解为直线经过点.由点斜式可求直线的方程，最后化为一般式即可.
解 直线的斜率，其倾斜角为.
由题意，直线的倾斜角为，且经过点.
由斜率公式可知：.
由直线的点斜式方程可得：.
化为一般式：.
故所求直线的方程为.
【发布任务】
1.例题由学生独立思考后，再小组讨论.
2.请学生回答，教师根据学情,多鼓励表扬.
【完成任务】
1.独立思考，小组讨论.
2.认真作答，积极回答.
1.学以致用,通过例题进一步领会直线的一般式.
例1是将点斜式方程化为一般式方程。例1的第2问和例2都是通过一般式方程求斜率和截距，进一步认识一般式方程.
例3是根据已知条件求直线方程，结合了一般式求斜率、倾斜角，点斜式求直线方程的内容，学会对直线方程的知识点融汇贯 通.
4.树立学生的学习自信.
（五）
课堂练习
1.【对照练习】
P22【随堂练习】1，2题.
2.【课堂检测】
设置一定数量题目检测本堂课知识目标是否达成.见附录2
【发布任务】
1.让学生独立或合作完成随堂练习后点评.
2.学生独立完成【课堂检测】
【完成任务】
1.独立或合作完成【随堂练习】
2.独立完成【课堂检测】
巩固对直线的一般式方程及直线方程的理解，提升学生数学抽象核心素养。
（六）
课堂小结
1.直线的一般式方程.
2.点斜式方程化为一般式方程；斜截式方程与一般式方程的互化.
3.一般式方程求斜率与截距.
【发布任务】
让学生自主归纳总结，多鼓励表扬参与者.
【归纳总结】
学生积极参与课堂小结归纳，其它同学可作补充.
提升学生的归纳概括能力，巩固知识点
布置作业
教材P9水平二 1，2
学习指导与能力训练P16 必做水平一1-6, 选做水平二1-3
分层练习，满足不同层次学生需求
板书设计
6.3.3直线的一般式方程
直线的一般式方程 二、例题示范 三、课堂练习
例
简明扼要，突出重点.
课后拓展延伸
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反 思 诊 改
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