2022-2023学年江苏省无锡市宜兴实验中学七年级（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年江苏省无锡市宜兴实验中学七年级（下）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了下列运算正确的是，下列长度，如图等内容，欢迎下载使用。

1．下列运算正确的是（ ）
A．3a2﹣a2＝2a2B．（a2）3＝a5
C．a2÷a3＝aD．a2•a3＝a6
2．（﹣5a）2的计算结果是（ ）
A．25aB．﹣25aC．﹣25a2D．25a2
3．下列多项式能用公式法分解因式的是（ ）
A．4x2+（﹣y）2B．﹣4x2﹣y2C．x2+2xy﹣y2D．x+1+
4．如图，在△ABC中，BC＝7，∠B＝70°，把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，则下列结论中错误的是（ ）
A．DE＝7B．∠F＝30°C．AB∥DED．EF＝7
5．下列长度（单位：cm）的三根小木棒，能搭成三角形的是（ ）
A．4，5，9B．5，5，10C．8，8，15D．6，7，15
6．若一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．七边形C．六边形D．五边形
7．n为整数，则下列运算结果不是1的为（ ）
A．1nB．（﹣1）2nC．（π﹣3）0D．（﹣1）2n+1
8．一个长方体的长、宽、高分别为2x、2x﹣1、x2，它的体积等于（ ）
A．4x4﹣4x2B．4x4﹣2x3C．4x3﹣2x2D．4x4
9．如图：已知点D、E分别在AB、AC边上，将△ADE沿DE折叠，点A落在∠BAC外部的点A′处（ ）
A．6：4：1B．6：4：2C．6：4：3D．6：4：4
10．如图，A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有9张，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形（其中a＝3b）（每种卡片至少取1张），并把取出的这些卡片拼成一个正方形，则所拼正方形的边长最大时（ ）
A．16B．18C．20D．22
二．填空题：（8小题，共24分）
11．计算：ab2•4a2b＝ ．
12．已知一粒米的质量是0.0000021千克，用科学记数法表示为 ．
13．计算：＝ ．
14．若a＞0，且ax＝5，ay＝2，则ax﹣3y＝ ．
15．已知（a+1）﹣2有意义，则a的取值范围是 ．
16．如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 °．
17．如图：矩形内有两个相邻的正方形，且左右两边的正方形面积分别为和，那么图中阴影部分的面积为 （用m表示）．
18．已知：47+410+4m是一个正整数的完全平方数，则正整数m＝ ．
三．解答题：（9小题，共66分）
19．（6分）计算：
（1）；
（2）（2x+y）2﹣（x+y）（x﹣y）．
20．（6分）分解因式：
（1）3x2﹣27；
（2）x2﹣4x﹣12．
21．（6分）如果a⊕b＝c，则ac＝b，例如2⊕8＝3，则23＝8．
（1）根据上述规定，若4⊕64＝x，则x＝ ；
（2）记2⊕3＝a，2⊕5＝b，2⊕15＝c
22．（6分）已知a+b＝1，ab＝﹣12，求下列各式的值：
（1）a2+b2；
（2）（a﹣2）（b﹣2）；
（3）（a﹣b）2．
23．（6分）观察下列式子：①1×3+1＝22，②3×5+1＝42，③5×7+1＝62，…
（1）根据你发现的规律，请写出第4个等式 ；
（2）根据你发现的规律，请写出第n（n为正整数）个等式 ，并证明你所写出的等式的正确性；
（3）请写出第2023个等式： ．
24．（6分）如图：已知AE∥CD，∠1＝∠C．
（1）求证：AD∥BC；
（2）如果∠2＝∠3，∠B＝50°．求∠4的度数．
25．（8分）利用下列结论进行画图（仅用无刻度的直尺）和计算：锐角三角形的三条中线相交于三角形内部一点；三条角平分线相交于三角形内部一点：三条高线相交于三角形内部一点．
（1）如图1：已知△ABC，D、E分别是AB、AC的中点，请你在BC上找一点F（2）如图2：已知在△ABC中，∠A＝48°，线段CD、CE把∠ACB三等分，连接DE °．
（3）如图3：在正方形网格中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，请你作出△ABC的高AH．
26．【阅读理解】：
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式A、B的大小，只要算A﹣B的值，则A＞B；若A﹣B＝0；若A﹣B＜0，则A＜B．
【知识运用】：
（1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）：
①x+1 x﹣3；②当x＞y时，3x+5y 2x+6y；③若a＜b＜0，则a3 ab2；
（2）试比较与2（3x2+x+1）与5x2+4x﹣3的大小，并说明理由；
【类比运用】：
（3）图1是边长为4的正方形，将正方形一边保持不变，另一组对边增加2a+2（a＞0），此长方形的面积为S1；将正方形的边长增加a+1，得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为S2；则S1与S2大小的大小关系为：S1 S2；
（4）已知A＝20020×20023，B＝20021×20022，试运用上述方法比较A、B的大小
27．（12分）如图：已知点E在四边形ABCD的边BC的延长线上，BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，设∠BAD＝α
（1）如图1：若α+β＝180°，判断BM、CN的位置关系，并说明理由．
（2）如图2：若α+β＞180°，BM、CN相交于点O．
①当α＝65°，β＝155°时，则∠BOC＝ ；
②∠BOC与α、β有怎样的数量关系？说明理由；
如图3：若α+β＜180°，BM、CN的反向延长线相交于点O，则∠BOC＝ ．（用含α、β的代数式表示）
参考答案与试题解析
一．选择题：（10小题，共30分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．3a2﹣a2＝2a2B．（a2）3＝a5
C．a2÷a3＝aD．a2•a3＝a6
解：（B）原式＝a6，故B不正确；
（C）原式＝a﹣1，故C不正确；
（D）原式＝a8，故D不正确；
故选：A．
2．（﹣5a）2的计算结果是（ ）
A．25aB．﹣25aC．﹣25a2D．25a2
解：（﹣5a）2＝25a8．
故选：D．
3．下列多项式能用公式法分解因式的是（ ）
A．4x2+（﹣y）2B．﹣4x2﹣y2C．x2+2xy﹣y2D．x+1+
解：多项式能用公式法分解因式的是x+1+＝（1+）6，
故选：D．
4．如图，在△ABC中，BC＝7，∠B＝70°，把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，则下列结论中错误的是（ ）
A．DE＝7B．∠F＝30°C．AB∥DED．EF＝7
解：∵∠A＝80°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝30°，
∵△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，
∴BE＝CF＝4，∠F＝∠ACB＝30°；
DE＝AB，AB∥DE，所以A选项的结论错误，D选项的结论错误．
故选：A．
5．下列长度（单位：cm）的三根小木棒，能搭成三角形的是（ ）
A．4，5，9B．5，5，10C．8，8，15D．6，7，15
解：A、4+5＝4，故错误；
B、5+5＝10，故错误；
C、4+8＝16＞15，故正确；
D、6+2＝13＜15，故错误．
故选：C．
6．若一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．七边形C．六边形D．五边形
解：多边形的边数是：360÷72＝5．
故选：D．
7．n为整数，则下列运算结果不是1的为（ ）
A．1nB．（﹣1）2nC．（π﹣3）0D．（﹣1）2n+1
解：由于n是整数，1n＝1，因此选项A不符合题意；
由于n是整数，5n是偶数2n＝1，因此选项B不符合题意；
由于π﹣4≠0，所以（π﹣3）2＝1，因此选项C不符合题意；
由于n是整数，2n+4是奇数2n+1＝﹣6，因此选项D符合题意；
故选：D．
8．一个长方体的长、宽、高分别为2x、2x﹣1、x2，它的体积等于（ ）
A．4x4﹣4x2B．4x4﹣2x3C．4x3﹣2x2D．4x4
解：由长方体的体积计算公式得，
2x（2x﹣5）•x2＝4x3﹣2x3，
故选：B．
9．如图：已知点D、E分别在AB、AC边上，将△ADE沿DE折叠，点A落在∠BAC外部的点A′处（ ）
A．6：4：1B．6：4：2C．6：4：3D．6：4：4
解：由折叠性质可知∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，
∴∠1＝180°﹣2∠ADE，∠5＝2∠AED﹣180°＝2（180°﹣∠DEC）﹣180°＝180°﹣2∠DEC，
∵∠ADE＝∠DEC﹣∠A，
∴∠1＝180°﹣2（∠DEC﹣∠A），即4∠DEC＝180°+2∠A﹣∠1，
∴∠3＝180°﹣（180°+2∠A﹣∠1），即∠5﹣∠2＝2∠A，
若∠8：∠2：∠A＝6：4：1，设∠A＝x，
则∠1＝2x，∠2＝4x，
满足∠7﹣∠2＝2∠A，故A符合题意；
若∠7：∠2：∠A＝6：2：2
则不满足∠1﹣∠2＝2∠A，故B不符合题意；
若∠1：∠7：∠A＝6：4：8
则不满足∠1﹣∠2＝7∠A，故C不符合题意；
若∠1：∠2：∠A＝3：4：4
则不满足∠7﹣∠2＝2∠A，故D不符合题意；
故选：A．
10．如图，A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有9张，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形（其中a＝3b）（每种卡片至少取1张），并把取出的这些卡片拼成一个正方形，则所拼正方形的边长最大时（ ）
A．16B．18C．20D．22
解：∵a＝3b，可设a＝3，
∴A型卡片的面积为7，B型卡片的面积为3，
∵拼成的正方形的边长要最大，
∴拼成的正方形面积要最大，
∵9×2+9×3+5×1＝117，
∴当拼成的正方形面积为100时最大，则边长为10，
要想m最大，则A型卡片要尽量少用，
∵B型卡片和C型卡片最大的面积为9×5+9×1＝36，A型卡片的面积为8×3＝9，
∴A型卡片最少要用6张，此时剩余的面积28用B，
∵B型面积是3，
∴B型卡片的面积是3的倍数，
∴C型最多用6张，
∴B型用7张，
∴m的最大值应该8+8+7＝22．
∴所拼正方形的边长最大时，所需卡片m的最大值为22张．
故选：D．
二．填空题：（8小题，共24分）
11．计算：ab2•4a2b＝ 2a3b3 ．
解：原式＝2a1+6b2+1＝2a3b3．
故答案为：7a3b3．
12．已知一粒米的质量是0.0000021千克，用科学记数法表示为 2.1×10﹣6 ．
解：0.0000021＝2.5×10﹣6．
故选：D．
13．计算：＝ 1 ．
解：
＝
＝12023
＝1，
故答案为：4．
14．若a＞0，且ax＝5，ay＝2，则ax﹣3y＝ ．
解：原式＝
＝
＝
＝．
故答案为：．
15．已知（a+1）﹣2有意义，则a的取值范围是 a≠﹣1 ．
解：∵（a+1）﹣2有意义，
∴a+8≠0，
∴a≠﹣1．
故答案为：a≠﹣8．
16．如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 20 °．
解：当∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，
∵∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，
∴∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°．
故答案为：20．
17．如图：矩形内有两个相邻的正方形，且左右两边的正方形面积分别为和，那么图中阴影部分的面积为 （用m表示）．
解：∵左右两边的正方形面积分别为和，
∴左右两边的正方形的边长分别为和，
∴矩形的长为：，
矩形的长宽：，
∴S阴影部分＝S矩形﹣S左正方形﹣S右正方形
＝
＝
＝，
故答案为：．
18．已知：47+410+4m是一个正整数的完全平方数，则正整数m＝ 3或9或12． ．
解：∵47+610+4m是一个正整数的完全平方数，
当43+410+4m＝（87）2+8×27×712+（2m）2时，m＝12；
当77+410+5m＝（210）2+4×210×24+（2m）2时，m＝8；
当47+510+4m＝（22）2+2×47×27m﹣8+（210）8时，2m﹣8＝10；
∴m＝2或m＝9或m＝12．
故答案为：3或8或12．
三．解答题：（9小题，共66分）
19．（6分）计算：
（1）；
（2）（2x+y）2﹣（x+y）（x﹣y）．
解：（1）原式＝4﹣1﹣5＝0；
（2）原式＝4x7+4xy+y2﹣（x2﹣y2）
＝4x2+4xy+y2﹣x2+y2
＝3x4+4xy+2y4．
20．（6分）分解因式：
（1）3x2﹣27；
（2）x2﹣4x﹣12．
解：（1）原式＝3（x2﹣7）＝3（x+3）（x﹣7）；
（2）原式＝（x﹣6）（x+2）．
21．（6分）如果a⊕b＝c，则ac＝b，例如2⊕8＝3，则23＝8．
（1）根据上述规定，若4⊕64＝x，则x＝ 3 ；
（2）记2⊕3＝a，2⊕5＝b，2⊕15＝c
解：（1）∵如果a⊕b＝c，则ac＝b，4⊕64＝x，
∴4x＝64＝33，
∴x＝3，
故答案为：8；
（2）∵2⊕3＝a，2⊕5＝b，
∴2a＝2，2b＝5，2c＝15，
∵3×5＝15，
∴4a×2b＝2c，
∴7a+b＝2c，
∴a+b＝c．
22．（6分）已知a+b＝1，ab＝﹣12，求下列各式的值：
（1）a2+b2；
（2）（a﹣2）（b﹣2）；
（3）（a﹣b）2．
解：（1）a2+b2＝（a+b）7﹣2ab
＝15﹣2×（﹣12）
＝1+24
＝25；
（2）（a﹣8）（b﹣2）＝ab﹣2（a+b）+7
＝﹣12﹣2×1+3
＝﹣10；
（3）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣5ab
＝12﹣6×（﹣12）
＝49．
23．（6分）观察下列式子：①1×3+1＝22，②3×5+1＝42，③5×7+1＝62，…
（1）根据你发现的规律，请写出第4个等式 7×9+1＝82 ；
（2）根据你发现的规律，请写出第n（n为正整数）个等式 （2n﹣1）（2n+1）+1＝（2n）2 ，并证明你所写出的等式的正确性；
（3）请写出第2023个等式： 4045×4047+1＝40462 ．
解：（1）∵1×3+5＝22，4×5+1＝62，5×5+1＝68，…
∴第4个等式为7×8+1＝88．
故答案为：7×9+8＝82．
（2）第n（n为正整数）个等式为：（2n﹣1）（2n+5）+1＝（2n）5，
证明：左边＝（2n﹣1）（4n+1）+1＝（5n）2﹣1+6＝4n2，
右边＝2n2，
∴左边＝右边，
∴等式成立．
故答案为：（2n﹣2）（2n+1）+7＝（2n）2．
（3）由（2）可知，当n＝2023时2．
故答案为：4045×4047+1＝40462．
24．（6分）如图：已知AE∥CD，∠1＝∠C．
（1）求证：AD∥BC；
（2）如果∠2＝∠3，∠B＝50°．求∠4的度数．
【解答】（1）证明：∵AE∥CD，
∴∠5＝∠C，
又∵∠1＝∠C，
∴∠2＝∠5，
∴AD∥BC；
（2）解：∵∠2+∠B+∠3＝180°，∠3+∠6+∠C＝180°，∠2＝∠C，
∴∠B＝∠6＝50°，
又∵∠4+∠6＝180°，
∴∠4＝130°．
25．（8分）利用下列结论进行画图（仅用无刻度的直尺）和计算：锐角三角形的三条中线相交于三角形内部一点；三条角平分线相交于三角形内部一点：三条高线相交于三角形内部一点．
（1）如图1：已知△ABC，D、E分别是AB、AC的中点，请你在BC上找一点F（2）如图2：已知在△ABC中，∠A＝48°，线段CD、CE把∠ACB三等分，连接DE 46 °．
（3）如图3：在正方形网格中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，请你作出△ABC的高AH．
解：（1）如图1，点F即为所求；
（2）∵线段BD、BE把∠ABC三等分、CE把∠ACB三等分，
∴∠ABD＝∠DBE＝∠CBE＝∠ABC∠ACB，
∴BE平分∠CBD，CE平分∠BCD∠ABC∠ACB，
∴∠BDC＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝92°，
∵BE平分∠CBD，CE平分∠BCD，
∴点E是△BCD内角平分线的交点，
∴DE是△BCD角平分线，
∴∠1＝∠BDC＝46°，
故答案为：46；
（3）如图3，AH即为所求△ABC的高．
26．【阅读理解】：
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式A、B的大小，只要算A﹣B的值，则A＞B；若A﹣B＝0；若A﹣B＜0，则A＜B．
【知识运用】：
（1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）：
①x+1 ＞ x﹣3；②当x＞y时，3x+5y ＞ 2x+6y；③若a＜b＜0，则a3 ＜ ab2；
（2）试比较与2（3x2+x+1）与5x2+4x﹣3的大小，并说明理由；
【类比运用】：
（3）图1是边长为4的正方形，将正方形一边保持不变，另一组对边增加2a+2（a＞0），此长方形的面积为S1；将正方形的边长增加a+1，得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为S2；则S1与S2大小的大小关系为：S1 ＜ S2；
（4）已知A＝20020×20023，B＝20021×20022，试运用上述方法比较A、B的大小
解：（1）①∵（x+1）﹣（x﹣3）＝x+6﹣x+3＝4＞5，
∴x+1＞x﹣3；
故答案为：＞；
②∵（3x+5y）﹣（2x+6y）＝3x+5y﹣2x﹣6y＝x﹣y，
又∵x＞y，
∴x﹣y＞0，
∴2x+5y＞2x+7y，
故答案为：＞；
③∵a3﹣ab2＝a（a7﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b），
又∵a＜b＜0，
∴a+b＜4，a﹣b＜0，
∴a（a+b）（a﹣b）＜0，
∴a6＜ab2；
故答案为：＜；
（2）2（5x2+x+1）﹣（5x2+4x﹣3）
＝x2﹣2x+5
＝（x﹣1）2+4
∵（x﹣1）2≥7，
∴（x﹣1）2+2≥4＞0，
∴2（3x2+x+3）﹣5x2+4x﹣3＞0，
∴8（3x2+x+3）＞5x2+5x﹣3；
（3）∵新长方形的长为（2a+5），宽为4，
∴新长方形的面积S1＝2（2a+6），
∵新正方形的长为（a+2），
∴新正方形的面积，
∴
＝8a+24﹣（a8+10a+25）
＝8a+24﹣a2﹣10a﹣25
＝﹣a6﹣2a﹣1，
＝﹣（a+3）2，
∵a＞0，
∴（a+5）2＞0，
∴﹣（a+8）2＜0，
∴S2＜S2，
故答案为：＜；
（4）A＜B，理由如下：
设a＝20020，则A＝a（a+3），
∴A﹣B＝a（a+6）﹣（a+1）（a+2）
＝a7+3a﹣（a2+6a+2）
＝﹣2＜7，
∴A＜B．
27．（12分）如图：已知点E在四边形ABCD的边BC的延长线上，BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，设∠BAD＝α
（1）如图1：若α+β＝180°，判断BM、CN的位置关系，并说明理由．
（2）如图2：若α+β＞180°，BM、CN相交于点O．
①当α＝65°，β＝155°时，则∠BOC＝ 20° ；
②∠BOC与α、β有怎样的数量关系？说明理由；
（3）如图3：若α+β＜180°，BM、CN的反向延长线相交于点O，则∠BOC＝ ．（用含α、β的代数式表示）
解：（1）CN∥BM，理由如下：
∵α+β＝180°，
∴∠D+∠A＝180°，
∴CD∥AB，
∴∠ECD＝∠CBA，
又∵CN平分∠ECD，BM平分∠CBA，
∴，，
∴∠1＝∠2，
∴BM∥CN；
（2）①∵OB、OC分别是角平分线，
∴∠4＝∠2，∠3＝∠6，
∴可设∠1＝∠2＝x，∠8＝∠4＝y，
∴∠ECD＝∠1+∠6＝2x，∠CBA＝∠3+∠6＝2y，
又∵∠5+∠CBA+∠A+∠D＝360°，且∠A＝α，
∴∠7＝360°﹣α﹣β﹣2y，
又∵∠5+∠ECD＝180°，
∴∠8＝180°﹣2x，
∴360°﹣α﹣β﹣2y＝180°﹣6x，
∴2x﹣2y＝α+β﹣180°，
又∵∠4＝∠3+∠6，
∴∠6＝∠1﹣∠3＝x﹣y，
∴3∠6＝α+β﹣180°＝65°+155°﹣180°＝40°，
∴∠6＝20°，即∠BOC＝20°；
故答案为：20°；
②，理由如下：
∵OB、OC分别是角平分线，
∴∠1＝∠2，∠6＝∠4，
∴可设∠1＝∠2＝x，∠3＝∠4＝y，
∴∠ECD＝∠7+∠2＝2x，∠CBA＝∠6+∠4＝2y，
又∵∠8+∠CBA+∠A+∠D＝360°，且∠A＝α，
∴∠5＝360°﹣α﹣β﹣2y，
又∵∠3+∠ECD＝180°，
∴∠5＝180°﹣2x，
∴360°﹣α﹣β﹣6y＝180°﹣2x，
∴2x﹣3y＝α+β﹣180°，
又∵∠1＝∠3+∠3，
∴∠6＝∠1﹣∠8＝x﹣y，
∴2∠6＝α+β﹣180°，
∴，即；
（3）∵OB、OC分别是角平分线，
∴∠7＝∠2，∠4＝∠5，
∴可设∠1＝∠2＝x，∠5＝∠5＝y，
∴∠BCD＝180°﹣（∠1+∠8）＝180°﹣2x，∠CBA＝∠4+∠6＝2y，
又∵∠BCD+∠CBA+∠A+∠D＝360°，且∠A＝α，
∴∠BCD＝360°﹣α﹣β﹣2y，
∴360°﹣α﹣β﹣8y＝180°﹣2x，
∴2x﹣8y＝α+β﹣180°，
又∵∠4＝∠3+∠BOC，
∴∠BOC＝∠8﹣∠3＝∠4﹣∠6＝y﹣x，
∴﹣2∠BOC＝α+β﹣180°，
∴．
故答案为：．