专题01 集合和常用逻辑用语（6大题型）（练习）-2024年高考数学二轮复习练习（新教材新高考）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题01 集合和常用逻辑用语
目 录
TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_Tc148989161" 01集合的基本概念 PAGEREF _Tc148989161 \h 1
\l "_Tc148989162" 02集合间的基本关系 PAGEREF _Tc148989162 \h 3
\l "_Tc148989163" 03集合的运算 PAGEREF _Tc148989163 \h 7
\l "_Tc148989164" 04以集合为载体的创新题 PAGEREF _Tc148989164 \h 10
\l "_Tc148989165" 05充分条件与必要条件 PAGEREF _Tc148989165 \h 13
\l "_Tc148989166" 06全称量词与存在量词 PAGEREF _Tc148989166 \h 17
01集合的基本概念
1．（2023·四川成都·高三校考阶段练习）小于2的自然数集用列举法可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题设，小于2的自然数有，
所以，列举法表示集合为.
故选：C
2．（2023·河南南阳·高三校考阶段练习）集合中的元素个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【解析】因为，即，所以的可能取值为，
分别代入可得，所以集合中共有8个元素.
故选：D
3．（2023·广东河源·高三河源市河源中学校考阶段练习）集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，可得，又，
所以集合.
故选：C
4．（2023·上海静安·高三上海市市西中学校考开学考试）已知集合A，，若A不是的子集，则下列命题中正确的是（ ）
A．对任意的，都有B．对任意的，都有
C．存在，满足，且D．存在，满足，且
【答案】C
【解析】对于选项A、B：例如，满足A不是的子集，
但，故A错误；，故B错误；
对于选项C：对任意的，都有，则，
若A不是的子集，则存在，满足，且，故C正确；
对于选项D：例如，满足A不是的子集，
但不存在，满足，且，故D错误；
故选：C.
5．（2023·广东惠州·高三统考阶段练习）集合 ，若且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为且，所以且，解得.
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，且，则实数为（ ）
A．2B．3C．0或3D．
【答案】B
【解析】因为且，
所以或，
①若，此时，不满足互异性；
②若，解得或3，
当时不满足互异性，当时，符合题意.
综上所述，.
故选：B
02集合间的基本关系
7．（2021•上海）已知集合，，，，则下列关系中，正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】已知集合，，，，
解得或，，
，，；
则，，
故选：．
8．（2022•乙卷）设全集，2，3，4，，集合满足，，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因为全集，2，3，4，，，，
所以，4，，
所以，，，．
故选：．
9．（2023·河北石家庄·高三石家庄市第十八中学校考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以，，与之间没有包含关系.
故选：C.
10．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知集合，，则的真子集的个数为（ ）
A．6B．7C．8D．15
【答案】B
【解析】因为，
又，
所以，所以的真子集有个.
故选：B
11．（2023·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】∵已知，又因为，
∴，即，
①当时，满足，此时，解得；
②当时，由，得，解得；
综上所述，.
故选：C.
12．（2023·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）若集合，，则的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为集合，，且，所以，
故选：D.
13．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考阶段练习）已知集合，，若，则（ ）
A．B．或C．D．
【答案】C
【解析】因为合，且，
所以或，
解得或或，
当时，集合不满足元素的互异性，故，
当时，符合题意.
故选：C
14．（2023·山东济宁·高三校考阶段练习）已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】由，又，
故可以为，共4种.
故选：D
15．（2023·全国·高三对口高考）已知集合，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
，
由，为整数，为奇数，故集合M､N的关系为.
故选：C
16．（2023·山西大同·高三校联考阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，有，
若，有，即实数的取值范围为.
故选：C．
03集合的运算
17．（2023·浙江·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【解析】由题意或，，
所以或，
故选：D．
18．（2022•北京）已知全集，集合，则
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解析】因为全集，集合，
所以或，．
故选：．
19．（2021•新高考Ⅰ）设集合，，3，4，，则
A．，3，B．，C．，D．
【答案】
【解析】集合，，3，4，，
，．
故选：．
20．（2021•乙卷）已知集合，，，，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】当是偶数时，设，则，
当是奇数时，设，则，，
则，
则，
故选：．
21．（2021•甲卷）设集合，，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】集合，，则，
故选：．
22．（2021•乙卷）已知全集，2，3，4，，集合，，，，则
A．B．，C．，D．，2，3，
【答案】
【解析】全集，2，3，4，，集合，，，，
，2，3，，
．
故选：．
23．（2023·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由可得又，所以，
故选：A
24．（2023·甘肃定西·高三陇西县第一中学校考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，
故是的真子集，
故，，，，
故A，B，D均错误，C正确.
故选：C.
25．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，
故.
故选：C．
26．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例是（ ）
A．70％B．56％C．40％D．30％
【答案】C
【解析】对物理感兴趣的同学占56％，对历史感兴趣的同学占74％，
这两组的比例数据都包含了既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学的比例，
设既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例为x，
则对物理或历史感兴趣的同学的比例是56％＋74％－x，
所以56％＋74％－x＝90％，
解得％，
故选：C.
27．（2023·全国·高三专题练习）我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】设集合{参加足球队的学生}，
集合{参加排球队的学生}，
集合{参加游泳队的学生}，
则，
设三项都参加的有人，即，，
所以由
即，
解得，
三项都参加的有4人，
故选：C.
04以集合为载体的创新题
28．（2023·全国·高三专题练习）非空集合关于运算满足：（1）对任意的，，都有；（2）存在，都有，则称关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算：
①{非负整数}，为整数的加法；②{偶数}，为整数的乘法；
③{平面向量}，为平面向量的加法；④{二次三项式}，为多项式的加法．
其中关于运算为“融洽集”的是 ．（写出所有“融洽集”的序号）
【答案】①③
【解析】对于①，{非负整数}，为整数的加法；
当，都为非负整数时，，通过加法运算还是非负整数，满足条件（1），
且存在一整数有，满足条件（2），
所以①为“融洽集”；
对于② ，{偶数}，为整数的乘法，
由于任意两个偶数的积仍是偶数，故满足条件（1），
但不存在偶数,使得一个偶数与的积仍是此偶数，故不满足条件（2），
故不满足“融洽集”的定义；
对于③，{平面向量}，为平面向量的加法，
若，为平面向量，两平面向量相加仍然为平面向量，满足条件（1），
且存在零向量通过向量加法，满足条件（2），
所以③为“融洽集”；
对于④，{二次三项式}，为多项式的加法，
由于两个二次三项式的和不一定是二次三项式，如与的和为 ，不满足条件（1），
故不满足“融洽集”的定义；
故答案为：①③
29．（2023·全国·高三对口高考）设P和Q是两个集合，定义集合，如果，，那么等于 ．
【答案】
【解析】不等式解得，则，
由，解得，则，
所以.
故答案为：
30．（2023·全国·高三对口高考）已知集合，定义，则集合的所有非空子集的个数为 ．
【答案】31
【解析】集合，，定义，
则，元素个数为5，
故集合的所有非空子集的个数为
故答案为：31
31．（2023·上海徐汇·统考三模）对任意数集，满足表达式为且值域为的函数个数为.记所有可能的的值组成集合，则集合中元素之和为 .
【答案】643
【解析】，当或时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极大值0，当时，该函数取得极小值，图象如图：
观察图象知，当与图像有一个公共点时，相应的有1种取法；
当与图像有两个公共点时，相应的有种取法；
当与图像有三个公共点时，相应的有种取法，
直线与函数图象的交点个数可能的取值如下：
，
对应的函数个数为，
.
所以集合中元素之和为643.
故答案为：643
32．（2023·全国·高三专题练习）如图所示A，B是非空集合，定义集合A@B为阴影部分所示的集合．若x，y∈，A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A@B＝ ．

【答案】
【解析】由题得，所以.
由题得A@B＝.
故答案为：
33．（2023·全国·高三专题练习）若集合至少含有两个元素（实数），且中任意两个元素之差的绝对值都大于2，则称为“成功集合”，已知集合，则的子集中共有 个“成功集合”．
【答案】49
【解析】设集合的子集中有个成功集合，则，．对于时，可将满足要求的子集分为两类：一类是含有的子集，去掉后剩下小于的单元素子集或满足要求的子集，前者有个，后者有个；
另一类是不含的子集，即满足要求的子集，有个．
于是，．从而根据递推关系得：，，，，，．
故答案为：
05充分条件与必要条件
34．（2023·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知，命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】为真命题，则，故，
由于，所以是的必要不充分条件，
故选：B
35．（2022•浙江）设，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】，
①当时，则，充分性成立，
②当时，则，必要性不成立，
是的充分不必要条件，
故选：．
36．（2022•天津）“为整数”是“为整数”的 条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】
【解析】为整数时，也是整数，充分性成立；
为整数时，不一定是整数，如时，所以必要性不成立，是充分不必要条件．
故选：．
37．（2022•北京）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】因为数列是公差不为0的无穷等差数列，当为递增数列时，公差，
令，解得，表示取整函数，
所以存在正整数，当时，，充分性成立；
当时，，，则，必要性成立；
是充分必要条件．
故选：．
38．（2021•甲卷）等比数列的公比为，前项和为．设甲：，乙：是递增数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】
【解析】若，，则，则是递减数列，不满足充分性；
，
则，
，
若是递增数列，
，
则，，
满足必要性，
故甲是乙的必要条件但不是充分条件，
故选：．
39．（2021•全国）设，是两个平面，直线与垂直的一个充分条件是
A．且B．且C．且D．且
【答案】
【解析】，当且时，则或或，错误，
，当且时，则或，错误，
，当且时，则或或或与相交不垂直，错误，
，当且时，则，正确，
故选：．
40．（2023·天津北辰·高三校考阶段练习）已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为“”“”，“”“”，
所以，是的充分不必要条件.
故选：A.
41．（2023·河北石家庄·高三石家庄市第十八中学校考阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，
得，即或3，（经检验均为原分式方程的解），
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
42．（2023·山东泰安·高三泰安一中校考阶段练习）“”的一个必要不充分条件为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】显然A项是充要条件，不符合题意；
由“”可推出“”，即B项是充分条件，不符合题意；
“”不能推出“”，反之“”也推不出“”，即C项为既不充分也不必要条件，不符合题意；
易知真包含于，所以“”的一个必要不充分条件为“”，
故选：D．
43．（2023·河北承德·高三承德市双滦区实验中学校考阶段练习）设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，又是的必要不充分条件，
所以，解得，经检验满足题意.
故选：D.
44．（2023·四川广安·高三四川省广安友谊中学校考阶段练习）已知条件p：；条件q：，若q是p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由q：，得，
由p：，得或，
因为q是p的充分不必要条件，
所以或，
解得.
故选：B
06全称量词与存在量词 TOC \ "1-1" \p " " \h \z \u
33．（2023·河北石家庄·高三石家庄市第十八中学校考阶段练习）已知命题，则的否定为 ．
【答案】
【解析】因为命题，
所以.
故答案为：
34．（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）已知命题“存在，”为假命题，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为“存在，”为假命题，
所以“任意，”为真命题，
当时，，满足题意.
当时，，
综上：.
故答案为：
35．（2023·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数a的最小值为 ．
【答案】2
【解析】因为命题“，”为假命题，
故“，”为真命题，即在恒成立，须；
故实数a的最小值为2；
故答案为：2．
36．（2023·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考阶段练习）若命题“，”是真命题，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】由，得.当时，.
当时，，则.
因为“，”是真命题，所以.
因为,当单调递减，时取最小值7，
所以.
故答案为：.
37．（2023·天津河西·高三天津市第四十二中学校考阶段练习）已知，命题，命题，若命题均为真命题，则实数的取值范围是 .
【答案】或.
【解析】由命题为真命题，即为不等式在上恒成立，
因为时，，所以；
又由命题，即方程在上有解，
则满足，解得或，
若命题均为真命题，则或，所以实数的取值范围是或.
故答案为：或.
38．（2023·宁夏固原·高三校考阶段练习）命题“，”的否定是 .
【答案】，
【解析】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“，”的否定是：，.
故答案为：，
39．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知“”为假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题可知：是真命题，
当时，，成立；
当时，则，
综上所述：.
故答案为：.