专题02 不等式与复数（练习）-2024年高考数学二轮复习练习（新教材新高考）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题02 不等式与复数
目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc151995961" 01 基本不等式二元式 PAGEREF _Tc151995961 \h 1
\l "_Tc151995962" 02 和式与积式 PAGEREF _Tc151995962 \h 3
\l "_Tc151995963" 03 柯西不等式二元式 PAGEREF _Tc151995963 \h 7
\l "_Tc151995964" 04 齐次化与不等式最值 PAGEREF _Tc151995964 \h 10
\l "_Tc151995965" 05 复数的四则运算 PAGEREF _Tc151995965 \h 13
\l "_Tc151995966" 06 复数的几何意义 PAGEREF _Tc151995966 \h 15
01 基本不等式二元式
1．（2023·山东青岛·高一青岛大学附属中学校考阶段练习）若且，则的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．16
【答案】C
【解析】由题设，，
当且仅当，即时等号成立．
故选：C
2．（2023·江苏盐城·高三统考期中）若，，则的最小值为（ ）
A．1B．4C．8D．12
【答案】C
【解析】设，则，
由，得，即，
则，，当且仅当，即时，等号成立，
故选：C．
3．（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知正实数、满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为正实数、满足，则，可得，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，此时，，
故的最小值为．
故选：B．
4．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．D．
【答案】D
【解析】由，，即，易知，
所以，
当且仅当时等号成立，此时，
所以的最小值为．
故选：D
5．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．9
【答案】C
【解析】因为正实数x，y满足，所以，
则，
当且仅当且，即，时取等号．
故选：C．
6．（2023·广西玉林·高三博白县中学校考开学考试）若正数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，，
当且仅当，即，时取等号．
故选：C
02 和式与积式
7．（多选题）（2023·山东潍坊·高三统考期中）已知，为方程的两个实根，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由题意得：，，，；
对于A项：，
因为：，所以：，
所以得：，当且仅当时取等号，故A项正确；
对于B项：由，所以得：，故B项错误；
对于C项：，
所以得：，故C项正确；
对于D项：
当时取等号，故D项正确．
故选：ACD．
8．（多选题）（2023·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】，当且仅当，即时取等号，由于，所以，A正确，
由于，，当且仅当且时，即时取等号，由于，所以，B正确，
由以及可得，
当且仅当，即时取等号，由于，所以，故C正确，
，当且仅当，即时取等号，由于，所以D错误，
故选：ABC
9．（多选题）（2023·云南迪庆·高一统考期末）设正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为4B．的最大值为
C．的最大值为2D．的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A，，，，，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对于B，，，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最大值为，故B正确；
对于C，因为，
所以的最大值为，故C错误；
对于D，因为，故D正确．
故选：ABD．
10．（多选题）（2023·全国·高三校联考阶段练习）若，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值B．有最大值2
C．有最小值4D．有最小值
【答案】AC
【解析】对于A，，
当且仅当时取等号，
所以有最大值，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，
当且仅当时取等号，
所以有最大值，故B错误；
对于C，，
当且仅当，即时取等号，
所以有最小值4，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以有最小值，故D错误．
故选：AC．
11．（多选题）（2023·江苏无锡·高三统考期中）已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最小值为
D．的最小值为
【答案】AD
【解析】A选项：，即，解得，当且仅当，即，时等号成立，A选项正确；
B选项：，当且仅当，即，时等号成立，B选项错误；
C选项：由，得，，则，
设函数，，，
令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，C选项错误；
D选项：，当且仅当，即，时等号成立，D选项正确；
故选：AD．
03 柯西不等式二元式
12．（2023·浙江湖州·高三统考期末）已知，，且，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】凑配，进而根据柯西不等式结合已知求解即可．根据柯西不等式得：，，
当且仅当时，上述两不等式取等号，
所以，
因为，
所以
当且仅当时，等号成立．
故答案为：．
13．（2023·浙江温州·统考二模）已知实数满足则的最大值为 ．
【答案】
【解析】直接利用柯西不等式得到答案．根据柯西不等式：，故，
当，即，时等号成立．
故答案为：．
14．（2023·湖北武汉·统考一模）已知，则M的最大值为 ．
【答案】1．
【解析】利用柯西不等式求解．由柯西不等式得：，
当且仅当，即取等号．
故M的最大值为1
故答案为：1
15．（2023·浙江金华·高三校联考期末）已知实数满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由柯西不等式可得，
，
所以，即
所以．
故答案为：
16．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知实数满足：，则的最小值为 ．
【答案】2
【解析】方法一：距离问题
问题理解为：由对称性，我们研究“双曲线上的点到直线的距离的倍”问题
若相切，则有唯一解
，
两平行线与的距离
所以
方法二：柯西不等式法
补充知识：二元柯西不等式
已知两组数；，则
已知两组数；，则
所以，所以．
方法三：判别式法
设，将其代入，下面仿照方法一即可．
方法四：整体换元
根据对称性，不妨设，
设，则，且
方法五：三角换元
由对称性，不妨设（为锐角）
所以
所以的最小值为2
17．（2023·河北衡水·高三河北安平中学校考期末）已知，则取得最小值时，，，形成的点 ．
【答案】
【解析】由于，故．当且仅当时等号成立，故．
故答案为
04 齐次化与不等式最值
18．（2023·山东日照·高一校考期中）已知，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解．∵
∴且
∴，
当且仅当，即时取等号．
∴的最小值为．
故答案为：．
19．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）若实数，满足，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】因，则，
即，
令，则，
所以，，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最小值为．
故答案为：
20．（2023·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考期中）若，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】设，，所以，所以
，其中满足，所以，所以
，所以，
即，所以，所以的最小值为．
故答案为：
21．（2023·天津滨海新·校联考模拟预测）已知，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】先化简原式为，再换元设得原式，再换元设得原式可化为，再利用函数单调性得到函数的最大值．，设，
所以原式=，
令
所以原式=．
（函数在上单调递增）
故答案为：
22．（2023·全国·高一专题练习）已知正数满足，且，求的值．
【解析】，
两边同时除以得，
设得，解得或（舍去），
，
，
两边同时除以得，

．
05 复数的四则运算
23．（2023·上海·高三上海市宜川中学校考期中）已知复数z满足，则复数z的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】设，
复数满足，
，
化为，
解得，或，
，或1，或．
故选：D．
24．（2023·江西·高三鹰潭一中校联考期中）已知复数z满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，得，
所以，
故选：A．
25．（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以的虚部为．
故选：A．
26．（2023·四川成都·校联考一模）已知为复数单位，，则的模为（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】A
【解析】由可得，所以，
所以，则．
故选：A．
27．（2023·湖南郴州·统考一模）已知复数是方程的一个根，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由复数是方程的一个根，
得，
解得，
故选：D．
06 复数的几何意义
28．（2023·江西赣州·统考二模）已知复数满足（为虚数单位），则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】设复数在复平面中对应的点为，
由题意可得：，表示复平面中点到定点的距离为1，
所以点的轨迹为以为圆心，半径的圆，
因为表示表示复平面中点到定点的距离，
所以，即的最大值为3．
故选：C．
29．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）设复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意设，
由，
得，
因为，
所以，
解得，
所以，
所以．
故选：A．
30．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）已知复数 ，i为虚数单位， 则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】因为复数，
所以复数z在复平面内所对应的点为， 该点位于第三象限．
故选：C．
31．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）棣莫弗公式，（是虚数单位，）是由法国数学家棣莫弗（）发现的．根据棣莫弗公式，在复平面内的复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】
，
对应的点位于第二象限．
故选：B
32．（2023·安徽·校联考三模）已知复数满足（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】由得，
∴复数z在复平面内对应的点为，
∴复数z在复平面内对应的点所在的象限为第四象限．
故选：D．
33．（2023·山西太原·太原五中校考一模）复平面内复数满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】B
【解析】设，
因为，所以，即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：，如图，
又，
所以表示圆C上的动点到定点的距离，
所以为，
故选：B．
34．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）在复平面内，已知复数对应的向量为，现将向量绕点逆时针旋转90°，并将其长度变为原来的2倍得到向量，设对应的复数为，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】依题意，，将向量绕点逆时针旋转90°所得向量坐标为，，
则有，解得，因此，即，
所以．
故选：A
35．（2023·上海嘉定·高三上海市育才中学校考阶段练习）复数z满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．在复平面内对应的点位于第四象限D．
【答案】D
【解析】由可得，
所以，故A错误；
由 知，故B错误；
在复平面内对应的点位于第三象限，故C错误；
由知，故D正确．
故选：D