专题04 灵活运用周期性、单调性、奇偶性、对称性解决函数性质问题（9大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲义（新教材新高考）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。

专题04 灵活运用周期性、单调性、奇偶性、对称性解决函数性质问题
【目录】
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc152342763" PAGEREF _Tc152342763 \h 1
\l "_Tc152342764" PAGEREF _Tc152342764 \h 2
\l "_Tc152342765" PAGEREF _Tc152342765 \h 3
\l "_Tc152342766" PAGEREF _Tc152342766 \h 6
\l "_Tc152342767" PAGEREF _Tc152342767 \h 11
\l "_Tc152342768" 考点一：函数单调性的综合应用 PAGEREF _Tc152342768 \h 11
\l "_Tc152342769" 考点二：函数的奇偶性的综合应用 PAGEREF _Tc152342769 \h 13
\l "_Tc152342770" 考点三：已知f(x)=奇函数+M PAGEREF _Tc152342770 \h 17
\l "_Tc152342771" 考点四：利用轴对称解决函数问题 PAGEREF _Tc152342771 \h 20
\l "_Tc152342772" 考点五：利用中心对称解决函数问题 PAGEREF _Tc152342772 \h 22
\l "_Tc152342773" 考点六：利用周期性和对称性解决函数问题 PAGEREF _Tc152342773 \h 25
\l "_Tc152342774" 考点七：类周期函数 PAGEREF _Tc152342774 \h 29
\l "_Tc152342775" 考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 PAGEREF _Tc152342775 \h 32
\l "_Tc152342776" 考点九：函数性质的综合 PAGEREF _Tc152342776 \h 36
从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．

1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
5、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
1．（2023•新高考Ⅱ）若为偶函数，则
A．B．0C．D．1
【答案】
【解析】由，得或，
由是偶函数，
，
得，
即，
即，
则，
，得，
得．
故选：．
2．（2023•新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解析】设，对称轴为，抛物线开口向上，
是的增函数，
要使在区间单调递减，
则在区间单调递减，
即，即，
故实数的取值范围是，．
故选：．
3．（2023•乙卷）已知是偶函数，则
A．B．C．1D．2
【答案】
【解析】的定义域为，又为偶函数，
，
，
，
，．
故选：．
4．（2022•乙卷）已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，（2），则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】的图像关于直线对称，则，
，，，故为偶函数，
（2），（2），得．由，得，代入，得，故关于点中心对称，
（1），由，，得，
，故，周期为4，
由（2），得（2），又（3）（1），
所以（1）（2）（3）（4），
故选：．
5．（2022•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为，且，（1），则
A．B．C．0D．1
【答案】
【解析】令，则，即，
，，
，则，
的周期为6，
令，得（1）（1）（1），解得，
又，
（2）（1），
（3）（2）（1），
（4）（3）（2），
（5）（4）（3），
（6）（5）（4），
，
（1）（2）（3）（4）．
故选：．
6．（2021•甲卷）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当，时，．若（3），则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】为奇函数，（1），且，
偶函数，，
，即，
．
令，则，
，．
当，时，．
（2），
（3）（1），
又（3），，解得，
（1），，
当，时，，
．
故选：．
7．（2021•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为不恒为，为偶函数，为奇函数，则
A．B．C．（2）D．（4）
【答案】
【解析】函数为偶函数，
，
为奇函数，
，
用替换上式中，得，
，，即，
故函数是以4为周期的周期函数，
为奇函数，
，即，
用替换上式中，可得，，
关于对称，
又（1），
（1）．
故选：．
8．（2020•新课标Ⅱ）若，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】方法一：由，可得，
令，则在上单调递增，且，
所以，即，由于，
故．
方法二：取，，满足，
此时，，可排除．
故选：．
9．（2023•甲卷）若为偶函数，则 ．
【答案】2．
【解析】根据题意，设，
其定义域为，
若为偶函数，则，
变形可得，必有．
故答案为：2．
10．（2023•全国）为上奇函数，，（1）（2）（3）（4）（5）， ．
【答案】6．
【解析】，
则函数的周期为4，
为上奇函数，
（4），
令，
则（2）（2），解得（2），
令，
则（1）（3），
（1）（5），
所以（1）（2）（3）（4）（5）（3）（2）（3）（4）．
故答案为：6．
11．（2021•新高考Ⅰ）已知函数是偶函数，则 ．
【答案】1．
【解析】函数是偶函数，
为上的奇函数，
故也为上的奇函数，
所以，
所以．
法二：因为函数是偶函数，
所以，
即，
即，
即，
所以．
故答案为：1．
考点一：函数单调性的综合应用
例1．（2023·河南新乡·统考一模）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，得.
令，得，解得，
则不等式转化为，
因为是增函数，且，
所以不等式的解集为.
故选：A
例2．（2023·贵州黔东南·高三校联考阶段练习）已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为对于，都有成立，所以函数是增函数，
则函数和均为增函数，且有，
即，解得.
故选：C.
例3．（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）已知是偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意是偶函数，可知关于对称，且，
又时，单调递增，所以时，单调递减，
则在区间上时，函数值为正，在区间上，函数值为负，
又易知，
所以的解集为.
故选：A
例4．（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知，，，.则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，∴，，
令，，，
∴在单调递减，所以，∴，∴.
，
令，，
，在单调递减，，∴，
∴，∴，
故选：A.
例5．（2023·安徽蚌埠·高三固镇县第二中学校考阶段练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，得，
令，显然函数在上单调递增，且，
因此，即，则，于是，A正确，B错误；
由，显然当时，，CD错误.
故选：A
考点二：函数的奇偶性的综合应用
例6．（2023·广东惠州·高三校考阶段练习）已知函数满足：对任意的，，，且是上的偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称，
又由函数满足对任意的，，，
则函数在上是增函数，
又函数的图象关于直线对称，则函数在上是减函数，
若，则有，即，解得：或，
所以的取值范围是．
故选：D．
例7．（2023·江西萍乡·高三统考期中）定义在上的偶函数满足：对任意，有，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】不妨设，由，所以该函数是上的增函数，
，或，
，
，或，
因此有，
或，或，
综上所述：不等式的解集是，
故选：B
例8．（2023·江苏连云港·高三统考阶段练习）已知函数，若对任意，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对函数求导得，
对函数继续求导得，
由基本不等式得，
所以在上单调递增，
又注意到，
所以、随的变化情况如下表：
由上表可知在上单调递减，在上单调递增，
又函数的定义域为，关于原点对称，
且，
所以函数是偶函数，
结合函数的单调性可知，成立当且仅当，
而成立当且仅当，
所以原问题转化成了对任意，不等式组恒成立，
将不等式组变形为，
所以对任意，只需，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
综上所述：满足题意的实数的取值范围是.
故选：C.
例9．（2023·安徽铜陵·高三统考阶段练习）已知函数，若实数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】一方面由题意有，
另一方面若有成立，
结合以上两方面有，
且注意到，
所以由复合函数单调性可得在上严格单调递增，
若，则只能，
因此当且仅当；
又已知，
所以，即，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：C.
例10．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知函数,则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由函数，
所以，令，
可得
令且，
可得在上恒成立，所以，
所以在上单调递增，
又由，
所以函数为偶函数，则在上单调递减，
又由，即，即，
整理得，解得或，
即不等式的解集为.
故选：B.
考点三：已知f(x)=奇函数+M
例11．（2023·山西大同·高三统考阶段练习）函数的最大值为M，最小值为N，则（ ）
A．3B．4C．6D．与m值有关
【答案】C
【解析】由题意可知，，
设，则的定义域为，
所以，
所以为奇函数，
所以，
所以,
故选：C.
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的最大值为，最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由
令，
因为，所以；
那么转化为，，
令，，
则，
所以是奇函数
可得的最大值与最小值之和为0，
那么的最大值与最小值之和为2．
故选：B．
例13．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知，若，则等于（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【解析】，
，
，，
故选：A.
例14．（2023·广西桂林·统考一模）是定义在R上的函数，为奇函数，则（ ）
A．－1B．C．D．1
【答案】A
【解析】是定义在R上的函数，为奇函数，则
.
∴.
故选：A
例15．（2023春·河南洛阳·高一孟津县第一高级中学校考阶段练习）已知关于的函数在上的最大值为M，最小值N，且，则实数t的值是（ ）
A．674B．1011C．2022D．4044
【答案】B
【解析】，，
∴令，，则，
定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数，
∴（奇函数的性质），
∴，
∴，即.
故选：B
考点四：利用轴对称解决函数问题
例16．（2023·江苏徐州·高三邳州市新城中学校考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，，
所以不等式可转化为，
又在R上单调递增，在R上单调递增，
进而在R上单调递增，所以函数在R上单调递增，
，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：A.
例17．（2023·安徽淮南·高三校考阶段练习）函数满足：对，都有，则a+b为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】因为函数满足：对，都有，
所以，即，解得，
经检验满足题意，所以，
故选：C.
例18．（2023·全国·高三竞赛）函数的图像与函数的图像关于直线对称，其中（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【解析】设点在函数的图像上，则点关于直线的对称点，则，则，则，即与关于直线对称，则，得.
故选：D
例19．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则不等式的解集为（ ）
A．(0，2]B．
C．[2，＋∞)D．∪[2，＋∞)
【答案】B
【解析】由题意，函数的定义域为，
且，
所以函数为的偶函数，且在上为单调递减函数，
令，可得，
则不等式可化为，
即，即，
又因为，且在上单调递减，在为偶函数，
所以，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B.
例20．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一中学校校考期中）已知函数，则的大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】首先设函数判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根据平移关系，可判断函数的对称性和单调性，再将，，以及转化在同一个单调区间，根据单调性比较大小.令，所以是偶函数；
当时，，在上是增函数，
将图像向右平移一个单位得到图像，
所以关于直线对称，且在单调递增.
∵，，，
∴，
∴，
又∵关于直线对称，∴，
∴.
故选：A
考点五：利用中心对称解决函数问题
例21．（2023·陕西汉中·高三校联考期中）已知函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则等于（ ）
A．0B．mC．D．
【答案】B
【解析】由得，函数的图象关于点中心对称，
显然也是函数的对称中心，
所以当为偶数时，；当为奇数时，；
综上.
故选：B.
例22．（2023·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考期中）已知函数满足为奇函数，若函数与的图象的交点为，，…，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为为奇函数，所以，
所以关于对称，
因为，
所以的对称中心为，，
所以也关于对称，
所以与两个图象的交点也关于对称，
所以对于每组对称点和均满足，，
所以.
故选：B.
例23．（2023·北京通州·高一统考期中）我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数的对称中心是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，为奇函数，
定义域为关于原点对称，故，，
，即，
即，故，
故，即对称中心为.
故选：A.
例24．（2023·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期中）设函数的定义域为D，，，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心．利用对称中心的上述定义，研究函数，可得到（ ）
A．0B．2023C．4046D．4047
【答案】D
【解析】的定义域为R.
因为，
所以的图象关于点对称.
所以.
故选：D
例25．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知可得，
，
所以，.
所以，，
即，所以.
则由不等式可得，
.
又恒成立，
当且仅当，即时等号成立，
所以，在R上单调递增.
则由可得，，解得.
所以，满足的的取值范围是.
故选：D.
考点六：利用周期性和对称性解决函数问题
例26．（2023·内蒙古赤峰·高三校考期中）已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由为奇函数，得，
故①，函数的图象关于点对称；
由为偶函数，得②，
则函数的图象关于直线对称；
由①②得，
则，
故的周期为，所以，
由，令得，即③，
已知，
由函数的图象关于直线对称，得，
又函数的图象关于点对称，得
所以，即，
所以④，联立③④解得
故时，，
由关于对称，可得.
故选：A.
例27．（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足对任意实数有，若的图象关于直线对称，，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
从而可得，所以，所以函数的一个周期为6．
因为的图象关于直线对称，
所以， 即函数的图象关于直线对称．
又，，
所以，所以，
所以．由于23除以6余5，
所以．
故选：C．
例28．（2023·四川成都·高三校联考阶段练习）已知函数是定义域为的非常数函数，为偶函数，，则（ ）
A．函数为偶函数B．关于点中心对称
C．D．的最小正周期为4
【答案】A
【解析】因为为偶函数，
所以，即，
又因，
所以，即，
所以，所以函数是以为周期的一个周期函数，故D错误；
因为，所以函数图象关于对称，
所以函数图象关于对称，即函数为偶函数，故A正确；
对于B，若关于点中心对称，则关于点中心对称，
即函数为奇函数，则，
因为为偶函数，所以，
所以，所以，
所以，
这与函数是定义域为的非常数函数矛盾，故假设不成立，故B错误；
对于C，由，可得，
又因为不关于点中心对称，
所以无法判断是否相等，故C错误.
故选：A.
例29．（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，令，得，所以，
由为奇函数，得，所以，
故①．
又②，
由①和②得，即，
所以，③
令，得，得，
令，得，得，
又④，
由③-④得，即，
所以函数是以8为周期的周期函数，
故，
所以，
所以
，
故选：B．
例30．（2023·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）已知函数及其导函数定义域均为，为奇函数，，，则正确的有（ ）
①；②；③；④.
A．①④B．①②C．②③D．③④
【答案】C
【解析】因为为奇函数，则，
因为，，
故可得，
所以，函数的图象关于点对称，
在等式中，令可得，则，
因为函数为奇函数，即，可设，为常数，
则，故，即，
所以，函数为偶函数，
由可得，
从而可得，则，即，
所以，函数为周期为的周期函数，
故，
在等式两边同时求导可得，
即，
在等式中，令可得，
因为函数是周期为的周期函数，则，
等式两边求导可得，
所以，函数是周期为的周期函数，
所以，.
而、的值根据已知条件无法推导其值，则②③对，①④错.
故选：C.
考点七：类周期函数
例31．（2023·四川·高三阶段练习）定义域为的函数满足，当时，，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当x∈[0,1)时，f(x)=x2−x∈[−,0]当x∈[1,2)时，f(x)=−(0.5)|x−1.5|∈[−1,−]，
∴当x∈[0,2)时，f(x)的最小值为−1，
又∵函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)，
当x∈[−2,0)时，f(x)的最小值为，
当x∈[−4,−2)时，f(x)的最小值为，
若x∈[−4,−2]时，恒成立，
∴恒成立．
即t2−4t+3⩽0，
即(t−3)(t−1)⩽0，
即1⩽t⩽3，
即t∈[1,3]，
本题选择D选项.
例32．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）定义域为的函数满足，当时，.若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当x∈(2,3),则x−2∈(0,1)，
则f(x)=2f(x−2)−1=2(x−2)2−2(x−2)−1，
即为f(x)=2x2−10x+11，
当x∈[3，4]，则x−2∈[1，2]，
则f(x)=2f(x−2)−1=.
当x∈(0,1)时,当x=时,f(x)取得最小值,且为−；
当x∈[1,2]时,当x=2时,f(x)取得最小值,且为；
当x∈(2,3)时,当x=时,f(x)取得最小值,且为−；
当x∈[3,4]时,当x=4时,f(x)取得最小值，且为0.
综上可得,f(x)在(0,4]的最小值为−.
若x∈(0,4]时, 恒成立，
则有.
解得.
当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为1,
当x∈(2,3)时,f(x)∈[−,−1)，
当x∈[3,4]时,f(x)∈[0,1]，
即有在(0,4]上f(x)的最大值为1.
由，即为，解得，
综上，即有实数t的取值范围是.
故选：C.
例33．（2023·全国·高三专题练习）定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为当时，不等式恒成立，所以，
当时，

当时，，当时， ，因此当时，，选B.
例34．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数满足，当时，，设在上的最大值为则数列的前n项和的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】时，，最大值为，
时，，易知时，递增，时，递减，因此最大值为，
综上，，，即，
又，即，
当时，，∴，
∴是等比数列，公比为，
∴．
故选：D．
考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
例35．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期中）已知函数对都有，且函数的图像关于点对称，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在区间上单调递减
C．是上的偶函数
D．函数有6个零点
【答案】AD
【解析】对都有，则，
所以函数是周期函数，周期为4，
函数的图像向左平移1个单位得函数的图象，
又函数的图像关于点对称，
因此函数的图象关于点对称，即函数是上的奇函数，
当时，，即函数在上递增，在上单调递增，
而，因此在上递增，
由得，则的图象关于直线对称，
则函数在上递减，
对于A，，故A正确；
对于B，因函数在上递增，函数的周期为4，
则在上递增，故B错误；
对于C，因，即有，
则函数不是R上的偶函数，故C错误；
对于D，函数的零点，即函数与图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数与的大致图象，如图，
因函数的最大值为1，而当时，，
因此函数与图象的交点在内，
观察图象知，函数与图象在内只有6个交点，
所以函数有6个零点，故D正确.
故选：AD.
例36．（多选题）（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数B．的图象关于直线对称
C．D．
【答案】ABD
【解析】因为，所以，
所以函数为偶函数，故A正确；
因为，两边求导得.令，得.
因为，所以，
所以，，
所以，即，
所以的图象关于直线对称，故B正确；
因为，又，所以，
所以，
所以是周期为4的周期函数，所以，故C错误；
因为，所以，
所以，所以，
又，
所以，故D正确.
故选：ABD.
例37．（多选题）（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，为奇函数，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】由为奇函数得，
令 ，则，即，
所以的图象关于点对称，所以，
因为，所以关于直线对称，所以，
由和知，，
所以，所以的周期为8，
由知，当时，，A正确；
因为关于直线对称，所以，
由的周期为8知，，C正确；
因为的周期为8，所以，题干所给条件不足，所以BD错.
故选：AC
例38．（多选题）（2023·黑龙江牡丹江·高三校联考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】因为为奇函数，所以，即，即，
所以的图象关于点中心对称，且，故A正确；
由，两边求导，得，即.
由的图象关于点中心对称，得，因此，故B正确；
因为为函数的导函数，且，即，
所以，即，
所以的图象关于直线对称，
所以.又，
所以，所以的图象关于点中心对称，
，
，
所以是周期函数，4为它的一个周期，所以，故错误；
由，得.又，
所以3，所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
例39．（多选题）（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期中）设函数的定义域为，且满足，，当时，，则（ ）
A．是奇函数
B．
C．的值域是
D．方程在区间内恰有1518个实数解
【答案】ACD
【解析】函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以，
又因为，所以，所以是奇函数，A正确；
由，得，所以以4为周期，
因为，所以，故B错误；
因为当时，，所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，所以．
因为为奇函数，所以当时，，
因为的图象关于直线对称，所以当时，，
因为的周期为4，所以当时，，故C正确；
方程的解的个数，即的图象与的图象交点个数．
因为的周期为4，且当时，与有3个交点，
所以当时，与有个交点，故D正确．
故选：ACD.
考点九：函数性质的综合
例40．（2023·河北张家口·高三校联考阶段练习）已知函数是R上的奇函数，且，，若，则不等式的解集是 .
【答案】
【解析】函数是上的奇函数，在区间单调递增，
所以函数在上单调递增，且，
因为，即.所以当时，，当时，，
当时，，当时，，
那么，即或，
所以得或.
故答案为：.
例41．（2023·湖北·高三鄂南高中校联考期中）已知函数，若，则实数的解集为 .
【答案】
【解析】由题意可知，
所以
，
所以，
令，则，即为奇函数，
不等式等价于，即，
令，则，
所以是奇函数，
又因为在单调递增，
所以根据指数函数的性质可知在上单调递增，
又由对数函数的性质可知在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以，解得，
故答案为：
例42．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数的定义域为，且，若为奇函数，，则 ．
【答案】
【解析】由为奇函数，得，即，
由，得，又，
于是，即，从而，
即，因此，函数的周期为8的周期函数，
显然，又，
所以.
故答案为：
例43．（2023·四川泸州·高三校考阶段练习）给出下列命题：对于定义在上的函数，下述结论正确的是 ．
①若，则的图象关于直线对称；
②若是奇函数，则的图象关于点对称；
③若函数满足，则；
④若关于的方程有解，则实数的取值范围是．
【答案】②③
【解析】对于①，若，则，所以函数是以2为周期的周期函数，无法得出其对称轴，故①错误；
对于②，若是奇函数，则函数关于原点对称，
而函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位得到的，
所以的图象关于点对称，故②正确；
对于③，若函数满足，令，则，所以，
即，故③正确；
对于④，关于的方程有解，即函数的图象有交点，
作出函数的图象如图所示，
由图可知，故④错误.
故答案为：②③.
例44．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）设定义在上的函数与的导函数分别为和， 若，， 且为奇函数， 则下列说法中一定正确的是 .
（1）函数的图象关于对称；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）（3）
【解析】因为, 则,
因为 ，所以,
用去替x，所以有，所以有,
取 代入得到 则 ，
故，用换x，可得，函数的图象关于对称,故（1）正确；
在上为奇函数, 则 过, 图像向右移动两个单位得到过，故图像关于对称，; ，而，所以有，则 的周期 ;
又因为图像关于对称，;函数的图象关于对称,，故
,
,故（3）正确；
, 是由 的图像移动变化而来, 故 周期也为 4 ,
因为 ,
所以 ，,
所以，故（2）错误；
，周期为 4 , ，,,
故，
由于的值未知，不一定为0，所以无法判断的值为-4046，
故（4）错误;
故答案为：（1）（3）
考点要求
考题统计
考情分析
函数的性质
2023年新高考II卷第4题，5分
2023年新高考I卷第4题，5分
2022年乙卷第12题，5分
2022年新高考II卷第8题，5分
2021年甲卷第12题，5分
2021年新高考II卷第8题，5分
【命题预测】
预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：
（1）以选择题或填空题形式出现，考查学生的综合推理能力．
（2）热点是单调性、奇偶性、对称性结合在一起．