专题11 平面向量小题全归类（练习）-2024年高考数学二轮复习练习（新教材新高考）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题11 平面向量小题全归类
目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc154411223" 01 平面向量基本定理及其应用 PAGEREF _Tc154411223 \h 2
\l "_Tc154411224" 02 平面向量共线的充要条件及其应用 PAGEREF _Tc154411224 \h 2
\l "_Tc154411225" 03 平面向量的数量积 PAGEREF _Tc154411225 \h 3
\l "_Tc154411226" 04 平面向量的模与夹角 PAGEREF _Tc154411226 \h 4
\l "_Tc154411227" 05 等和线问题 PAGEREF _Tc154411227 \h 4
\l "_Tc154411228" 06 极化恒等式 PAGEREF _Tc154411228 \h 5
\l "_Tc154411229" 07 矩形大法 PAGEREF _Tc154411229 \h 6
\l "_Tc154411230" 08 平面向量范围与最值问题 PAGEREF _Tc154411230 \h 6
\l "_Tc154411231" 09 等差线、等商线问题 PAGEREF _Tc154411231 \h 8
\l "_Tc154411232" 10 奔驰定理与向量四心 PAGEREF _Tc154411232 \h 9
\l "_Tc154411233" 11 阿波罗尼斯圆问题 PAGEREF _Tc154411233 \h 10
\l "_Tc154411234" 12 平行四边形大法 PAGEREF _Tc154411234 \h 11
\l "_Tc154411235" 13 向量对角线定理 PAGEREF _Tc154411235 \h 12
01 平面向量基本定理及其应用
1．（2023·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期中）已知，是两个不共线的向量，，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知与交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广东肇庆·统考模拟预测）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（ ）
A．B．C．D．
02 平面向量共线的充要条件及其应用
4．（2023·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）如图，在中，点满足，过点的直线分别交直线于不同的两点.设则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）△ABC中，D为AB上一点且满足，若P为线段CD上一点，且满足（，为正实数），则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（2023·浙江宁波·高二校联考期末）在中，点O满足，过点O的直线分别交射线AB，AC于点M，N，且，，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．4
03 平面向量的数量积
7．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点，，，，，则
A．B．
C．D．
8．（2023·安徽安庆·高三安庆市第十中学校考阶段练习）已知在中，，，，，P在CD上，，则 .
9．（2023·上海静安·高三校考阶段练习）已知向量，且的夹角为，，则在方向上的投影向量等于 ．
10．（2023·上海闵行·高三校考期中）平面上有一组互不相等的单位向量，，…，，若存在单位向量满足，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知，向量是向量组，，的平衡向量，当取得最大值时，的值为 ．
04 平面向量的模与夹角
11．（2023•北京）已知向量，满足，，则
A．B．C．0D．1
12．（2023•甲卷）向量，，且，则，
A．B．C．D．
13．（2023·广东广州·高三广州市从化区从化中学校考阶段练习）已知正三角形的边长为，设，．则与的夹角= ．
14．（2023·全国·模拟预测）已知向量，若实数满足，则与的夹角为 ．
15．（2023·四川广安·高三校考阶段练习）已知向量，，且在方向上的投影数量为，则向量与的夹角为 ．
05 等和线问题
16．（2023·湖北·高一校联考期中）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值为（ ）
A．B．5C．D．6
17．（2023·全国·高三专题练习）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是（ ）
A．1B． C． D．2
18．（2023·上海黄浦·高二格致中学校考期中）在中，，，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：
①的最小值为； ②的最小值为；
③的最大值为； ④的最大值为10.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
19．（2023·吉林·统考一模）在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、内心分别为，，，，若（其中），当取最大值时，（ ）
A．1B．2C．3D．4
06 极化恒等式
20．（2023·山东师范大学附中模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________．
21．（2023·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 ________________ ．
22．（2023·陕西榆林·三模）四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________．
07 矩形大法
23．设向量，，满足，，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．1
24．（2023·河北石家庄·高三阶段练习）已知向量，，满足，，若，则的最大值是 ．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知向量、满足且，则的最大值为 .
08 平面向量范围与最值问题
26．（2022•上海）在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为 ．
27．（2023•上海）已知、、为空间中三组单位向量，且、，与夹角为，点为空间任意一点，且，满足，则最大值为 ．
28．（多选题）（2023·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知，，，A，B两点不重合，则（ ）
A．的最大值为2
B．的最大值为2
C．若，最大值为
D．若，最大值为4
29．（多选题）（2023·福建南平·高一武夷山一中校考期中）圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、割线定理、切割线定理的统一，（其中相交弦定理:圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，例如，如果交点为的两条相交直线与圆相交于与，则），如下图，已知圆的半径为3，点是圆内的定点，且，弦、均过点，则下列说法正确的是（ ）

A．·B．·的取值范围是
C．当AC⊥BD时，·为定值D．AC⊥BD时，·的最大值为28
30．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）在平面四边形中，，则的最大值为（ ）
A．B．
C．12D．15
31．（2023·北京西城·高三北师大实验中学校考阶段练习）平面直角坐标系中，定点A的坐标为，其中.若当点在圆上运动时，的最大值为0，则（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最小值为
D．的最小值为
32．（2023·江西·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，，，，动点P满足，则的最大值是（ ）
A．6B．C．5D．
33．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）设向量、、满足，，，，则的最大值等于（ ）
A．B．C．D．
09 等差线、等商线问题
34．（2023·全国·高三专题练习）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中x、.则的最大值为 ；的取值范围是 .
35．（2023·山西·高一统考期末）已知在中，点满足，点在线段(不含端点，)上移动，若，则 .
36．（2023·高一单元测试）如图，在中，，，，若延长CB到点D，使，当点E在线段AB上移动时，设，当取最大值时，的值是 .
37．（2023·山东潍坊·高三开学考试）在中，点D满足，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若，则的最小值为 ．
38．（2023·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期中）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是 ．
39．（多选题）（2023·辽宁·高一东港市第二中学校联考阶段练习）已知中，是边的中点，动点满足，则（ ）
A．的值可以等于2
B．的值可以等于2
C．的值可以等于
D．的值可以等于3
40．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是
A．B．C．D．
41．（2023·浙江·浙江省江山中学校联考模拟预测）在中，E，F分别为的中点，点D是线段（不含端点）内的任意一点，，则（ ）
A．B．C．D．
42．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，是边上的点，满足，在线段上（不含端点），且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．8
10 奔驰定理与向量四心
43．（多选题）（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（ ）

A．
B．有可能是的重心
C．若为的外心，则
D．若为的内心，则为直角三角形
44．（多选题）（2023·湖北武汉·高一校联考阶段练习）已知，在所在的平面内，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．为的外心
B．为的垂心
C．为的内心
D．为的重心
45．（多选题）（2023·山西大同·高三统考阶段练习）设为的外心，，，的角平分线交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
46．（多选题）（2023·高一课时练习）已知所在平面内有三点O，N，P，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点O是的外心
B．若，则点N是的重心
C．若，则点P是的垂心
D．若，且，则为直角三角形
47．（多选题）（2023·吉林·高一吉林一中校考期中）对于给定的，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若A、P、Q三点共线，则存在实数使
11 阿波罗尼斯圆问题
48．（2023·湖南衡阳·校联考一模）阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为4，动点满足，则动点的轨迹所围成的图形的面积为 ；最大值是 .
49．（2023·浙江·校联考三模）已知向量，，满足，，，，则的最小值是 .
50．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知向量，，，若且，则的最小值是 ．
51．（多选题）（2023·江苏徐州·高二统考期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于的两点，使得
C．当三点不共线时，射线是的角平分线
D．在轨迹上存在点，使得
12 平行四边形大法
52．（2023·浙江·模拟预测）已知为单位向量，平面向量，满足，的取值范围是____.
53．（2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）设圆，圆的半径分别为1，2，且两圆外切于点，点，分别是圆，圆上的两动点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
13 向量对角线定理
54．（2023·天津河东·统考一模）在平面四边形ABCD中,点E、F分别是边AD、BC的中点，且AB=1，EF=,CD=，若=15，则的值为
A．13B．14C．15D．16
55．（2023·浙江杭州·高三统考期末）在四边形中，点分别是边的中点，设，.若，，，则
A．B．
C．D．
56．（2023·浙江温州·瑞安中学校考模拟预测）在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，设，，若，，，则xy的最小值为 ．
57．（2023·浙江·高一开学考试）在中，，，，若点满足，则 .