专题12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题（练习）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

这是一份专题12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题（练习）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考），文件包含专题12正余弦定理妙解三角形问题和最值问题练习原卷版docx、专题12正余弦定理妙解三角形问题和最值问题练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共82页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题12正余弦定理妙解三角形问题和最值问题
目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc154494757" 01 倍长定比分线模型 PAGEREF _Tc154494757 \h 2
\l "_Tc154494758" 02 倍角定理 PAGEREF _Tc154494758 \h 3
\l "_Tc154494759" 03 角平分线模型 PAGEREF _Tc154494759 \h 4
\l "_Tc154494760" 04 隐圆问题 PAGEREF _Tc154494760 \h 6
\l "_Tc154494761" 05 正切比值与和差问题 PAGEREF _Tc154494761 \h 7
\l "_Tc154494762" 06 四边形定值和最值 PAGEREF _Tc154494762 \h 8
\l "_Tc154494763" 07 边角特殊，构建坐标系 PAGEREF _Tc154494763 \h 10
\l "_Tc154494764" 08 利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题 PAGEREF _Tc154494764 \h 12
\l "_Tc154494765" 09 利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围 PAGEREF _Tc154494765 \h 13
\l "_Tc154494766" 10 三角形中的几何计算 PAGEREF _Tc154494766 \h 17
\l "_Tc154494767" 11 三角形的形状判定 PAGEREF _Tc154494767 \h 18
01 倍长定比分线模型
1．（2023·四川成都·统考一模）在中，角所对的边分别为，且是的中点，，则 ， .
2．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）在① ，② ，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在中，内角的对边分别为，且满足____．
(1)求；
(2)若的面积为在边上，且 ， ，求的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
3．（2023·辽宁·高三校联考期末）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求C；
(2)若△ABC的面积为，D在边AC上，且CD=CA，求BD的最小值．
4．（2023·江苏南京·高三统考期末）如图，设中角、、所对的边分别为、、，为边上的中线，已知，，．

(1)求边、的长度；
(2)求的面积；
(3)点为上一点，，过点的直线与边、（不含端点）分别交于、．若，求的值．
02 倍角定理
5．（2023·河南·高三校联考阶段练习）从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答问题．
在锐角中，角所对的边分别为，且________．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
6．（2023·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
(1)证明：；
(2)若，且为锐角三角形，求的取值范围．
7．（2023·湖南·高三校联考期末）记的内角的对边分别为，已知，且.
(1)证明：；
(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围.
03 角平分线模型
8．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）记的内角的对边分别为，，，已知．
(1)求角和角之间的等式关系；
(2)若，为的角平分线，且，的面积为，求的长．
9．（2023·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别a，b，c，且
(1)求角A的值；
(2)若，BC边上的中线长为1，为角A的角平分线，求的长．
10．（2023·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积记为S，已知，．
(1)求A；
(2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长．
11．（2023•甲卷）在中，，，，为上一点，为的平分线，则 ．
12．（2023·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，，的角平分线交BC于点D，求的长．
13．（2023·四川绵阳·统考二模）在三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c．已知，．
(1)求边b的长；
(2)延长BC至D，使得，连接AD．已知为锐角，且它的角平分线与AB交于点E，若外接圆半径为．求长．
04 隐圆问题
14．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有，，，则当的面积最大时，它的内切圆的半径为 .
15．（2023·江苏南京·高三南京市雨花台中学校考阶段练习）阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，当的面积最大时，则的长为 .
16．（2023·四川·校联考二模）阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的
“阿氏圆”，是“指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点轨迹”，设的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶点C在以A，B为定点，的一个阿氏圆上，且，的面积为，则 .
17．（2023·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）材料一：已知三角形三边长分别为，则三角形的面积为，其中.这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apllnius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知中，，则面积的最大值为（ ）
A．6B．10C．12D．2
05 正切比值与和差问题
18．（2023·江苏南京·高三金陵中学校考期中）已知△ABC为锐角三角形，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．R为△ABC外接圆半径．
（1）若R＝1，且满足，求的取值范围；
（2）若，求的最小值．
19．（多选题）（2023·湖北咸宁·高三统考期末）的内角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）
A．B．
C．的面积为D．的周长为
20．（2023·湖北·统考一模）锐角中，角A所对的边为，的面积，给出以下结论：①；②；③；
④有最小值8.其中结论正确的是
A．1B．2C．3D．4
21．（2023·江西·高三校联考阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的值．
06 四边形定值和最值
22．（2023·广东广州·高三广州市从化区从化中学校考阶段练习）广州市从化区政府拟在云岭湖建一个旅游观光项目，设计方案如下：如图所示的圆O是圆形湖的边界，沿线段AB，BC，CD，DA建一个观景长廊，其中A，B，C，D是观景长廊的四个出入口且都在圆O上，已知：BC=12百米，AB=8百米，在湖中P处和湖边D处各建一个观景亭，且它们关于直线AC对称，在湖面建一条观景桥APC．观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设．
(1)当时，求三角形区域ADC内的湖面面积的最大值；
(2)若CD=8百米且规划建亭点P在三角形ABC区域内（不包括边界），试判断四边形ABCP内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时的值；若没有，请说明理由．
23．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）在平面四边形中，，，，.
(1)若，求的面积.
(2)求的最大值.
24．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）已知中，角，，所对的边分别为，，，满足.

(1)求的大小；
(2)如图，，在直线的右侧取点，使得，求为何值时，四边形面积的最大，并求出该最大值．
25．（2023·辽宁·高三统考期中）如图，已知三个内角，，的对边分别为，，，且，，．
(1)求；
(2)是外一点，连接，构成平面四边形，若，求的最大值．
26．（2023·上海浦东新·高三上海市建平中学校考期中）如图所示为某小区在草坪上活动区域的平面示意图，在四个点分别建造了供老年人活动的器械.四个点所围成的四边形即为老年人的活动区域.为了便于老年人在草坪上行走，小区建造了，，，，，六条步行道，其中，，，.设，，为四边形的面积.

(1)若，求的值:
(2)求的最大值，并求取到最大值时的值.
27．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考阶段练习）2023年8月27日，哈尔滨马拉松在哈尔滨音乐公园音乐长廊鸣枪开跑，比赛某补给站平面设计图如图所示，根据需要，在设计时要求，，

(1)若，，求的值；
(2)若，四边形ABCD面积为4，求的值．
07 边角特殊，构建坐标系
28．（2023·江苏南京·统考一模）在△ABC中，角所对的边分别为．若，则△ABC的面积的最大值为 ．
29．（2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，，．若，在所在的平面内存在点，使得，则的面积的最大值为 ．
30．（2023·河北张家口·高三统考开学考试）在中，，为边上的中线，，则该三角形面积最大值为 ．
31．（2023·四川成都·高三川大附中校考阶段练习）在中，内角所对的三边分别为，且，若的面积为，则的最小值是 .
32．（2023·全国·高三专题练习）为等边内一动点，且，则的最小值为 ．
33．（2023·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试）正三角形中，为中点，为三角形内满足的动点，则最小值为 .
34．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，面积为，有以下四个命题中正确的是（ ）
A．的最大值为
B．当，时，不可能是直角三角形
C．当，，时，的周长为
D．当，，时，若为的内心，则的面积为
35．（2023·福建·统考模拟预测）在中，，，，为所在平面上的一点，，则的最大值为（ ）
A．B．25C．D．
08 利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题
36．（2023·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）在中，所对的边分别为，且，
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
37．（2023·福建泉州·高三福建省德化第一中学校联考阶段练习）已知函数
(1)当，求的最值，及取最值时对应的的值；
(2)在中，为锐角，且，求的面积．
38．（2023·四川甘孜·统考一模）已知①，②，③，从上述三个条件中任选一个补充到下面问题中，并解答问题.在中，内角的对边分别为，并且满足__________.
(1)求角；
(2)若为角的平分线，点在上，且，求的面积.
39．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若的面积为，求a的最小值；
(2)若，BC边上的中线长为，且的外接圆半径为，求的周长．
40．（2023·江西上饶·高三校联考期末）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，.
(1)求角A；
(2)若，的面积为，求的周长.
09 利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围
41．（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求证：；
(2)求的取值范围．
42．（2022•上海）如图，在同一平面上，，，为中点，曲线上任一点到距离相等，角，，关于对称，；
（1）若点与点重合，求的大小；
（2）在何位置，求五边形面积的最大值．
43．（2020•新课标Ⅱ）中，．
（1）求；
（2）若，求周长的最大值．
44．（2022•新高考Ⅰ）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，求；
（2）求的最小值．
45．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）在中，角的对边分别为，.
(1)求角；
(2)若为钝角三角形，且，求的取值范围.
46．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，成等比数列．
(1)若，求角C；
(2)若的面积为S，求的取值范围．
47．（2023·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）已知H为锐角的垂心，为三角形的三条高线，且满足.
(1)求的值.
(2)求的取值范围.
48．（2023·山西吕梁·高三校联考阶段练习）如图，在平面凸四边形中，为边的中点．

(1)若，求的面积；
(2)求的最大值．
49．（2023·广东肇庆·高三统考阶段练习）如图，在四边形中，，，，.

(1)若，求；
(2)求的最大值.
50．（2023·山东青岛·高三统考期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
(1)若，求C；
(2)若，且，求的最小值．
10 三角形中的几何计算
51．（2023·广东汕头·高三统考期中）在凸四边形中，对角线交于点，且.
(1)若，求的余弦值；
(2)若，求边的长.
52．（2023·河南·高三内黄县第一中学校联考阶段练习）已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，.

(1)求CO的长；
(2)若，求的面积.
53．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）在中，，的面积为，为的中点，于点于点.

(1)求的面积；
(2)若，求的值.
11 三角形的形状判定
54．（2023·全国·高三专题练习）设△的三边长为，，，若，，则△是（ ）．
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
55．（2023·内蒙古呼伦贝尔·高三海拉尔第一中学校考阶段练习）的内角的对边分别为，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形或直角三角形
56．（2023·河南·高三校联考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则为（ ）
A．钝角三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形