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专题12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题+（11大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲义（新教材新高考）
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这是一份专题12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题+（11大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲义（新教材新高考），文件包含专题12正余弦定理妙解三角形问题和最值问题11大核心考点讲义原卷版docx、专题12正余弦定理妙解三角形问题和最值问题11大核心考点讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题
【目录】
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc154495153" 2
\l "_Tc154495154" PAGEREF _Tc154495154 \h 3
\l "_Tc154495155" PAGEREF _Tc154495155 \h 3
\l "_Tc154495156" PAGEREF _Tc154495156 \h 4
\l "_Tc154495157" PAGEREF _Tc154495157 \h 6
\l "_Tc154495158" 考点一：倍长定比分线模型 PAGEREF _Tc154495158 \h 6
\l "_Tc154495159" 考点二：倍角定理 PAGEREF _Tc154495159 \h 7
\l "_Tc154495160" 考点三：角平分线模型 PAGEREF _Tc154495160 \h 8
\l "_Tc154495161" 考点四：隐圆问题 PAGEREF _Tc154495161 \h 10
\l "_Tc154495162" 考点五：正切比值与和差问题 PAGEREF _Tc154495162 \h 11
\l "_Tc154495163" 考点六：四边形定值和最值 PAGEREF _Tc154495163 \h 12
\l "_Tc154495164" 考点七：边角特殊，构建坐标系 PAGEREF _Tc154495164 \h 14
\l "_Tc154495165" 考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题 PAGEREF _Tc154495165 \h 14
\l "_Tc154495166" 考点九：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围 PAGEREF _Tc154495166 \h 15
\l "_Tc154495167" 考点十：三角形中的几何计算 PAGEREF _Tc154495167 \h 17
\l "_Tc154495168" 考点十一：三角形的形状判定 PAGEREF _Tc154495168 \h 19
解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．
1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．
2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．
3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．
4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识．
5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．
6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解．
7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．
1．（2023•北京）在中，，则
A．B．C．D．
2．（2023•乙卷）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则
A．B．C．D．
3．（2021•乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和都称为“表目距”， 与的差称为“表目距的差”，则海岛的高
A．表高B．表高
C．表距D．表距
4．（2022•上海）已知在中，，，，则的外接圆半径为 ．
5．（2023•上海）已知中，角，，所对的边，，，则 ．
6．（2021•乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则 ．
7．（2021•浙江）在中，，，是的中点，，则 ； ．
8．（2022•甲卷）已知中，点在边上，，，．当取得最小值时， ．
9．（2022•新高考Ⅱ）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知，．
（1）求的面积；
（2）若，求．
10．（2022•乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）证明：；
（2）若，，求的周长．
11．（2022•天津）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
考点一：倍长定比分线模型
如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接，易知∥，且，．．
例1．（2023·河南安阳·高三统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且AB边上的中线，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
例2．（2023·湖南长沙·高三宁乡一中校考期中）设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，AD为BC边上的中线，c＝1，，．
(1)求AD的长度；
(2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度．
例3．（2023·辽宁·校联考二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，
(1)求角B的大小；
(2)若，D为边AB上一点，且，求的值．
考点二：倍角定理
，这样的三角形称为“倍角三角形”．
推论1：
推论2：
例4．（2023·江苏连云港·高三统考期中）在中，AB＝4，AC＝3．
(1)若，求的面积；
(2)若A＝2B，求BC的长．
例5．（2023·广西钦州·高三校考阶段练习）在锐角中，角所对的边为，且.
(1)证明:
(2)若，求的取值范围.
例6．（2023·四川绵阳·统考一模）在锐角中，角，，所对的边为，，，且．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
例7．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考一模）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，S为的面积，．
（1）证明：；
（2）若，且为锐角三角形，求S的取值范围．
考点三：角平分线模型
角平分线张角定理：如图，为平分线，（参考一轮复习）
斯库顿定理：如图，是的角平分线，则，可记忆：中方=上积一下积．
例8．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)边上存在点，使为的角平分线，若，求的周长.
例9．（2023·浙江·高三浙江省长兴中学校联考期中）已知在中，角，，的对边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若，，的角平分线交于，求的值.
例10．（2023·福建福州·高三校联考期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设.
(1)求A；
(2)若AD为∠BAC的角平分线，且，求的最小值.
例11．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）的内角，，的对边分别记为，，，若，，从下面条件①②③中任选一个作为已知条件，完成以下问题：
①；②；③．
(1)求的面积；
(2)若的角平分线与边交于点，延长至点使得，求．
考点四：隐圆问题
若三角形中出现，且为定值，则点C位于阿波罗尼斯圆上．
例12．（2023·全国·高三专题练习）若满足条件，，则面积的最大值为 .
例13．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）在中，，则的面积最大值为 ．
例14．（2023·福建·高三统考阶段练习）波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有，，则当的面积最大时，AC边上的高为 .
例15．（2023·安徽马鞍山·高三和县第二中学校考阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值（）的动点的轨迹.已知在中，角的对边分别为，则面积的最大值为 ．
例16．（2023·四川眉山·统考三模）阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点的轨迹．已知在中，角、、所对的边分别为、、，且，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
考点五：正切比值与和差问题
定理1：
定理2：
定理3：（正切恒等式）中，．
例17．（2023·山东日照·高三校联考期末）已知的三个内角A，B，C满足，则（ ）
A．是锐角三角形B．角的最大值为
C．角的最大值为D．
例18．（2023·河南安阳·高三统考阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，且，则 ．
例19．（2023·江苏南通·高三统考期中）在中，点D在边BC上，且，记.
(1)当，，求；
(2)若，求的值.
例20．（2023·河南焦作·高三统考期中）在锐角中，分别为角所对的边，，且的面积．
(1)若，求；
(2)求的最大值．
考点六：四边形定值和最值
正常的四边形我们不去解释，只需多一次余弦定理即可，我们需要注意一些圆内接的四边形，尤其是拥有对角互补的四边形，尤其一些四边形还需要引入托勒密定理．
勒密定理：在四边形中，有，当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号成立．
例21．（2023·全国·高三专题练习）如图．在平面四边形中，．设，证明：为定值．
例22．（2023·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）如图，平面四边形的对角线分别为，，其中，，．
(1)若，的面积为，求的面积；
(2)若，，求的值．
例23．（2023·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习）在四边形中，，.
(1)若，求；
(2)若，求.
考点七：边角特殊，构建坐标系
利用坐标法求出轨迹方程
例24．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例25．（2023·山东聊城·统考三模）在中，，点在边上，且，若，则长度的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
例26．（2023·全国·高三专题练习）在等边 中，为内一动点，，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题
与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．
例27．（2023·四川·高三校联考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的周长.
例28．（2023·湖北宜昌·高三统考期中）在中，内角的对边分别为，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的周长和面积．
例29．（2023·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．
(1)求；
(2)若为的中点，且，求的面积．
考点九：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围
对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．
例30．（2023·全国·模拟预测）已知在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
(1)求角C的大小；
(2)若，求的面积S的取值范围．
例31．（2023·全国·模拟预测）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，求c的值以及的面积；
(2)若，求的值以及的取值范围．
例32．（2023·重庆·高三重庆市万州沙河中学校联考阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为，已知.
(1)求A;
(2)求的取值范围.
例33．（2023·全国·模拟预测）已知为锐角三角形，其内角A，B，C所对的边分别为，，，.
(1)求的取值范围；
(2)若，求周长的取值范围.
例34．（2023·江西·高三临川一中校联考阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，，从下面两个条件中选一个，求的最小值．
①点M，N分别是边，上的动点（不包含端点），且；
②点M，N是边上的动点（不包含端点且），且．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
例35．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若是上的一点，且，求的最小值．
考点十：三角形中的几何计算
解决三角形中几何计算的方法：
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
例36．（2023·广东珠海·高三统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)已知，D为边上的一点，若，，求的长．
例37．（2023·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）如图，在中，为的中点，且,
(1)证明：；
(2)若，求．
例38．（2023·广东佛山·统考一模）如图，在梯形中，，，，．
(1)若，求梯形的面积；
(2)若，求．
例39．（2023•新高考Ⅱ）记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且．
（1）若，求；
（2）若，求，．
例40．（2023·广东惠州·高三统考阶段练习）如图，在平面四边形中，，，．
(1)若，求；
(2)若，求．
考点十一：三角形的形状判定
余弦定理判定：三角形三条边从小到大排列，即，
若，则是锐角三角形；
若，则是直角三角形；
若，则是钝角三角形；
例41．（2023·上海浦东新·高三上海市进才中学校考期中）已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形
例42．（2023·四川内江·统考一模）在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（ ）
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
例43．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，分别为角，，的对边，已知．若，，成等比数列，则是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．不确定
例44．（2023·甘肃酒泉·统考三模）中，，，分别是角，，的对边，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．直角或钝角三角形D．钝角三角形
考点要求
考题统计
考情分析
正弦定理
2023年北京卷第7题，4分
2023年乙卷第4题，5分
2022年II卷第18题，12分
【命题预测】
预测2024年高考仍将重点考查已知三角形边角关系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理解平面图形的边、角与面积，题型既有选择也有填空更多是解答题，若考解答题，主要放在前两题位置，为中档题，若为选题可以为基础题，多为中档题，也可为压轴题．
余弦定理
2022年乙卷第17题，12分
2021年乙卷第15题，5分
2021年浙江卷第14题，6分
三角形的几何计算
2023年甲卷第16题，5分
2023年II卷第17题，10分
2022年天津卷第16题，15分
2021年乙卷第9题，5分
范围与最值问题
2022年上海卷第19题，14分
2022年甲卷第16题，5分
2022年I卷第18题，12分
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题
【目录】
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc154495153" 2
\l "_Tc154495154" PAGEREF _Tc154495154 \h 3
\l "_Tc154495155" PAGEREF _Tc154495155 \h 3
\l "_Tc154495156" PAGEREF _Tc154495156 \h 4
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\l "_Tc154495158" 考点一：倍长定比分线模型 PAGEREF _Tc154495158 \h 6
\l "_Tc154495159" 考点二：倍角定理 PAGEREF _Tc154495159 \h 7
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\l "_Tc154495166" 考点九：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围 PAGEREF _Tc154495166 \h 15
\l "_Tc154495167" 考点十：三角形中的几何计算 PAGEREF _Tc154495167 \h 17
\l "_Tc154495168" 考点十一：三角形的形状判定 PAGEREF _Tc154495168 \h 19
解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．
1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．
2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．
3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．
4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识．
5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．
6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解．
7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．
1．（2023•北京）在中，，则
A．B．C．D．
2．（2023•乙卷）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则
A．B．C．D．
3．（2021•乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和都称为“表目距”， 与的差称为“表目距的差”，则海岛的高
A．表高B．表高
C．表距D．表距
4．（2022•上海）已知在中，，，，则的外接圆半径为 ．
5．（2023•上海）已知中，角，，所对的边，，，则 ．
6．（2021•乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则 ．
7．（2021•浙江）在中，，，是的中点，，则 ； ．
8．（2022•甲卷）已知中，点在边上，，，．当取得最小值时， ．
9．（2022•新高考Ⅱ）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知，．
（1）求的面积；
（2）若，求．
10．（2022•乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）证明：；
（2）若，，求的周长．
11．（2022•天津）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
考点一：倍长定比分线模型
如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接，易知∥，且，．．
例1．（2023·河南安阳·高三统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且AB边上的中线，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
例2．（2023·湖南长沙·高三宁乡一中校考期中）设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，AD为BC边上的中线，c＝1，，．
(1)求AD的长度；
(2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度．
例3．（2023·辽宁·校联考二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，
(1)求角B的大小；
(2)若，D为边AB上一点，且，求的值．
考点二：倍角定理
，这样的三角形称为“倍角三角形”．
推论1：
推论2：
例4．（2023·江苏连云港·高三统考期中）在中，AB＝4，AC＝3．
(1)若，求的面积；
(2)若A＝2B，求BC的长．
例5．（2023·广西钦州·高三校考阶段练习）在锐角中，角所对的边为，且.
(1)证明:
(2)若，求的取值范围.
例6．（2023·四川绵阳·统考一模）在锐角中，角，，所对的边为，，，且．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
例7．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考一模）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，S为的面积，．
（1）证明：；
（2）若，且为锐角三角形，求S的取值范围．
考点三：角平分线模型
角平分线张角定理：如图，为平分线，（参考一轮复习）
斯库顿定理：如图，是的角平分线，则，可记忆：中方=上积一下积．
例8．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)边上存在点，使为的角平分线，若，求的周长.
例9．（2023·浙江·高三浙江省长兴中学校联考期中）已知在中，角，，的对边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若，，的角平分线交于，求的值.
例10．（2023·福建福州·高三校联考期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设.
(1)求A；
(2)若AD为∠BAC的角平分线，且，求的最小值.
例11．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）的内角，，的对边分别记为，，，若，，从下面条件①②③中任选一个作为已知条件，完成以下问题：
①；②；③．
(1)求的面积；
(2)若的角平分线与边交于点，延长至点使得，求．
考点四：隐圆问题
若三角形中出现，且为定值，则点C位于阿波罗尼斯圆上．
例12．（2023·全国·高三专题练习）若满足条件，，则面积的最大值为 .
例13．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）在中，，则的面积最大值为 ．
例14．（2023·福建·高三统考阶段练习）波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有，，则当的面积最大时，AC边上的高为 .
例15．（2023·安徽马鞍山·高三和县第二中学校考阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值（）的动点的轨迹.已知在中，角的对边分别为，则面积的最大值为 ．
例16．（2023·四川眉山·统考三模）阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点的轨迹．已知在中，角、、所对的边分别为、、，且，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
考点五：正切比值与和差问题
定理1：
定理2：
定理3：（正切恒等式）中，．
例17．（2023·山东日照·高三校联考期末）已知的三个内角A，B，C满足，则（ ）
A．是锐角三角形B．角的最大值为
C．角的最大值为D．
例18．（2023·河南安阳·高三统考阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，且，则 ．
例19．（2023·江苏南通·高三统考期中）在中，点D在边BC上，且，记.
(1)当，，求；
(2)若，求的值.
例20．（2023·河南焦作·高三统考期中）在锐角中，分别为角所对的边，，且的面积．
(1)若，求；
(2)求的最大值．
考点六：四边形定值和最值
正常的四边形我们不去解释，只需多一次余弦定理即可，我们需要注意一些圆内接的四边形，尤其是拥有对角互补的四边形，尤其一些四边形还需要引入托勒密定理．
勒密定理：在四边形中，有，当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号成立．
例21．（2023·全国·高三专题练习）如图．在平面四边形中，．设，证明：为定值．
例22．（2023·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）如图，平面四边形的对角线分别为，，其中，，．
(1)若，的面积为，求的面积；
(2)若，，求的值．
例23．（2023·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习）在四边形中，，.
(1)若，求；
(2)若，求.
考点七：边角特殊，构建坐标系
利用坐标法求出轨迹方程
例24．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例25．（2023·山东聊城·统考三模）在中，，点在边上，且，若，则长度的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
例26．（2023·全国·高三专题练习）在等边 中，为内一动点，，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题
与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．
例27．（2023·四川·高三校联考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的周长.
例28．（2023·湖北宜昌·高三统考期中）在中，内角的对边分别为，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的周长和面积．
例29．（2023·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．
(1)求；
(2)若为的中点，且，求的面积．
考点九：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围
对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．
例30．（2023·全国·模拟预测）已知在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
(1)求角C的大小；
(2)若，求的面积S的取值范围．
例31．（2023·全国·模拟预测）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，求c的值以及的面积；
(2)若，求的值以及的取值范围．
例32．（2023·重庆·高三重庆市万州沙河中学校联考阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为，已知.
(1)求A;
(2)求的取值范围.
例33．（2023·全国·模拟预测）已知为锐角三角形，其内角A，B，C所对的边分别为，，，.
(1)求的取值范围；
(2)若，求周长的取值范围.
例34．（2023·江西·高三临川一中校联考阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，，从下面两个条件中选一个，求的最小值．
①点M，N分别是边，上的动点（不包含端点），且；
②点M，N是边上的动点（不包含端点且），且．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
例35．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若是上的一点，且，求的最小值．
考点十：三角形中的几何计算
解决三角形中几何计算的方法：
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
例36．（2023·广东珠海·高三统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)已知，D为边上的一点，若，，求的长．
例37．（2023·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）如图，在中，为的中点，且,
(1)证明：；
(2)若，求．
例38．（2023·广东佛山·统考一模）如图，在梯形中，，，，．
(1)若，求梯形的面积；
(2)若，求．
例39．（2023•新高考Ⅱ）记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且．
（1）若，求；
（2）若，求，．
例40．（2023·广东惠州·高三统考阶段练习）如图，在平面四边形中，，，．
(1)若，求；
(2)若，求．
考点十一：三角形的形状判定
余弦定理判定：三角形三条边从小到大排列，即，
若，则是锐角三角形；
若，则是直角三角形；
若，则是钝角三角形；
例41．（2023·上海浦东新·高三上海市进才中学校考期中）已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形
例42．（2023·四川内江·统考一模）在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（ ）
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
例43．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，分别为角，，的对边，已知．若，，成等比数列，则是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．不确定
例44．（2023·甘肃酒泉·统考三模）中，，，分别是角，，的对边，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．直角或钝角三角形D．钝角三角形
考点要求
考题统计
考情分析
正弦定理
2023年北京卷第7题，4分
2023年乙卷第4题，5分
2022年II卷第18题，12分
【命题预测】
预测2024年高考仍将重点考查已知三角形边角关系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理解平面图形的边、角与面积，题型既有选择也有填空更多是解答题，若考解答题，主要放在前两题位置，为中档题，若为选题可以为基础题，多为中档题，也可为压轴题．
余弦定理
2022年乙卷第17题，12分
2021年乙卷第15题，5分
2021年浙江卷第14题，6分
三角形的几何计算
2023年甲卷第16题，5分
2023年II卷第17题，10分
2022年天津卷第16题，15分
2021年乙卷第9题，5分
范围与最值问题
2022年上海卷第19题，14分
2022年甲卷第16题，5分
2022年I卷第18题，12分
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