专题15 立体几何解答题全归类（练习）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题15 立体几何解答题全归类
目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc154730747" 01 非常规空间几何体为载体 PAGEREF _Tc154730747 \h 2
\l "_Tc154730748" 02 立体几何探索性问题 PAGEREF _Tc154730748 \h 4
\l "_Tc154730749" 03 立体几何折叠问题 PAGEREF _Tc154730749 \h 6
\l "_Tc154730750" 04 立体几何作图问题 PAGEREF _Tc154730750 \h 8
\l "_Tc154730751" 05 立体几何建系繁琐问题 PAGEREF _Tc154730751 \h 11
\l "_Tc154730752" 06 两角相等（构造全等）的立体几何问题 PAGEREF _Tc154730752 \h 13
\l "_Tc154730753" 07 利用传统方法找几何关系建系 PAGEREF _Tc154730753 \h 15
\l "_Tc154730754" 08 空间中的点不好求 PAGEREF _Tc154730754 \h 17
\l "_Tc154730755" 09 创新定义 PAGEREF _Tc154730755 \h 20
01 非常规空间几何体为载体
1．（2023·四川南充·模拟预测）如图所示，在圆锥中，为圆锥的顶点，为底面圆圆心，是圆的直径，为底面圆周上一点，四边形是矩形．

(1)若点是的中点，求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的余弦值．
2．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥中，，，，为中点．
（1）证明；
（2）点满足，求二面角的正弦值．
3．（2023·河南·高二漯河高中校联考阶段练习）如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，上、下底面中心的连线NM垂直于上、下底面，且NM与侧面所成角的正切值为．
(1)求点A到平面的距离；
(2)求二面角的余弦值．
4．（2023·天津和平·统考三模）如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为.

(1)求证：∥平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由
02 立体几何探索性问题
5．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，．
（1）证明：；
（2）点在棱上，当二面角为时，求．
6．（2023·北京·高三北京八中校考期中）羡除是《九章算术》中记载的一种五面体．如图五面体ABCDEF，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，其中，，，，M为AD中点，平面BCEF与平面ADEF交于EF．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得羡除ABCDEF能够确定，然后解答下列各题：
(1)求证：平面CDE；
(2)求二面角的余弦值．
(3)在线段AE上是否存在点Q，使得MQ与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
条件①：平面平面ABCD；
条件②：平面平面ABCD；
条件③：．
7．（2021•甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？
8．（2021•北京）如图，在正方体，为的中点，交平面交于点．
（Ⅰ）求证：为的中点；
（Ⅱ）若点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面相互垂直，已知．

(1)求证：；
(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
03 立体几何折叠问题
10．（2023·江苏苏州·高三苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）已知图①中四边形是圆的内接四边形，沿将所在圆面翻折至如图②所示的位置，使得.

(1)若，证明：；
(2)若，求二面角余弦值的最小值.
11．（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，在梯形中，，，，，与交于点，将沿翻折至，使点到达点的位置.

(1)证明：；
(2)若平面PBC与平面PBD的夹角的余弦值为，求三棱锥的体积.
12．（2023·贵州·高二校联考阶段练习）如图1，已知是直角梯形，，，，C、D分别为BF、AE的中点，，，将直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角的大小为60°，如图2所示，设N为BC的中点.

(1)证明：；
(2)若M为AE上一点，且，则当为何值时，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为.
13．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.
(1)若点在线段上，且平面，试确定点的位置；
(2)若，求锐二面角的大小.
04 立体几何作图问题
14．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，已知平行六面体的底面是菱形，，，且.
(1)试在平面内过点作直线，使得直线平面，说明作图方法，并证明：直线；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
15．（2023·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知四棱锥中，底面为正方形，O为其中心，点E为侧棱的中点.
(1)作出过O、P两点且与平行的四棱锥截面（在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，并写出简要作图过程）；记该截面与棱的交点为M，求出比值（直接写出答案）；
(2)若四棱锥的侧棱与底面边长均相等，求与平面所成角的正弦值.
16．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知底面为平行四边形的四棱锥中，平面与直线和直线平行，点为的中点，点在上，且.
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求作过作四棱锥的截面，使与截面平行（写出作图过程，不要求证明）.截面的定义：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.
17．（2023·安徽马鞍山·统考三模）如图多面体中，面面，为等边三角形，四边形为正方形，，且，，分别为，的中点.
（1）求二面角的余弦值；
（2）作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AB交点为P，写出的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）.
18．（2023·北京·北京市十一学校校考三模）四棱锥中，底面是边长为2的菱形，.,且平面，，点分别是线段上的中点，在上.且.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面的成角的正弦值；
（Ⅲ）请画出平面与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.
05 立体几何建系繁琐问题
19．（2023·浙江台州·高一统考期末）如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的动点，，，，.

(1)当为线段的中点时，
（i）求证：平面；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值；
(2)记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在点使得?若存在，求出；若不存在，说明理由.
20．（2023·江苏南京·高一南京外国语学校校考阶段练习）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形， 平面平面，.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值；
(3)若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围.
21．（2023·重庆·统考三模）如图，四面体ABCD的顶点都在以AB为直径的球面上，底面BCD是边长为的等边三角形，球心O到底面的距离为1．
(1)求球O的表面积；
(2)求二面角的余弦值．
22．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折为，若F为线段的中点．在翻折过程中，
(1)求证：平面；
(2)若二面角，求与面所成角的正弦值.
23．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）四面体中，，，，，E为AC中点．
(1)证明：；
(2)若二面角的余弦值为，求a的值．
06 两角相等（构造全等）的立体几何问题
24．（2023·河南·统考模拟预测）如图,在三棱锥中,是等边三角形,,点是 的中点,连接．
（1）证明:平面平面;
（2）若,且二面角为,求直线与平面所成角的正弦值．
25．（2023·广东广州·统考一模）如图，在三棱锥中，是等边三角形，，点P是AC的中点，连接BP，DP
证明：平面平面BDP；
若，，求三棱锥的体积．
26．（2023·福建龙岩·统考一模）如图，在三棱锥中，为等边三角形，，面积是面积的两倍，点在侧棱上.
（1）若，证明：平面平面；
（2）若二面角的大小为，且为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
27．（2023·浙江宁波·高三统考期末）如图所示，四面体中，是正三角形，是直角三角形，是的中点，且.
（1）求证：平面；
（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.
07 利用传统方法找几何关系建系
28．（2023·江苏徐州·高三统考期中）如图，在三棱锥中，侧面是锐角三角形，，平面平面.

(1)求证：；
(2)设，点在棱（异于端点）上，当三棱锥体积最大时，若二面角大于，求线段长的取值范围.
29．（2023·江苏常州·高三统考期中）已知三棱柱，，，为线段上的点，且满足．

(1)求证：平面；
(2)求证：；
(3)设平面平面，已知二面角的正弦值为，求的值．
30．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）在正三棱台中，侧棱长为1，且为的中点，为上的点，且.

(1)证明：平面，并求出的长；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
31．（2023·湖南永州·统考一模）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且分别为的中点，在线段上，且．

(1)求证：平面；
(2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
08 空间中的点不好求
32．（2023·云南临沧·高二校考期中）已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交于点，且∥平面．

(1)证明：；
(2)当为的中点，与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
33．（2023·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）如图，在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点分别为的中点，均为锐角.
(1)求证：；
(2)若异面直线与所成角正弦值为，四棱锥的体积为1，求二面角的平面角的余弦值.
34．（2023·广东·高三茂名市第一中学校联考阶段练习）如图，已知四棱锥中，底面是矩形，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
35．（2023·湖北·高三黄冈中学校联考阶段练习）如图，在几何体中，底面为以为斜边的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.
(1)证明：平面；
(2)若，设为棱的中点，求当几何体的体积取最大值时与所成角的正切值.
36．（2023·全国·模拟预测）如图，已知四边形为正方形，为正方形对角线的交点，平面平面，．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面和平面所成角的余弦值的最小值．
37．（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）如图甲是由梯形，组成的一个平面图形，其中，，，，．如图乙，将其沿，折起使得与重合，连接，直线与平面所成角为60°．
(1)证明：；
(2)求图乙中二面角的正弦值．
09 创新定义
38．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知顶点为S的圆锥面（以下简称圆锥S）与不经过顶点S的平面α相交，记交线为C，圆锥S的轴线l与平面α所成角θ是圆锥S顶角（圆S轴截面上两条母线所成角θ的一半，为探究曲线C的形状，我们构建球T，使球T与圆锥S和平面α都相切，记球T与平面α的切点为F，直线l与平面α交点为A，直线AF与圆锥S交点为O，圆锥S的母线OS与球T的切点为M，，．
(1)求证：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，关系式；
(2)求证：曲线C是抛物线．
39．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为.
(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；
(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设
（i）用表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积；
（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值.
40．（2023·全国·高三校联考专题练习）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中Qi（i＝1，2，…，k，k≥3）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk﹣1PQk和平面QkPQ1遍历多面体M的所有以P为公共点的面．
（1）如图1，已知长方体A1B1C1D1﹣ABCD，AB＝BC＝1，，点P为底面A1B1C1D1内的一个动点，则求四棱锥P﹣ABCD在点P处的离散曲率的最小值；
（2）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域？（确定“区域α”还是“区域β”）
41．（2023·全国·校联考模拟预测）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．
（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值．