安徽省示范高中皖北协作区2024届高三第26届联考数学试卷(含答案)

这是一份安徽省示范高中皖北协作区2024届高三第26届联考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，或，则( )
A.B.
C.D.
2．已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为( )
A.B.C.D.
3．若，，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知在单调递增的等差数列中，与的等差中项为8，且，则的公差( )
A.5B.4C.3D.2
5．科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若，则k的值为( )
A.2B.15C.19D.21
6．已知，，则( )
A.B.C.D.
7．设与为两个正四棱锥，正方形ABCD的边长为且，点M在线段AC上，且，将异面直线PD，QM所成的角记为，则的最小值为( )
A.B.C.D.
8．已知点M是直线和的交点，，，且点M满足恒成立.若，则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知样本数据，，，，的方差为，平均数，则( )
A.数据，，，，的方差为
B.数据，，，，的平均数大于0
C.数据，，，的方差大于
D.数据，，，的平均数大于
10．如图，函数的图象与x轴的其中两个交点为A，B，与y轴交于点C，D为线段BC的中点，，，，则( )
A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称
C.在单调递减D.为奇函数
11．在棱长为1的正方体中，以为焦点的椭圆，绕着轴旋转得到的旋转体称为椭球，椭圆的长轴就是椭球的长轴，若椭球的长轴长为2，则下列结论中正确的是( )
A.椭球的表面与正方体的六个面都有交线
B.在正方体的所有棱中，只有六条棱与椭球的表面相交
C.若椭球的表面与正方体的某条棱相交，则交点必是该棱的一个三等分点
D.椭球的表面与正方体的一个面的交线是椭圆的一段
三、填空题
12．的展开式中的系数是_________.
13．已知数列满足，若，则的前20项和_________.
14．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点.过A作C的切线m及平行于x轴的直线，过F作平行于m的直线交于M，过B作C的切线n及平行于x轴的直线，过F作平行于n的直线交于N.若，则点A的横坐标为_________.
四、解答题
15．如图，在平面四边形中，，.
(1)若，，求的值;
(2)若，，求四边形的面积.
16．2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示.某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚.如图所示的七面体是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形是矩形，，，，且ED，CF都垂直于平面，，，平面平面.
(1)求点H到平面的距离;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
17．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且,的面积为3.
(1)求E的方程;
(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别记为和，求的最小值.
18．某校在90周年校庆到来之际，为了丰富教师的学习和生活，特举行了答题竞赛.在竞赛中，每位参赛教师答题若干次，每一次答题的赋分方法如下:第1次答题，答对得20分，答错得10分，从第2次答题开始，答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分，答错得10分.教师甲参加答题竞赛，每次答对的概率均为，每次答题是否答对互不影响.
(1)求甲前3次答题的得分之和为70分的概率.
(2)记甲第i次答题所得分数的数学期望为.
①求，，，并猜想当时，与之间的关系式;
②若，求n的最小值.
19．已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)求的解析式;
(2)证明:，.
参考数据:.
参考答案
1．答案：D
解析：
2．答案：B
解析：
3．答案：B
解析：当，时，，但，充分性不成立；
，仅当时，等号成立，时，，，必要性成立，故选B.
4．答案：C
解析：
5．答案：A
解析：
6．答案：C
解析：
7．答案：A
解析：
8．答案：D
解析：
9．答案：AD
解析：
10．答案：CD
解析：
11．答案：ABD
解析：画图可知A正确；对于B，C，设P是椭圆和棱交点，设，，解得，故棱存在一点P满足条件，设Q是椭圆和棱交点，则，故不存在一点Q，故B正确，C错误；对于D，连接，交于O,连接，交于，连接，O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，设是椭圆的表面和正方体的表面的交点，则，，，整理得，进一步分析可知点M的轨迹是椭圆的一部分.
12．答案：240
解析：
13．答案：-250
解析：
14．答案：3
解析：
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)在中，，，，
.
在中，由正弦定理可得，
.
(2)在，中，由余弦定理可得，
，
，即.
又因为，所以，.
所以，，
故.
16．答案：(1)4
(2)
解析：(1)如图，取AB，CD的中点M，N，连接GM，MN，HN，则平面，平面.
因为平面，所以，
又，，，所以平面平面，
又平面分别交平面和平面于AE，GH，
所以.①
易知，又，，，所以平面平面，
又平面分别交平面和平面于AG，EH，所以.②
由①②知四边形为平行四边形，所以.
因为，
所以.
在中，，
在直角梯形中，.
已知平面，
所以点H到平面的距离为4.
(2)以N为坐标原点，直线NM，NC，NH分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，
设平面的法向量是，
则即令，可得.
设平面的法向量是，
则即令，可得.
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
17．答案：(1)
(2)-1
解析：(1)设双曲线E的半焦距为c.
，.
由题可知，，，即，.
又，.
故E的方程为.
(2)由题可知，，，且直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为，，.
将方程和联立，得，
，.
，，
，
，
.
直线AM与E的右支有交点，，
当，时，取得最小值，且最小值为-1.
18．答案：(1)
(2)①，；②10
解析：(1)前3次的得分分别是20(对)，40(对)，10(错)，或10(错)，20(对)，40(对)，所以所求概率是.
(2)①甲第1次答题得20分、10分的概率均为，则.
甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为，，，
则.
甲第3次答题得80分、40分、20分、10分的概率分别为，，，，
则.
当时，因为甲第次答题所得分数的数学期望为，
所以第i次答对题所得分数为，答错题所得分数为10分，其概率均为，
所以，
故猜想:，.
②由①知数列是以15为首项，5为公差的等差数列，
根据等差数列的求和公式，可得.
当时，，当时，，
所以n的最小值为10.
19．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)由题可知，切点为，切线的斜率为，，
所以，
解得，，
所以.
(2)要证明，，即证明，.
令函数，则，.
当时，，
设函数，
则，故在单调递增.
又，，
所以存在唯一的，使得，
即，所以，.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以
.
设函数，
则当时，，在单调递增，
所以，原不等式得证.